Épreuve de Mathématiques

MINESEC Année scolaire : 2011-2012

Lycée de Nkolnda–Nsimalen Classe : T^{l e}C Durée : 4 heures

Département de Mathématiques Séquence 4 Février 2012

Coefficient : 05

Épreuve de Mathématiques

Enseignant : Romaric TCHAPNGA

Le correcteur tiendra compte de la rigueur dans la rédaction et de la clarté de la copie. Il est demandé à l’élève de justifier toutes ses affirmations.

EXERCICE I 4,5 points

Le plan complexeP est rapporté à un repère orthonormal direct³ O,−→

u, −→ v ´

. On prendra pour unité graphique 4 cm. On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives z_A=i, z_B=1+2i,

zC=p

2e^iπ4, et zD=3+2i.

On considère la similitude s qui transforme A en B et C en D. Soit M un point d’affixez etM⁰, d’affixez⁰, son image pars.

1. Exprimerz⁰en fonction dezpuis donner les éléments caractéristiques des. 1 pt 2. Soit (U_n) la suite numérique définie par :

( U₀ = 0

Un+1 = 2Un+1 pour toutn∈N

a. Montrer que ∀n∈N,U_n∈N. 0,5 pt

b. Montrer que, pour tout entier natureln,U_n+1etU_nsont premiers entre eux. 0,5 pt c. Interpréter géométriquement, en utilisant la similitudes, les termes de la suite (Un).0,25pt d. Montrer que pour tout entier naturel n, U_n=2ⁿ−1. 0,5 pt e. Montrer que, pour tous entiers naturelsnetpnon nuls tels que n>^p,

U_n=U_p¡

U_n−p+1¢

+U_n−p. 0,5 pt

Montrer pourn>^pl’égalité pgcd¡

Un,Up

¢=pgcd¡

Up,Un−p

¢. 0,5 pt

f. Soitnetpdeux entiers naturels non nuls, montrer que : pgcd¡

U_n,U_p¢

=U_pgcd(n;p).0,5 pt

g. Déterminer le nombre : pgcd(U₂₀₁₂,U₅₆) . 0,25 pt

EXERCICE II 4,5 points

SoitABC un triangle direct. On construit les trianglesB AOetACO⁰directs rectangles isocèles enOet O⁰. SoitDle milieu de [BC]. Il s’agit de montrer que le triangleODO⁰est rectangle et isocèle enDen deux méthodes.

A - Méthode géométrique

1. Faire une figure. 0,5 pt

2. Soitr etr⁰les rotations de centres respectifsOetO⁰et d’angle π 2.

Montrer quer⁰◦r(B)=Cet en déduire quer⁰◦r est une symétrié centrale de centreD. 0,5 pt 3. SoitD⁰=r(D). Montrer quer⁰(D⁰)=Dpuis en déduire que la droite (OO⁰) est la bissectrice de

chacun des angles³−−→

OD;−−→

OD⁰´

et³−−→

O⁰D;−−−→

O⁰D⁰´

. 1 pt

B - Avec les nombres complexes

Soient a, b,c, d, zetz⁰les affixes respectives des pointsA, B, C, D,OetO⁰. 1

1. Exprimerden fonction debetc. 0,25 pt

2. Exprimera−zen fonction deb−zet en déduirez. 0,5 pt

3. De la même façon, exprimerz⁰en fonction dea, betc. 0,5 pt 4. Montrer que z−d=b+c−2a+i(b−c)

2(i−1) et calculer de même z⁰−d. 0,5 pt

5. Montrer que i(z⁰−d)=z−d et déduire queODO⁰est rectangle et isocèle direct enD. 0,75pt

EXERCICE III 2 points

L’espace est muni du repère orthonormal³ O,−→

ı , −→

 , −→ k ´

. Soient (P) et (P⁰) les plans d’équations res- pectivesx+2y−z+1=0 et−x+y+z=0. Soit A le point de coordonnées (0 ; 1 ; 1).

1. Démontrer que les plans (P) et (P⁰) sont perpendiculaires. 0,5 pt 2. Soit (D) la droite d’intersection des plans (P) et (P⁰).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D). 0,5 pt 3. Calculer la distance du point A à chacun des plans (P) et (P⁰). 0,5 pt

4. En déduire la distance du point A à la droite (D). 0,5 pt

PROBLEME 9 points

Le but du problème est de montrer que le nombre e, base du logarithme népérien est irrationnel.

Partie A : Etude des suites

On définit les suites (U_n) et (V_n) surN^∗par : U_n=

n

X

k=0

1

k! et V_n=U_n+ 1 n!.

1. Montrer que (U_n) est croissante et (V_n) décroissante. 0,75 pt 2. Montrer que∀(n;m)∈N^∗×N^∗,U_n<V_m et en déduire que les suites (U_n) et (V_n) sont conver-

gentes. 1pt

3. Soitn∈N^∗. On définit les fonctions f et g de la manière suivante :

∀x∈R, f(x)= −e^−x µ

1+ x 1!+x²

2! +x³

3! + · · · +xⁿ n!

¶

et g(x)=f(x)−xⁿe^−x n! . a. Montrer que ∀x∈R, f⁰(x)=xⁿe^−x

n! . 0,5 pt

b. Montrer que ∀x∈[0; 1], 0≤f⁰(x)≤ 1

n! et en déduire que 0<f(1)−f(0)≤ 1

n!. 1 pt c. Montrer que pourn≥2, g est strictement décroissante sur [0; 1] et

en déduire g(0)>g(1). 0,75pt

4. a. Déduire de3.bque ∀x∈R, 0<e−U_n≤ e

n!. 0,75pt

b. Déterminer la limite de la suite (U_n) puis celle de (V_n). 0,5 pt c. Déterminer le plus petit entier naturelptel que pourn≥p, |U_n−e|≤10⁻⁴. 0,5pt d. Déduir de4.bet du sens de variation de (V_n) que ∀n∈N^∗, V_n>e. 0,5 pt Partie B : Irrationnalité de e

On suppose que e est strictement positif et rationnel c’est-à-dire ∃(p;q)∈N^∗×N^∗/ e=p q.

1. Justifier en utilisant les résultats de lapartie Aque U_q<e<V_q. 0,5 pt

2. En déduire que : q!U_q<(q−1)!p<q!V_q. 0,5 pt

3. a. Justifier que les nombres q!Uq, (q−1)!p et q!Vqsont des entiers naturels. 0,5pt

b. Vérifier que q!Vq=q!Uq+1. 0,5 pt

4. Expliquer pourquoi on obtient une contradiction et conclure que e est irrationnel. 0,75 pt 2

1. CalculonsU_p¡

U_n−p+1¢

+U_n−p=(2^p−1) (2^n−p−1+1)+2^n−p=2ⁿ−2^n−p+2^n−p−1=2ⁿ−1=U_n. L’égalité précédente peut s’écrire :U_n−U_p¡

U_n−p+1¢

=U_n−p. Le pgcd àU_netU_p, diviseU_p, donc aussiU_p¡

U_n−p+1¢

et par différence diviseU_n−Up

¡U_n−p+1¢ c’est-à-direUn−pet c’est le plus grand diviseur commun. Donc pgcd¡

Un,Up

¢=pgcd¡

Up,Un−p

¢. 2. On sait que pourx∈Reta∈N,x^a−1=(x−1)(. . .), doncx−1 divisex^a−1.

Soitdle pgcd deUnetUp. Il existe donc deux naturelsketk⁰premiers entre eux tels quen=kd etp=k⁰d.

De plus il n’existe pas d’autre écriture denetpsous forme de produit avec un facteur commun supérieur àd, d’après la définition du pgcd.

U_n=2ⁿ−1=2^kd−1=¡ 2^d¢k

−1=(2^d−1)(. . .), c’est-à-dire que 2^d−1 diviseU_n. De mêmeU_p=2^p−1=2^k0d−1=¡

2^d¢k⁰

−1=(2^d−1)(. . .), c’est-à-dire que 2^d−1 diviseU_p. Donc 2^d−1=U_d=U_pgcd(n,p)est le plus grand diviseur commun àU_netU_p.

Application : 15=3×5. Or 5 divise 2 005, mais 3 ne le divise pas. Donc pgcd(U_{2 005},U₅)=U₅(d’après la question précédente).

U₅=2⁵−1=32−1=31.

Conclusion : pgcd(U_{2 005},U₅)=31.

1. Montrer que, pour tout entier naturel non nulket pour tout entier naturelx: (x−1)

³

1+x+x²+ · · · +x^k−1´

=x^k−1.

Dans toute la suite de l’exercice, on considère un nombre entierasupérieur ou égal à 2.

2. a. Soitnun entier naturel non nul etdun diviseur positif den : n=d k. Montrer quea^d−1 est un diviseur deaⁿ−1.

b. Déduire de la question précédente que 2²⁰⁰⁴−1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.

3. Soientmetndeux entiers naturels non nuls etdleur pgcd.

a. On définitm⁰etn⁰parm=d m⁰etn=d n⁰. En appliquant le théorème de Bezout àm⁰et n⁰, montrer qu’il existe des entiers relatifsuetv tels que :mu−nv=d.

b. On supposeuetv strictement positifs.

Montrer que : (a^m−1)−(a^nv−1)a^d=a^d−1.

Montrer ensuite quea^d−1 est le pgcd dea^mu−1 et dea^nv−1.

c. Calculer, en utilisant le résultat précédent, le pgcd de 2⁶³−1 et de 2⁶⁰−1.

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