Problème B : sommes de projecteurs

PSI* — 2019/2020 Le 21/09/2019.

D.S. 1

Problème A : dérivation discrète

Pour tout entier naturel kon définit le polynômeΓk deR[X] en posant Γ0 = 1 ; Γ1 =X ; Γ2 = X(X−1)

2 ; . . . ; Γk= X(X−1). . .(X−k+ 1)

k! .

Dans tout le problème,ndésignera un entier naturel etR_n[X]le sous-espace vectoriel deR[X]constitué des polynômes de degré au plus égal à n.

On confondra polynôme et fonction polynomiale.

Pour tout polynôme P de R[X], on définit le polynôme ∆P par

∆P(X) =P(X+ 1)−P(X).

On note ∆l’application deR[X]dans lui-même qui à tout polynôme P associe ∆P et l’on pose

∆⁰= Id ; ∀k∈N ∆^k+1= ∆◦∆^k (Iddésignant l’identité de R[X]).

Les parties IIetIIIsont indépendantes.

Partie I

1) Montrer que (Γ0, . . . ,Γn)est une base de R_n[X]et que : ∀k∈N^∗ ∆Γk= Γk−1. 2) Montrer que, si P ∈R_n[X], alors∆P ∈R_n[X].

On définit alors l’endomorphisme∆n deR_n[X]qui à P associe∆P. DéterminerKer ∆n etIm ∆n. 3) Montrer que

∀P ∈R_n[X] P =

n

k=0

∆^kP (0)·Γk.

4) Montrer que, pour tout entier naturel α, il existe un unique polynôme S_α deR_α+1[X] tel que

∀n∈N^∗

n

k=1

k^α=S_α(n).

(On pourra utiliser un antécédent de X^α par ∆.) À l’aide du 3), déterminer S₂ etS₃.

Partie II

1) Montrer que, pour tout entier naturel ket pour tout entier relatif z,Γk(z) est aussi un entier relatif.

2) Soit P ∈R[X]un polynôme de degrén. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (a) Pour tout entier relatif z,P(z)est un entier relatif.

(b) Il existe n+ 1entiers relatifs consécutifsz₀, . . . , z_n tels que lesP(zk) soient des entiers relatifs.

(c) Les coordonnées de P dans la base(Γ0, . . . ,Γn) sont des entiers relatifs.

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Partie III

On considère dans cette partie une application f de [a,+∞[ dans R, a étant un nombre réel donné, négatif ou nul.

On note ∆f la fonction x→f(x+ 1)−f(x).

On généralise de même la notation ∆^kf : ∆⁰f =f et ∀k∈N ∆^k+1f = ∆ ∆^kf .

1) Montrer qu’il existe une unique suite(δk)_k∈N de nombres réels telle que, pour tout entier naturel n, la fonction x→f(x)−

n

k=0

δ_kΓk(x) s’annule pour lesn+ 1entiers consécutifs0,1, . . . , n.

2) Exemple : soitb∈R^+∗ ; montrer que la suite associée à f :x→b^x est donnée par

∀k∈N δ_k= (b−1)^k.

3) Montrer que, pour tout entier naturel n, il existe un unique polynômeL deR_n[X]tel que

∀j∈ {0, . . . , n} f(j) =L(j). Montrer que, si L est ainsi choisi :

∀i∈ {0, . . . , n} ∀j ∈ {0, . . . , n−i} ∆ⁱf (j) = ∆ⁱL (j). En déduire que la suite étudiée au 1)est donnée par

∀k∈N δ_k= ∆^kf (0).

4) On suppose désormais f de classe C^∞ sur [a,+∞[. On fixe n∈N et l’on se propose de montrer que, pour tout xde]a,+∞[, il existe un réelθ tel que

f(x) =

n

k=0

δ_kΓk(x) + Γn+1(x)f⁽ⁿ⁺¹⁾(θ)

(où (δ_k) est la suite étudiée au 1)).

a)Établir le résultat pour x∈ {0, . . . , n}.

b)Pourx∈]a,+∞[\ {0, . . . , n} (x fixé), on définit Φ :t→f(t)−

n

k=0

δ_kΓk(t)−KΓn+1(t).

Montrer que l’on peut choisir le réel K de sorte que : Φ (x) = 0.

À l’aide du théorème de Rolle, conclure à l’existence deθ.

c)Déduire du résultat précédent que

∀n∈N ∃λ_n∈R⁺ δ_n=f⁽ⁿ⁾(λ_n).

5) Déduire de la question précédente que les seuls nombres réels r tels que k^r soit entier pour tout k de N^∗ sont les entiers naturels (on pourra utiliser la suite (δn) associée à x → (p+x)^r, pour p choisi convenablement).

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Problème B : sommes de projecteurs

Notations

On note Nl’ensemble des entiers naturels, Rl’ensemble des réels etMn l’ensemble des matricesn×n à coefficients réels.

Dans tout le problème, X est un espace vectoriel de dimension n≥2sur le corps des réels et t un endomorphisme non nul de X.

Soit B une base deX, on noteT_B la matrice représentant tdans cette base.

On note Ker(t) le noyau det,Im(t) l’image detet rg(t) = dim Im(t) le rang det.

On dit que test une homothétie si c’est un multiple scalaire de l’identité.

On note Id l’endomorphisme identité deX,In la matrice identité deMn et 0 la matrice nulle quelles que soient ses dimensions.

On appelleprojecteur un endomorphismepdeX idempotent, c’est-à-dire tel quep²=p. On note alors p^′ = Id−p le projecteur associé.

1 — Traces et projecteurs

SiA= (a_i,j)_1≤i,j≤n est élément deMn, on appelletrace deA le nombre réel suivant:

Tr(A) =

n

i=1

a_i,i.

1) Soient A etB éléments deMn, montrer queTr(AB) = Tr(BA).

2) Montrer que la trace de la matrice TB associée à test indépendante de la base B.

On appelle trace de t, notée Tr (t), la valeur commune des traces des matrices représentant t. On dit que la trace est un invariant de similitude.

3) Soit p un projecteur deX. Montrer que rg (p) = Tr (p).

4) Montrer que, si l’endomorphisme sest une somme finie de projecteurs pi,i∈[[1, m]], alors Tr (s)∈N et Tr (s)≥rg (s).

La fin du problème a pour but d’établir la réciproque de cette propriété.

2 — Projecteurs de rang 1

On suppose dans cette partie que pest un projecteur de rang 1.

5) Démontrer qu’il existe µ∈Rtel quep◦t◦p=µ.p(tétant toujours fixé dans L(X)).

Soit C = (f1, f₂,· · ·, f_n) une base de X adaptée à la décomposition X= Im(p)⊕Ker(p) (c’est- à-dire quef₁ est un vecteur directeur deIm(p) et(f₂, . . . , f_n) une base deKer(p)).

6) Montrer que dans la base C la matrice représentant ts’écrit

T_C=







µ × · · · ×

×...

×

B





 (les × représentant des réels quelconques) (1)

où µest le nombre réel dont l’existence découle de la question5etB∈ Mn−1.

7) Montrer que si p^′◦t◦p^′ n’est pas proportionnel àp^′, alorsB, définie en (1), n’est pas la matrice d’une homothétie. On rappelle que p^′ = Id−p.

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3 — Endomorphismes différents d’une homothétie

On suppose dans cette partie que l’endomorphisme t n’est pas une homothétie.

8) Démontrer qu’il existe un vecteur x∈X tel que x et t(x) ne soient pas liés (c’est-à-dire ne soient pas colinéaires).

9) Montrer qu’il existe une base B={e1, e₂, ..., e_n} dans laquelle la matrice T_B est de la forme suivante :

T_B =









0 × · · · × 1

0...

0

A









où A∈ Mn−1.

10) En déduire que si Tr(t) = 0, il existe une base B^′ dans laquelle la diagonale deT_B′ est nulle.

Soit d_i, i∈[[1, n]] une suite de n nombres réels vérifiant Tr(t) = ⁿ

i=1

d_i.

11) En dimension n= 2, démontrer qu’il existe une base Bdans laquelleT_B a pour éléments diagonauxd₁ etd₂.

Soit d∈R, on admettra qu’en dimension n≥3, il existe un projecteur ℓ de X de rang 1, tel que d’une part ℓ◦t◦ℓ=d.ℓet d’autre part ℓ^′◦t◦ℓ^′ ne soit pas proportionnel à ℓ^′ = Id−ℓ.

12) En dimension n≥ 3, à l’aide des questions 6 et 7démontrer qu’il existe une base C dans laquelle la matrice représentant ts’écrit

T_C =







d₁ × · · · ×

×...

×

B





 où Bn’est pas une matrice d’homothétie.

13) En dimension n ≥3, démontrer par récurrence qu’il existe une base B dans laquelle la matrice T_B a pour éléments diagonaux les d_i,i∈[[1, n]].

4 — Décomposition en somme de projecteurs

On suppose désormais quetest un endomorphisme deX vérifiantTr(t)∈NetTr(t)≥rg(t).

On pose ρ= rg(t) et θ= Tr(t).

14) Montrer qu’il existe une base B dans laquelleT_B est de la forme suivante : T₁ 0

T₂ 0 où T₁ est une matrice de tailleρ×ρ.

Supposons tout d’abord que T₁ ne soit pas la matrice d’une homothétie.

15) À l’aide de la question13 montrer qu’il existe une baseB^′ dans laquelle T_B^′ = T₁^′ 0

T₂^′ 0

où T₁^′ admet comme termes diagonaux des entiers naturels non nuls d_i,i∈[[1, ρ]].

16) En déduire que t est la somme d’un nombre fini de projecteurs.

On suppose maintenant que T₁ est la matrice d’une homothétie.

17) Démontrer que, là encore, test la somme d’un nombre fini de projecteurs. Conclure.