Problème : Projecteurs Soit E un espace vectoriel sur le corps K = R. On appelle projecteur (ou projection vectorielle) tout endomorphisme p de E qui véri e p ◦ p = p. Partie N

Problème : Projecteurs Soit E un espace vectoriel sur le corps K=R.

On appelle projecteur (ou projection vectorielle) tout endomorphismep de E qui vérie p◦p=p. Partie N^o1 : Généralités sur les projecteurs

Soit un projecteurp de l'espace vectorielE. 1. Montrer queE = Ker(p)⊕Im(p).

2. Que peut-on dire de la restriction dep àIm(p)? Que vaut alorsKer(p−Id)?

3. Montrer que pour tout sous-espace vectorielA de E, on a :p⁻¹(A) =A∩Im(p)⊕Ker(p). 4. Soit un sous-espace vectoriel F de l'espace E. Montrer que F est stable par p si, et seulement

si, F =F ∩Ker(p)⊕F∩Im(p).

5. Dans cette question, on supposeE de dimension nie.

(a) Quelle est la matrice dep dans une base adaptée à la supplémentarité deKer(p)etIm(p)? (b) Montrer querg(p) = tr(p).

6. Soitpun endomorphisme deE. Montrer quepest un projecteur de E si, et seulement si, il existe deux sous-espaces vectorielsA etB supplémentaires deE tels quep_|A= 0 etp_|B = IdB. On dit alors que pest la projection surB parallèlement àA.

7. Soitf un endomorphisme deE etp un projecteur.

Montrons quep etf commutent si, et seulement si, Imp etKerp sont stables parf. Partie N^o2 : La projection complémentaire

1. Soitp un endomorphisme de E.

(a) Montrer que l'endomorphisme q = Id−p est un projecteur si, et seulement si, l'endomor- phismep est un projecteur.

On suppose dorénavant dans cette question que pest un projecteur et on pose q= Id−p. (b) Comparer le noyau et l'image dep à ceux de q.

(c) Que de dire deq?

(d) Que valentp◦q,q◦p etq+p?

(e) On considèreL={f ∈ L(E)| ∃u∈ L(E), f =u◦p}etM ={g∈ L(E)| ∃v∈ L(E), g =v◦q}. Montrer queL etM sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de L(E).

2. Soientp, q∈ L(E).

Montrer quepetq sont deux projecteurs de même image si, et seulement si,p◦q =q etq◦p=p.

3. Donner une condition nécessaire et susante du même type pour quepetq soient deux projec- teurs de même noyau.

Partie N^o3 : Somme et composée de projecteurs 1. Soientf etg deux projecteurs de E.

(a) Montrer que les deux projecteursf etg commutent si, et seulement si,

E = (Im(f)∩Im(g)) + (Im(f)∩Ker(g)) + (Ker(f)∩Im(g)) + (Ker(f)∩Ker(g)).

Dans ce cas, montrer que f◦g est une projection vectorielle de E et en déterminer noyau et image.

1

(b) Montrer quef +g est un projecteur de E si, et seulement si, f◦g=g◦f = 0.

Dans ce cas, montrer queKer(f+g) = Ker(f)∩Ker(g)etIm(f +g) = Im(f)⊕Im(g). 2. Montrer que si f est un endomorphisme quelconque deE etg un projecteur deE, on a :

Ker(f◦g) = Ker(g)⊕(Ker(f)∩Im(g)).

3. Montrer que si f est un projecteur de E etg un endomorphisme quelconque deE, on a : Im(f ◦g) = Im(f)∩(Im(g) + Ker(f)).

4. Dans cette question, on suppose que E est de dimension ni n∈N^? et on considère p1,· · ·, pr

r projecteurs deE.

(a) On suppose que p₁+· · ·+p_r = Id_E. Montrer que E=

r

M

i=1

Im(p_i).

En déduire que pour tous16i6=j6r,pi◦pj = 0.

(b) On suppose que p1+· · ·+pr est un projecteur. Montrer que pour tous 1 6 i 6= j 6 r, p_i◦p_j = 0.

(c) On suppose quer=n, que pour tout16i6n,p_i6= 0_L(E) et que pour tous16i6=j6r, p_i◦p_j = 0.

Montrer quep1+· · ·+pn= IdE.

5. Montrer que siE est de dimension nie et que sif est un endomorphisme deE de rang 1alors f est un projecteur si, et seulement si, tr(f) = 1.

6. En déduire la liste de toutes les matrices2×2 qui représentent un projecteur.

7. Soitaun réel quelconque. Montrer qu'il existe deux matrices de projections dont la somme vaut a 0

0 2−a

8. On considère les deux endomorphismes de R[X]ϕetψdénis par ϕ: R[X] → R[X]

+∞

X

k=0

a_kX^k 7→

+∞

X

k=0

a_ku_kX^k et

ψ: R[X] → R[X]

+∞

X

k=0

a_kX^k 7→

+∞

X

k=0

a_kv_kX^k

où uetv sont les deux suites

u= (0,2,−2,4,−4,6,· · ·) etv= (1,−1,3,−3,5,· · ·).

Montrer qu'il existe quatre projecteursp,q,r, etstels quep+q=ϕetr+s=ψ. Que vautp+q+r+s?

A-t-onE= Im(p)⊕Im(q)⊕Im(r)⊕Im(s)? Avons-nous p◦q = 0?

Conclure une remarque intelligente à l'aide des résultats prouvés dans la question 4..

Partie N^o4 : Projecteurs qui commutent

2

Soient petq deux projecteurs deE qui commutent.

On noteE₁ = Ker(p)∩Ker(q),E₂ = Ker(p)∩Im(q),E₃= Im(p)∩Ker(q) etE₄= Im(p)∩Im(q). On sait queE =E1⊕E2⊕E3⊕E4.

Pour k∈ {1,2,3,4}, on note π_k la projection surE_k parallèlement à ⊕_j6=kEj.

Pour x∈E, on note x=x₁+x₂+x₃+x₄ la décomposition dex selon E₁⊕E₂⊕E₃⊕E₄. 1. (a) Calculerp(x),q(x) etp◦q(x) en fonction dex1,x2,x3 etx4.

(b) Pourp etq que représentent E₁⊕E₂,E₃⊕E₄,E₁⊕E₃ etE₂⊕E₄?

2. Exprimer les projecteursId_E,p,q etp◦q en fonction de π₁,π₂,π₃ etπ₄, et réciproquement.

3. Pour tous 16i, j64, que vaut πi◦πj?

4. En déduire que, pour tous α, β, γ, δ∈R, pour toutn∈N^?,

(απ₁+βπ₂+γπ₃+δπ₄)ⁿ=αⁿπ₁+βⁿπ₂+γⁿπ₃+δⁿπ₄. 5. Pourn∈N^?, exprimer(αId_E+βp+γq+δp◦q)ⁿ en fonction de Id_E,p,q etp◦q. 6. Montrer que

(a) E₁ ={0} si, et seulement si,p◦q=p+q−Id_E. (b) E₂ ={0} si, et seulement si,p◦q=q.

(c) E3 ={0} si, et seulement si,p◦q=p. (d) E₄ ={0} si, et seulement si,p◦q= 0.

7. (a) Montrer que, en dehors des cas listés ci-dessus, la famille (IdE, p, q, p◦q) est libre dans L(E).

(b) Déterminer dans ce cas tous les projecteurs deE qui sont combinaison linéaire deIdE, p, q, et de p◦q.

(c) Déterminer le noyau et l'image de ces projecteurs en fonction de ceux dep etq.

Dans la suite du problème, on suppose queE un espace vectoriel sur R de dimension nien∈N^?. Pour tous f, g∈ L(E), on note [f, g] =f◦g−g◦f.

On noteP_E désigne l'ensemble des projections vectorielles deE.

Partie N^o5 : Une relation d'ordre sur P_E 1. Soientp∈ P_E etf ∈ L(E) tels que[p, f] =αpavecα 6= 0.

Montrer quep est l'application nulle.

2. Sur P_E, on dénit la relation binaire

∀p, q∈ P_E, pRq ⇔ p◦q=q◦p=p.

Montrer queR est une relation d'ordre surP_E. 3. Dans cette question, on suppose queE =R⁴.

NotonsA= ¹₃









2 1 −2 0

0 3 0 0

−1 1 1 0

0 0 0 0







 et considéronspl'endomorphisme canoniquement associé àA. (a) Montrer quep est une projection vectorielle.

Préciser une base ⁰ de l'image dep, et une base ⁰⁰ du noyau de p.

On note alorsla base deE obtenue par juxtaposition de⁰ et de⁰⁰. (b) Caractériser par leur matrice dans lesf ∈ L(E) tels que[p, f] = 0.

Interpréter le résultat obtenu en termes de stabilité.

3

(c) Caractériser par leur matrice dans les projecteurs de q tels quepRq. 4. Soientp, q∈ P_E tels que[p, q] = 0. Montrer que, pour la relationR:

La projection vectorielle p◦q est la borne inférieure de{p, q}.

La projection vectorielle p+q−p◦q est la borne supérieure de{p, q}. Partie N^o6 : Projecteurs et crochet de Lie

Dans cette partie, on se donnef, g∈ L(E)tels que [f, g] =αf+βg avec α, β∈R.

1. Dans cette question, on supposeα6= 0 etβ = 0. (a) Montrer que, pour tout k∈N,[f^k, g] =αkf^k. (b) On suppose qu'il existe m∈N tel que f^m6= 0.

Montrer alors que la famille(Id_,f,· · ·, f^m) est libre dans L(E). (c) Déduire de ce qui précède que l'endomorphismef est nilpotent.

2. Dans cette question, on suppose quef etgsont deux éléments distincts de P_E. On suppose également queα n'est ni égal à0, ni égal à1.

(a) Montrer que2αg◦f+β(1 +α)g=α(1−α)f.

(b) En déduireIm(f)⊂Im(g) et que g◦f =f.

(c) On supposef 6= 0. Montrer que α=−1,β= 1 etIm(f) = Im(g).

(d) Réciproquement, montrer que sipetqsont deux projections vectorielles telles queIm(q)⊂ Im(p) etq◦p=p alors on a l'égalité [p, q] =q−p.

(e) On reprend les notations de la question V/4.

Caractériser par leur matrice dans lesq deP_E tels que[p, q] =q−p. 3. Dans cette question, on suppose quef etgsont deux élément distincts de P_E.

On suppose également queα n'est ni égal à0, ni égal à−1. (a) Montrer que2αf◦g+β(1−α)g=α(1 +α)f.

(b) En déduireKer(g)⊂Ker(f) et quef ◦g=f.

(c) On supposef 6= 0. Montrer que α= 1,β =−1etKer(f) = Ker(g).

(d) Réciproquement, montrer que sipetqsont deux projections vectorielles telles queKer(p)⊂ Ker(q)etp◦q=palors on a l'égalité [p, q] =p−q.

(e) On reprend les notations de la question IV/4.

Caractériser par leur matrice dans lesq deP_E tels que[p, q] =p−q.

* * * FIN DE L'ÉNONCÉ * * *

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