PanaMaths Mars 2012
Soit E un K − espace vectoriel et p un projecteur de E.
Montrer que :
1. Id
E− p est un projecteur de E.
2. Comparer les noyaux et les images de p et Id
E− p .
Analyse
Un (très) grand classique (une question de cours diraient certain(e)s ☺) !
Résolution
Question 1.
L’application IdE−p est clairement un endomorphisme de E comme différence de deux endomorphismes de E.
On a alors :
(
E) (
E)
E E E E N(car est un projecteur ) E
E
Id Id Id Id Id Id
Id Id
p p
p p p p p p
p p p p
=
− − = − − +
= − − +
= −
D D D D D
Comme IdE−p est un endomorphisme de E qui vérifie
(
IdE−p) (
D IdE−p)
=IdE− p, il s’agit d’un projecteur de E.IdE− p est un projecteur de E.
Question 2.
Soit y un élément quelconque de Imp. Il existe donc un vecteur x de E tel que : y= p x
( )
.Mais alors : p y
( )
= p p x( ( ) )
=(
p pD)( )
x = p x( )
= y, soit(
IdE−p)( )
y =0E. Ainsi, y∈ker Id(
E−p)
et on en conclut finalement : Imp⊂ker Id(
E−p)
.PanaMaths Mars 2012
Soit maintenant y un élément quelconque de ker Id
(
E− p)
.On a :
(
IdE− p)( )
y =0E, soit p y( )
= y et on en déduit immédiatement y∈Imp puis l’inclusion : ker Id(
E−p)
⊂Imp.La double inclusion nous permet finalement de conclure à l’égalité :
(
E)
Imp=ker Id −p
Cette égalité est valable pour tout projecteur de E, en particulier pour le projecteur IdE−p. On a donc :
(
E) ( E (
E ) )
Im Id −p =ker Id − Id −p =kerp
En définitive, on a :
(
E)
ker Id −p =Imp et Im Id
(
E−p)
=kerpRésultat final
Si E est un K−espace vectoriel et p un projecteur de E alors IdE−p est un projecteur de E et on a :
(
E)
ker Id −p =Imp
(
E)
Im Id −p =ker p
