p ˜ ( m ) b p ( m ) a Transmissionsnum´eriques(3)

ELEC 2795 - S´eance 3

Transmissions num´eriques (3)

Exercice 1 : Signaux QAM et CAP

On veut transmettre des donn´ees `a 4 Mbits/s sur une porteuse `a 1 MHz modul´ee en QAM-16. Le codeur QAM produit des symboles complexes `a un rythme _T¹. Le filtre de mise en formeg(t) est un filtre de Nyquist de bande passanteB = ^1+α_2T , avec 0≤α≤1.

1. Ecrire l’expression du signal transmisx_QAM(t), ainsi que le signal analytique, l’ enveloppe et les composantes de Rice correspondantes.

2. Le sch´ema ci-dessous repr´esente un ´emetteur QAM classique impl´ement´e au moyen d’un filtre de mise en forme num´erique suivi d’un interpolateur (suppos´e id´eal). Quelle est la contrainte sur le facteur de sur´echantillonnageN ?

DAC DAC

codeur

bits QAM OL (f0)

cos(ωct)

π 2

b

g ( m )

↑N

a

g ( m )

↑N

x_QAM(t)

sin(ωct)

Figure 1: Emetteur QAM

3. Une impl´ementation alternative, exclusivement num´erique, appel´ee CAP (Carrierless Ampli- tude/Phase), est propos´ee sur la figure 2,

QAM

codeur

bits

a

p ( m )

↑N

b

˜ p ( m )

↑N

x

( t )

Figure 2: Emetteur CAP

1

avec

p(m) = g(m) cos

ω_cmT N

(1)

˜

p(m) = g(m) sin

ω_cmT N

(2) Comparer le signal transmis x_CAP(t) au pr´ec´edent. Quelle est la nouvelle contrainte sur N? 4. Quelle op´eration faut-il ajouter `a l’´emission pour que cet ´emetteur CAP soit compatible avec un r´ecepteur QAM classique? Pour quelles valeurs de la fr´equence centralef_c pourra-t-on se passer de cette op´eration suppl´ementaire?

Exercice 2 : Taux d’erreur binaire en M-PAM

Soit le signal PAM (Pulse Amplitude Modulation) en bande de base suivant:

s(t) =

∞

n=−∞

a_nu(t−nT_s)

avec a_n= (2m−1−M)d o`um∈(1,· · ·, M) et 2d indique la s´eparation entre 2 valeurs possibles du symbole a<sub>n</sub> et M = 2<sup>Nb</sup> o`u N_b est un nombre entier. Il s’agit d’une modulation d’amplitude multi-niveaux. Les symboles successifs sont suppos´es ind´ependants. Le signal s(t) passe dans un canal BBGA (densit´e spectrale de bruit ^N₂⁰) puis dans un filtre adapt´e `a u(t). La sortie du filtre adapt´e est ´echantillonn´ee `a cadence _T¹

s et une d´ecision est prise sur les symboles transmis `a partir des ´echantillons y_m ainsi obtenus.

• Dessiner la constellation PAM pour diverses valeurs de M. Combien de bits peut-on trans- mettre sur chaque symbolea_n?

• Si les M valeurs possibles de chaque symboles sont ´equiprobables, quelle est la variance σ²_a des symboles?

• Quelle est l’´energie E_s associ´ee `a chaque symbole au niveau du r´ecepteur?

• Quelle condition doit satisfaire la forme d’ondeu(t) pour que la sortie du filtre adapt´e puisse s’´ecrire y_m =a_m+ν_m o`u ν_m ne d´epend que du bruit additif?

• Quel type de variable al´eatoire est la sortie du filtre adapt´e y_m? Quelle est sa moyenne? Sa variance?

• Ou placer les fronti`eres de d´ecision de mani`ere `a minimiser la probabilit´e d’erreur sur les symboles?

• Quelle est la probabilit´e d’erreur sur un symbole situ´e au centre de la constellation? Et aux extr´emit´es? Quelle est d`es lors la probabilit´e d’erreur moyenne?

• Que vaut l’´energie associ´ee `a chaque bit E_b?

• Si deux symboles voisins ne diff`erent que d’un seul bit et si l’on suppose que les seules erreurs possibles consistent `a choisir un symbole imm´ediatement voisin plutˆot que le symbole ad´equat, que vaut la probabilit´e d’erreur sur les bits? Donner son expression en fonction de M et ^E_N^b

0.

2

• Particulariser au cas M = 2.

• Montrer que le d´ebit binaire maximalR auquel on peut pr´etendre `a l’aide d’une modulation PAM multi-niveaux s’´ecrit:

R= 1 2T_slog₂

1 + 1 f(p_s)

E_s N₀

o`u T_s est une contrainte d´ependant de la bande passante disponible, p_s est le taux d’erreur maximal admissible sur les symboles (qui d´epend de l’application envisag´ee) et _N^Es

0 repr´esente la qualit´e du canal BBGA. Donner l’expression de la fonction f(p_s).

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