Mise en œuvre de la m´ ethode des El´ ements Finis Projet - I
On s’int´eresse `a la simulation num´erique d’un probl`eme aux limites stationnaire pos´e en 2D. Cette simulation est bas´ee sur une discr´etisation num´erique du probl`eme `a l’aide des ´el´ements finis de Lagrange.
1 Introduction
On consid`ere Ω =]0,1[×]0,1[ et on d´esigne parnla normale d´efinie sur∂Ω, le bord de Ω, prise sortante par rapport `a Ω. Le probl`eme consid´er´e s’´ecrit comme suit :
Pour une fonctionfdonn´ee, d´efinie dans Ω, et pourα, β ∈R, trouveru: (x, y)∈Ω7−→u(x, y)∈R tel que
( −∆u(x, y) = f(x, y) ∀(x, y)∈Ω,
α u(x, y) +β ∂nu(x, y) = 0 ∀(x, y)∈∂Ω. (1) Le probl`eme (1) permet de d´ecrire certains ph´enom`enes physiques en ´etat d’´equilibre :
• D´eformation d’une membrane
Il s’agit ici du cas d’une membrane soumise `a une charge uniformef. La membrane est encastr´ee (pour α 6= 0, β = 0), et a des cˆot´es libres (pour α = 0, β 6= 0). La fonction u(x, y) d´ecrit la d´eformation de la membrane.
• Distribution de temp´erature
Supposons qu’une source de chaleur uniforme de charge f se trouve en dessous d’une plaque carr´ee. La temp´erature est fix´ee (pour α6= 0,β = 0), et les cˆot´es de la plaque sont isol´es (pour α = 0, β 6= 0). La fonction u(x, y) repr´esente la distribution (stationnaire) de temp´erature circulant dans la plaque.
• Ecoulement d’un fluide
L’´ecoulement (stationnaire, irrotationel) d’un fluide incompressible est d´ecrit par l’´equation de Poisson (ou de Laplace en l’abscence de sources).
2 Discr´ etisation num´ erique par ´ el´ ements finis
On proc`ede ici `a la discr´etisation num´erique de (1) par une m´ethode d’´el´ements finis.
On consid`ere un r´eseau de points du carr´e unit´e Ω = [0,1]×[0,1] constitu´e des points de coor- donn´ees (xi, yj) = (i k, j k) o`ui, j = 0,1, ..., N + 1 et k = N1+1. On subdivise ensuite chaque pav´e de sommets (xi, yi), (xi+1, yi), (xi, yi+1) et (xi+1, yi+1) en deux triangles o`u (xi, yi), (xi+1, yi), (xi, yi+1)
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sont les sommets du premier triangle obtenu apr`es subdivision et (xi, yi+1), (xi+1, yi), (xi+1, yi+1) sont ceux du second triangle.
L’ensemble des triangles ainsi obtenus forme une triangulation Th uniforme et r´eguli`ere de Ω, o`u h = max
K∈T hK d´esigne le pas de triangulation et hK = max
x,y∈K|x−y|.
SoitP1l’ensemble des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 1, `a variables dansR2. A l’aide de la triangulation Th et d’un espace discret utilisant les ´el´ements deP1, convenablement choisi, on associe
`a (1) un probl`eme discret qui conduit `a la r´esolution d’un syst`eme matriciel lin´eaire A uh = fh o`u A est la matrice du syst`eme,fh le second membre etuhl’inconnue du syst`eme permettant de repr´esenter la solution du probl`eme discret.
3 Mise en œuvre num´ erique
3.1 Pr´eliminaires
• En consid´erant f ∈ L2(Ω), l’on commencera par formuler, `a l’aide de la m´ethode de Galerkin, le probl`eme variationnel qui d´ecoule de (1) lorsqueα= 1 et β = 0, ou lorsqueα6= 0, etβ 6= 0.
• En utilisant la triangulation Th d´ecrite ci-dessus et les ´elements de P1, d´ecrire dans chaque cas le probl`eme variationnel discret associ´e.
• Former dans chaque cas le syst`eme matriciel lin´eaireA uh = fh, ´evoqu´e pr´ec´edemment.
3.2 Simulations num´eriques avec Scilab
L’on utilisera le logiciel Scilab pour la mise en œuvre effective, sans faire appel, `a aucun moment, d’une boˆıte `a outils de Scilabou des programmes ext´erieurs.
• Ecrire un programme qui permet de former la matriceA, et le second membrefh, en fonction des valeurs de N, α, et β. Ce programme doit effectuer les int´egrations num´eriques en utilisant la formule de Simpson, et ensuite resoudre le syst`eme matriciel `a l’aide d’une factorisation de Gauss (factorisationL U), puis repr´esenter graphiquement la solution du probl`eme discret associ´e `a (1).
L’on testera son programme avec f : (x, y)∈Ω7−→1, N = 9, α = 1 et β = 0 dans un premier temps, puis par ailleurs avecα =β = 1.
• Faire de mˆeme avec N = 99, N = 999, N = 9999.
• Dans le cas o`u, l’on connait la solution exacte de (1), u(x, y) = x(x−1)y(y−1), avec α = 1, β = 0 et la source correspondantef, proposer une approximation num´erique de l’erreur relative (en normeL2) sur la solution u, pour chaque valeur deN (consid´er´ee comme pr´ec´edemment) ; en utilisant la formule de Simpson pour les int´egrations num´eriques. Representer graphiquement les approximations num´eriques obtenues, en fonction des valeurs deN, puis commenter.
On rappelle ici la formule de Simpson. Soitf : [a, b]→Rune fonction continue et nun entier positif.
Les points de subdivision de l’intervalle [a, b] sontx0 =a jusqu’`ax2n=b. On ´evalue num´eriquement
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Rb
af(x)dxavec
b−a
6n (x0+x2n+ 2
n−1
X
l=1
x2l+ 4
n
X
l=1
x2l−1).
3.3 Simulations num´eriques avec FreeFem
Reprendre les questions pr´ec´edentes en utilisant le logiciel FreeFempour la mise en œuvre effective.
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