I. Transformation du plan
a. Définition : On dit qu'une application du plan dans lui-même est une transformation si f est une bijection du plan dans lui-même. C'est à dire, si pour tout point N du plan, il existe un unique point M tel que fM=N.
M Constructions
géométriques N
Comme f est une bijection, on peut considérer l'application réciproque notée f–1. Il s'agit également d'une transformation.
b. Exemples: Les translations, les homothéties, les rotations, les symétries (ou réflexions) sont des transformations du plan. L'identité est une transformation du plan.
Transformation Éléments caractéristiques
Notation &
caractérisation vectorielle
Traduction géométrique
Dessin Écriture complexe Mz Nz '
translation vecteur u N=tuM
MN=u
Si AB=u. N=tuM ⇔ MNBA est un parallélogramme
symétrie axiale (par rapport
à une droite) droite d N=sdM
MH=HN
N=sdM ⇔ d est la médiatrice de
[MN]
symétrie centrale (par rapport à un point)
centre O N=sOM
MO=ON
N=sOM ⇔ O est le milieu de [MN]
homothétie centre
rapport k N=h,kM
N=kM
, M et N alignés
rotation
centre
angle N=r,M
N=M et
M ,N=2
.
c. Composition de transformations : Étant donné deux transformations f et g, on gof la composée de f par g définie par :
d. Exercices :
1. Déterminer les transformations réciproques de la translation de vecteur u, de l'homothétie de centre et de rapport k (k réel non nul), de la rotation de centre O et d'angle , de la symétrie d'axe . 2. On considère l'application h qui à tout point M d'affixe z associe le point N d'affixe z ' tel que
z '=1izi
Démontrer que h est une transformation du plan. Quelle est l'écriture complexe de sa réciproque h–1?
3. Soit t et r les transformations d'écritures complexes : t: z '=z1 et r: z '=iz. Identifier géométriquement les transformations t, r et t or.
4. Soit s d'écriture complexe : z '=j z1−j avec j=e2i/3. Montrer que sos=Id.
2. Similitudes
a. Définition : Soit k un réel strictement positif. On appelle similitude de rapport k toute transformation du plan qui multiplie les distances par k, c'est à dire :
Pour tous points A et B d'images A ' et B', on a : A ' B '=kAB. b. Exemples :
Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport k (si k0 ) et de rapport – k (si k0 )
En effet, de M ' N '=kMN , on en déduit M ' N '=∣k∣MN.
Une similitude de rapport 1, c'est à dire une transformation qui conserve les distances, est appelée une isométrie. Les translations , rotations et réflexions sont des isométries.
Une similitude a une écriture complexe : voir plus loin.
c. Exercices : 1) Montrer que les transformations s et s' d'écritures complexes : s :
z'=2iz1i et s' : z '=2iz1i sont des similitudes dont on précisera le rapport.
2) Retour sur les triangles semblables:
On dit que deux triangles sont semblables si et seulement si les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre. Et : Deux triangles sont semblables si et seulement les côtés de l'un sont proportionnels aux côtés de l'autre.
Ainsi ABC et MNP sont semblables ⇔ AB MN=AC
MP=BC
NP=k ⇔ ABC est l'image du triangle MNP par une similitude de rapport k.
Soit A, B et C trois points d'un cercle de centre O. la bissectrice de l'angle BAC recoupe le cercle en un point I et coupe la droite BC . 1. a. Démontrer que ABD et AIC sont semblables ainsi que DBA et
DIC.
1. b. En déduire que AB×AC=AI×AD et que DI×DA=DB×DC. 2. a. Justifier que IB=IC
2. b. Démontrer que AB×AC=AD2DB×DC
d. Composition et décomposition d'une similitude
➔ Composition
La transformation réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de rapport 1 k La composée de deux similitudes de rapport k1 et k2 est une similitude de rapport k1×k2. En particulier : la composée de deux isométries est une isométrie.
➔ Théorème de décomposition (important)
Toute similitude de rapport k k0 est la composée d'une homothétie de rapport k et d'une isométrie.
3. Similitude : Écriture complexe.
a. Écriture complexe d'une isométrie:
Théorème : Les isométries du plan sont les transformations d'écriture complexe :
z '=eizb ou z '=eizb où est un nombre réel et b un nombre complexe.
b. Écriture complexe d'une similitude:
Les similitudes sont les transformations d'écriture complexe :
z '=azb ou z '=a zb où a et b sont des nombres complexes avec a≠0 Le rapport de la similitude est le module de a.
4. Propriétés géométriques des similitudes
Une similitude transforme une droite en une droite, un segment en un segment et un cercle en un cercle.
Une similitude conserve le parallélisme, l'orthogonalité, le contact, le barycentre et multiplie les aires par le carré de son rapport.
5. Deux types de similitude : les directes et les indirectes
a. Effet sur les angles orientés : Les similitudes d'écriture complexe z '=azb conservent les angles orientés, et les similitudes d'écriture complexe z '=a zb changent un angle orienté en son opposé.
b. Terminologie :
Les similitudes d'écriture z '=azb qui conservent les angles orientés sont appelées similitudes directes et déplacements s'il s'agit d'une isométrie (∣a∣=1 ).
Les translations et les rotations sont des déplacements (ce sont les seuls)
Les autres similitudes d'écriture z '=a zb sont appelées similitudes indirectes et antidéplacements dans le cas des isométries (∣a∣=1 ).
Les réflexions sont des antidéplacements.
c. Point fixe d'une similitude:
Définition : Un point fixe est un point qui est confondu avec son image.
Théorème : Toute similitude qui admet deux points fixes A et B est soit l'identité, soit la réflexion d'axe AB.
6. Similitudes directes
a. Forme réduite d'une similitude directe Théorème :
Soit s la similitude directe d'écriture complexe z '=azb (a∈ℂ∗et b∈ℂ) Lorsque a=1 , s est une translation de vecteur u d'axe b.
Lorsque a≠1, s admet un seul point fixe et s est la composée dans un ordre indifférent :
– de l'homothétie de centre et de rapport k, avec k=∣a∣ ; – de la rotation de même centre et d'angle , =arga2.
L'écriture complexe de s est alors : z ' –=keiz – où est l'affixe du point fixe .
b. Terminologie : L'écriture de s sous la forme h or ( ou roh) s'appelle la forme réduite de s. On
c. Exemple : Quelle est la forme réduite de la similitude directe d'écriture complexe z '=1iz1 ? Attention : Si k0 , quelle est la forme réduite de la composée hO , ko rO , réel ?
➔ Exemple : Quelle est l'écriture complexe de la composée de hO ,−2o r
O , 6
?
d. Propriétés géométriques d'une similitude directe:
Soit s la similitude directe de centre , de rapport k et d'angle . Relations entre un point, son image et le centre
pour tout point M d'image M ' par s, on a : M '=kM et M ,M '=2
Relations entre deux points et leurs images
pour tous points A et B d'image A ' et B' par s, on a :
A ' B'=kAB et AB ,A' B '=2
e. Utilisation de la propriété précédente:
Dans le cas particulier d'une similitude directe d'angle
2 ou –
2 , on a donc qu'une droite et son image sont perpendiculaires.
➔ Exemple
Les triangles OAB et OCD sont rectangles et isocèles en O de sens direct, et I est le milieu de [BC]. A l'aide de la composée roh, où r est la rotation de centre O, d'angle
2 , et h l'homothétie de centre B, de rapport 2, montrer que :
AD=2OI et AD⊥OI
f. Théorème : Soit A, B, A ' et B' des points du plan tels que A≠B et A '≠B'. Il existe une unique similitude directe transformant A en A ' et B en B'.
g. Figures "clés" d'une similitude directe:
➔ Dans chacun des cas suivants, M ' est l'image de M par la similitude directe de centre , de rapport k et d'angle .
➔ Configuration des deux cercles sécants
Soit deux cercles C1 de centre O et C2 de centre O' sécants en A et B et s la similitude directe de centre A qui transforme O en O'. Alors :
sC1=C2 ;
pour tout point M de C1, M, B et sM sont alignés.
( sM est un point de C2 )
Exercice : A, B, C et D sont quatre points distincts tels que :
AB et CD sont sécantes en J ;
Les cercles circonscrits C1 et C2 aux triangles ACJ et BDJ se recoupent en J. Quelle est le centre de la similitude directe S qui transforme A en B et C en D ?
