Année 2012
Ressource Terminale C :
Isométries planes : Généralités
Production :
Concepteur :
Farel STEIMBAULT KIBINDA, étudiant à l’Ecole Normale Supérieure de l’Université Marien NGouabi, Congo-Brazzaville
Encadreurs :
• Joseph BONAZEBI YINDOULA, enseignant au lycée Pierre SAVOR- GNAN DE BRAZZA, Congo-Brazzaville
• Christian TATHY, enseignant-chercheur à l’Ecole Normale Supérieure de l’Université Marien NGouabi, Congo-Brazzaville
© E.N.S.-U.M.NG. 2012
Introduction 4
0.1 Public ciblé . . . 4
0.2 Objectifs pédagogiques . . . 4
0.3 Place dans le programme . . . 4
0.3.1 Pré-requis . . . 4
0.3.2 Utilisations futures . . . 4
0.4 Répartition horaire . . . 5
0.5 Déroulement prévu des activités de la ressource . . . 6
Isométries Planes : Généralités 7 0.6 Activité préparatoire . . . 7
0.6.1 Énoncé de l’activité préparatoire . . . 7
0.6.2 Analyse a priori . . . 7
0.6.3 Solution optimale de l’activité préparatoire . . . 8
0.7 Définition . . . 8
0.8 Exemples : . . . 8
0.9 Propriétés des isométries planes . . . 10
0.9.1 Propriété 1 : Conservation du produit scalaire . . . 10
0.9.2 Propriété 2 : Conservation du barycentre . . . 11
0.9.3 Propriété 3 : Conservation des angles non orientés . . . 11
0.9.4 Propriété 4 :Toute isométrie est une bijection . . . 12
0.10 Conséquences . . . 13
0.11 Études de quelques isométries planes . . . 13
0.11.1 Rotation . . . 13
Définition . . . 13
Expression analytique de la rotation . . . 13
Exemple d’illustration . . . 16
Composition de deux rotations . . . 16
Expression complexe . . . 17
0.11.2 Cas particuliers de rotation . . . 18
Identité du plan . . . 18
Symétrie centrale . . . 19
Quart de tour direct . . . 19
Quart de tour indirect . . . 20
0.11.3 Réflexion ou symétrie axiale . . . 21
Définition . . . 21
Expression analytique de la réflexion . . . 21
Exemple d’illustration . . . 23
Composition de deux réflexions . . . 23
Expression complexe d’une symétrie . . . 25
0.12 Exercices d’application (E.A) . . . 26
0.12.1 Énoncés des exercices d’application . . . 26
0.12.2 Analyse a priori . . . 26
0.12.3 Solutions optimales des exercices d’application . . . 27
Devoir sur table 31 Énoncé du devoir sur table . . . 31
Analyse a priori du devoir sur table . . . 32
Corrigé du devoir sur table . . . 33
Devoirs "maison" 37 Devoir "maison" n◦1 . . . 37
Devoir "maison" n◦2 . . . 38
Exercices d’approfondissement 40
Bibliographie et webographie 44
0.1 Public ciblé
Cette ressource est destinée aux enseignants de Lycée et aux apprenants en classe de terminale Scientifique C et E.
0.2 Objectifs pédagogiques
Dans cette ressource, nous donnons aux apprenants des moyens, des méthodes et des techniques qui leurs permettront d’atteindre les objectifs suivants :
I Reconnaître et caractériser une isométrie plane I Composer deux isométries planes
I Donner l’expression analytique d’une isométrie plane I Donner l’expression complexe d’une isométrie plane.
0.3 Place dans le programme
0.3.1 Pré-requis
Pour mieux aborder cette ressource, les apprenants doivent avoir des connais- sances sur :
I Les applications affines
I Les notions de distance, de norme et de produit scalaire I Les angles orientés et les calculs barycentriques.
0.3.2 Utilisations futures Cette ressource sera utile dans :
I La composition et la décomposition des isométries planes I La classification des isométries planes
I L’étude des similitudes planes (Cadre géométrique et Complexe).
0.4 Répartition horaire
La durée totale maximale de cette ressource est de 5 heures. Elle est repartie comme suit :
? Section 0.6 : 30min
? Sections 0.7 et 0.8 : 30min
? Sections 0.9 et 0.10 : 45min
? Section 0.11 : 2h15min
? Section 0.12 : 1h00
0.5 Déroulement prévu des activités de la ressource
Titre de la ressource :
Isométries planes : Généralités
Organisation de la ressource
Cette ressource est composée d’une leçon qui sera accompagnée d’un devoir sur table, de deux devoirs "maison" et d’une feuille d’exercices d’approfondissement terminée par une bibliographie.
0.6 Activité préparatoire
0.6.1 Énoncé de l’activité préparatoire
Soit f une transformation du plan P dans lui même, et M(x, y) d’image M0(x0, y0) par f deux points du plan P tel que :
(x0 = x+ 4 y0 = y −5
Soit N(x1, y1) d’image N0(x01, y10) par f deux points du plan P. a) Calculer les distances d(M, N) et d(M0, N0).
b) Comparer ces distances trouvées.
c) Quelle conclusion peut-on tirer de la transformation f ?
0.6.2 Analyse a priori Objectif de l’activité
Cette activité a pour but d’introduire la notion d’isométrie en partant des pré-requis de l’apprenant.
Justification de l’activité
Le choix de cette activité repose sur le fait que les apprenants connaissent déjà les transformations du plan (translation, rotation...). Il s’agit ici de partir d’une expression analytique d’une transformation du plan pour définir une isométrie.
D’où le choix de l’expression analytique d’une translation qui est moins compliquée à manipuler que celle de la rotation par exemple.
Erreurs possibles
Dans cette activité, les apprenants pourraient rencontrer les obstacles pour calculer la distance d(M0, N0) c’est-à-dire de déterminer l’expression analytique
0.6.3 Solution optimale de l’activité préparatoire a) Calculons les distances d(M, N) et d(M0, N0).
d(M, N) =p
(x1 −x)2 + (y1 −y)2 (1) et
d(M0, N0) = q
(x01 −x0)2 + (y10 −y0)2
Rappelons que N0(x01, y01) est l’image de N(x1, y1) par f, donc : (x01 = x1 + 4
y10 = y1 −5 On obtient alors :
d(M0, N0) = q
(x01 −x0)2 + (y10 −y0)2
= p
(x1 + 4−x−4)2 + (y1 −5−y + 5)2 d(M0, N0) = p
(x1 −x)2 + (y1 −y)2 (2) b) Comparons ces deux distances. On constate que (1) = (2) , d’où
d(M, N) = d(M0, N0)
c) Étant donné que d(M, N) = d(M0, N0), alors f est une transformation qui conserve les distances.
0.7 Définition
On appelle isométrie du plan P, toute transformation de P dans lui même qui conserve les distances.
0.8 Exemples :
La translation, la rotation, la symétrie glissée,... sont des isométries du plan.
Méthode
Ici il s’agit de présenter une démarche qui permettra à l’apprenant de montrer qu’une transformation du plan est une isométrie. La procédure est la suivante :
• Reconnaître d’abord qu’une expression analytique établit une relation entre un point du plan avec son image par la transformation donnée c’est-à-dire pour un point M(x, y) et f la transformation, on a : f(M) = M0 avec M0(x0, y0) l’image de M par f ;
• Choisir un point quelconque du plan différent du point M et trouver son image par la transformation donnée ;
• Calculer ensuite la distance entre les points antécédents puis la distance entre les points images ;
• Comparer les deux distances trouvées ;
• Enfin en cas d’égalité de ces distances, conclure que la transformation donnée est une isométrie.
A retenir
L’homothétie du plan de rapport k si k 6= 1 n’est pas une isomé- trie du plan, car elle ne conserve pas les distances.
Preuve
Soit h(O;k) l’homothétie de centre O et de rapport k avec k 6= 1.
Soient M et N deux points quelconques du plan et M0 et N0 deux points images de M et N par h(O;k).
On a les relations suivantes :
(−−→
OM0 = k−−→
−−→ OM
ON0 = k−−→
ON Calculons les distances d(M, N) et d(M0, N0)
Or
d(M, N) = k−−→
M Nk et
d(M0, N0) =k−−−→
M0N0k En effet,
−−−→M0N0 = −−→
M0O +−−→
ON0
= −−−→
OM0+ −−→
ON0
= −k−−→
OM +k−−→
ON
= k(−−→
ON −−−→
OM)
= k(−−→
M O+−−→
ON)
= k−−→
M N
On obtient alors :
k−−−→
M0N0k = kk−−→
M Nk = |k| · k−−→
M Nk Ainsi
d(M0, N0) =|k| ·d(M, N)
D’où l’homothétie ne conserve pas les distances, mais plutôt elle les multiplie par le module de son rapport.
0.9 Propriétés des isométries planes
0.9.1 Propriété 1 : Conservation du produit scalaire Toute isométrie du plan conserve le produit scalaire.
Preuve
Soit f une isométrie plane et soient A, B, C trois points du plan d’images respec- tives A0, B0, C0.
L’objectif de cette propriété est de comparer les produits scalaires formés par les points images et antécédents c’est-à-dire, montrons que(−→
AB·−→
AC) = (−−→
A0B0·−−→
A0C0).
−−→
BC = (−→
BA+ −→
−−→ AC)
BC2 = (−→
BA+ −→
AC)2
−−→
BC2 = −→
BA2 + −→
AC2 + 2−→
BA·−→
AC
= −→
BA2 + −→
AC2 −2−→
AB ·−→
AC (−→
AB ·−→
AC) = 1 2(−→
BA2 +−→
AC2 −−−→ BC2) D’où
(−→
AB ·−→
AC) = 1
2(BA2 +AC2 −BC2) car le carré d’un vecteur est un scalaire.
D’autre part on a :
−−→B0C0 = (−−→
B0A0+ −−→
A0C0)
−−→B0C02 = (−−→
B0A0+ −−→
A0C0)2
−−→B0C02 = −−→
B0A02 + −−→
A0C02 + 2−−→
B0A0 ·−−→
A0C0
= −−→
B0A02 + −−→
A0C02 −2−−→
A0B0·−−→
A0C0 (−−→
A0B0·−−→
A0C0) = 1
2(−−→
B0A02 +−−→
A0C02 −−−→
B0C02) D’où
(−−→
A0B0·−−→
A0C0) = 1
2(B0A02 +A0C02 −B0C02)
0.9.2 Propriété 2 : Conservation du barycentre Toute isométrie du plan conserve le barycentre.
Preuve
Soient f une isométrie du plan et G barycentre des points pondérés (A, α) et (B, β) c’est-à-dire
α−→
AG+β−−→ BG = −→
O
Il s’agit de montrer que f(G) est barycentre des points pondérés (f(A), α) et (f(B), β), c’est-à-dire
αf(−→
AG) + βf(−−→
BG) = f(−→ O) En effet,
α−→
AG +β−−→
BG = −→ O f(α−→
AG+ β−−→
BG) = f(−→ O) αf(−→
AG) +βf(−−→
BG) = f(−→ O) α−−−−−−→
f(A)f(G) + β−−−−−−→
f(B)f(G) = f(−→ O) Posons O0 = f(O), on a :
α−−−−−−→
f(A)f(G) + β−−−−−−→
f(B)f(G) = −→ O0.
D’où f(G) est barycentre des points pondérés (f(A), α) et (f(B), β). 0.9.3 Propriété 3 : Conservation des angles non orientés
Toute isométrie du plan conserve les mesures des angles non orientés.
Preuve Soit f une isométrie du plan.
Soient A, B, C trois points deux à deux distincts du plan d’images respectives par f, A0, B0, C0.
On a :
A0B0 = AB et A0C0 = AC
De plus, −→
AB ·−→
AC = k−→
ABkk−→
ACkcos(BAC[)
et −−→
A0B0 ·−−→
A0C0 = k−−→
A0B0kk−−→
A0C0kcos(B\0A0C0)
Notons que k−→
ABk = AB, k−→
ACk = AC, k−−→
A0B0k = A0B0 et k−−→
A0C0k = A0C0. D’après la propriété 1, f conserve le produit scalaire, on a :
−→AB·−→
AC = −−→
A0B0·−−→
A0C0
AB ·ACcos(BAC) =[ AB·ACcos(B\0A0C0) cos(BAC) = cos([ B\0A0C0)
on a :
BAC[ = B\0A0C0 car BAC,[ B\0A0C0 ∈ [0, π]
D’où le résultat.
0.9.4 Propriété 4 :Toute isométrie est une bijection Toute isométrie du plan est bijective.
Preuve
Soit f une isométrie du plan. Montrons alors que f est injective et surjective.
• Injection
Soient A et B deux points du plan d’images respectives A0 et B0 tels que A0 = B0.
f étant une isométrie, on a :
A0B0 = AB Or
A0 = B0 alors
A0B0 = 0 On a :
AB = 0 ce qui implique
A= B D’où
A0 = B0 =⇒A = B Ce qui veut dire f est injective.
• Surjection
En dimension finie une isométrie est surjective.
Étant donné que f est une isométrie du plan, alors f est surjective car la dimension du plan est 2 donc finie.
D’où f est une isométrie bijective.
0.10 Conséquences
Toute isométrie conserve :
• la nature des configurations géométriques (triangles, droites, cercles, quadri- latères, conique,...)
• l’alignement des points
• l’orthogonalité et le parallélisme des droites
0.11 Études de quelques isométries planes
0.11.1 Rotation Définition
Soit A(xA, yA) un point du plan et soit θ la mesure principale d’un angle Θ. On appelle rotation de centre A et d’angle θ notée r = r(A, θ), l’expression r(M) =M0 c’est-à-dire
AM0 = AM (−−→\
AM ,−−→
AM0) = θ
avec M un point quelconque du plan différent de A d’image M0 par r. Expression analytique de la rotation
Nous allons présenter ici une méthode pour déterminer l’expression analytique de la rotation dans le cas où le centre est l’origine du repère et dans le cas où le centre est différent de l’origine du repère.
Premier cas : lorsque le centre est confondu à l’origine i.e A = O
Schéma
• Appelons α la mesure principale de l’angle (−−→\ OX,−−→
OM) et α0 celle de l’angle (−−→\
OX,−−→
OM0).
On a : α0 = α+θ + 2kπ
• Déterminons les composantes de −−→
OM et celles de −−→
OM0
−−→OM a pour composantes :
(x = OM cosα y = OM sinα et −−→
OM0 a pour composantes : (x0 = OM0cosα0
y = OM0sinα0 =⇒
(x0 = OM cos(α +θ) y0 = OM sin(α+ θ)
• Développons l’expression de −−→
OM0 (x0 = OM(cosαcosθ−sinαsinθ)
y0 = OM(sinαcosθ+ sinθcosα) ⇒
(x0 = (OM cosα) cosθ−(OM sinα) sinθ y0 = (OM sinα) cosθ+ (OM cosα) sinθ D’où l’expression analytique de la rotation de centre O et d’angle θ :
(x0 = xcosθ −ysinθ y0 = xsinθ+ycosθ
Deuxième cas : lorsque le centre est différent de l’origine i.e A 6= O Schéma
• Appelons les composantes de −−→
AM par (X, Y) et celles de −−→
AM0 par (X0, Y0)
• Déterminons les composantes de −−→
AM et −−→
AM0 c’est-à-dire : (X = x−xA
Y = y −yA (X0 = x0 −xA
Y0 = y0 −yA
• Par analogie du premier cas on a :
(X0 = X cosθ−Y sinθ Y0 = X sinθ+Y cosθ
On a : (
x0 −xA = (x−xA) cosθ−(y −yA) sinθ y0 −yA = (x−xA) sinθ + (y −yA) cosθ
D’où l’expression analytique de la rotation de centre A6= O et d’angle θ : (x0 = (x−xA) cosθ−(y −yA) sinθ+ xA
y0 = (x−xA) sinθ+ (y −yA) cosθ+yA
Exemple d’illustration
Soit r la rotation de centre A(3,−2) et d’angle θ = π6. Déterminons l’expression analytique de cette rotation.
Reprenons l’expression analytique de la rotation de centre A et d’angle θ, on
a : (
x0 = (x−xA) cosθ−(y −yA) sinθ+ xA y0 = (x−xA) sinθ+ (y −yA) cosθ+yA
Remplaçons le point A et l’angle θ par leurs coordonnées, on obtient : (x0 = (x−3) cosπ6 −(y + 2) sin π6 + 3
y0 = (x−3) sin π6 + (y + 2) cosπ6 −2 Après calculs simples, on trouve :
x0 =
√3
2 x− 1
2y − 3√ 3−4
2
y0 = 1 2x+
√3
2 y + 2√ 3−7 D’où le résultat. 2
Composition de deux rotations
Soient r1 = r(A1, θ1) et r2 = r(A2, θ2) deux rotations.
Examinons la composée r1 ◦r2
• Si A1 = A2 et θ1 +θ2 = 0 On a :
r1 ◦r2 = r(A1, θ1)◦r(A1, θ2)
= r(A1,0)
• Si A1 6= A2 et θ1 +θ2 = 0 On a :
r1 ◦r2 = r(A1, θ1)◦r(A1, θ2)
= r(A1,0)
Nous allons à présent énoncer deux théorèmes sur la composition de deux rotations.
Théorème 1 La composée de deux rotations de même centre Ω, d’angles de me- sures respectives θ, θ0 est la rotation de centre Ω d’angle de mesure θ +θ0.
Théorème 2 Soient Ω, Ω0 deux points distincts de P; θ, θ0 des nombres réels.
La composée de R(Ω, θ) suivie de R(Ω0, θ0) est une : translation, si θ+θ0 = 0[2π];
rotation de centre ω et d’angle θ+θ0, si θ+θ0 6= 0[2π].
Attention
Le théorème 2 ne rentre dans les lignes directrices (objectif principal) de cette ressource, du fait qu’il exige les connaissances sur la décomposition des isomé- tries ; lesquelles notions permettront à déterminer le centre ω de la rotation com- posée. Ainsi, il est vivement conseillé de consulter la ressource intitulée Compo- sition et Décomposition des isométries.
Expression complexe
Attention
Cette rubrique fait partie d’une étude spéciale dans la ressource de Junior DILAMENO intituléeTraduction complexe des similitudes planes. Ainsi pour plus d’information, confère cette ressource.
Soit r la rotation de centre Ω d’affixe ω et d’angle θ et soit M et M0 deux points du plan d’affixes respectives z et z0.
En partant de la définition géométrique de la rotation on a : (ΩM0 = ΩM
(−−→
ΩM ,−−→
ΩM0) = θ[2π]
On obtient en introduisant les affixes :
|z0−ω| = |z −ω|
arg
z0 −ω z−ω
= θ[2π]
On obtient :
|z0−ω
| = |eiθ|
Étant donné que les complexes zz−ω0−ω et eiθ ont le même rapport 1 et le même angle θ, alors ils sont égaux. On a :
z0 −ω
z−ω = eiθ
z0 −ω = eiθ(z−ω)
z0 = eiθz +ω(1−eiθ) On obtient ainsi l’expression complexe de la rotation :
z0 −ω = eiθ(z−ω) En posant
a = eiθ et b = ω(1−eiθ)
On obtient une autre forme de l’expression de la rotation :
z’=az+b 0.11.2 Cas particuliers de rotation
Reprenons l’expression de la rotation de centre O et d’angle θ, on a : (x0 = xcosθ−ysinθ
y0 = xsinθ +ycosθ
Nous allons examiner les différentes valeurs prises par θ. Identité du plan
Si θ = 0, l’expression analytique ci-dessous devient : (x0 = x
y0 = y Ce qui donne :
OM0 = OM On obtient alors l’identité du plan
I(M) = (M0) Ainsi :
La rotation de centre O et d’angle 0 est une identité du plan.
Son expression complexe est
z0 = z Symétrie centrale
Si θ = π, on obtient :
(x0 = −x y0 = −y ce qui donne
OM0 = OM (−−→\
AM ,−−→
AM0) =π Ceci veut aussi dire : −−→
OM0 = −−−→
OM On obtient alors la symétrie centrale de centre O.
Ainsi :
La rotation de centre O et d’angle π est une symétrie centrale de centre O, appelée encore demi-tour de centre O.
quart de tour direct
Si θ = π4, on obtient de l’expression analytique de la rotation de centre O : (x0 =
√2 2 x−
√2 2 y y0 =
√ 2 2 x+
√ 2 2 y Ce qui donne :
OM0 = OM (−−→\
AM ,−−→
AM0) = π4
On obtient alors le quart de tour direct de centre O. Ainsi :
La rotation de centre O et d’angle π4 est le quart de tour direct de centre O.
L’expression complexe du quart de tour direct est :
z0 =
√2
2 + i
√2
2
! z
quart de tour indirect
Si θ = −π4, on obtient de l’expression analytique de la rotation de centre O : (x0 =
√ 2 2 x+
√ 2 2 y y0 = −
√2 2 x+
√2 2 y Ce qui donne :
OM0 = OM (−−→\
AM ,−−→
AM0) =−π4 On obtient alors le quart de tour indirect de centre O.
Ainsi :
La rotation de centre O et d’angle −π4 est le quart de tour indirect de centre O.
L’expression complexe du quart de tour indirect est :
z0 =
√2
2 −i
√2
2
! z
0.11.3 Réflexion ou symétrie axiale Définition
La réflexion2 est la transformation, notée SD, qui laisse invariant tout point de la droite D et transforme tout point M du plan P (M /∈ D) en un point M’
de P tel que D soit la médiatrice du segment [MM’].
i.e.
SD : P −→ P
M 7−→ M0 telle que D = med[M M0] Autrement
SD(M) =M0 ⇔
(M I = M0I
−−−→M M0 ·~uD = 0 , où I ∈ D et ~uD = D~.
Expression analytique de la réflexion D’après la définition de la SD
SD(M) =M0 ⇐⇒
(M I = M0I ,où I ∈ D et ~uD = D~
−−−→M M0 ·~uD = 0
On a le schéma suivant :
Par ailleurs D : ax+by +c = 0 où ~uD = (−b;a)
• De la relation
M I = M0I I est milieu du segment [M M0].
Soit M(x;y) et M0(x0;y0), ainsi : I
x+x0
2 ;y +y0 2
De plus, I ∈ D, on a : a
x+x0 2
+b
y+ y0 2
+c = 0 Après un développement simple, on obtient :
ax+by + 2c = −(ax0 +by0) (?)
• De la relation −−−→
M M0 ·~uD = 0 On a :
x0 −x y0 −y
−b a
= 0 ⇐⇒ −b(x0 −x) + a(y0 −y) = 0
⇐⇒ −bx0 +ay0 = −bx+ay (??) En tenant compte de (?) et (??), on obtient le système suivant :
(ax0+by0 = −ax−by−2c
−bx0 +ay0 = −bx+ay
Par simples calculs, la résolution de ce système d’équations donne :
x0 = b2 −a2
a2 +b2x− 2ab
a2 +b2y − 2ac a2 + b2 y0 = − 2ab
a2 +b2x− b2 −a2
a2 +b2y − 2cb a2 +b2
En posant α = b2 −a2
a2 +b2, β = − 2ab
a2 +b2, γ = − 2ac
a2 +b2 et λ = − 2cb a2 +b2.
D’où, on obtient l’expression analytique de réflexion d’axe D :ax+by +c = 0
x0 = αx+βy +γ y0 = βx−αy+ λ Exemple d’illustration
En partant de la définition de la symétrie axiale, déterminer l’expression ana- lytique de la symétrie orthogonale S d’axe la droite (D) : −12x+ 4y + 1 = −1.
Composition de deux réflexions
Nous allons examiner deux situations de la composée des réflexions. La pre- mière situation est celle de la composée de deux réflexions d’axes parallèles et la deuxième situation celle d’axes sécantes.
Théorème 3 Soient D et D0 deux droites parallèles et ∆ une perpendiculaire commune à D et D0 les coupant respectivement en A et B.
La composée de la réflexion d’axe D suivie de la réflexion d’axe D0 est la trans- lation de vecteur 2−→
AB :
SD0 ◦ SD = t2−AB−→
Démonstration
Nous avons la figure suivante :
