CHAPITRE VI
Modélisation par réseaux de pores à l’échelle du grain
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la modélisation à l’échelle d’un grain suivant l’approche discrète. Nous développons un modèle par réseau de pores similaire à ceux existant dans la littérature. Nous commençons par présenter succinctement les principes et phénomènes pris en compte par ce type de modèles, nous en décrivons ensuite plus en détail la structure.
Nous analysons le modèle pour définir, sur base de nombres sans dimensions, différents do- maines de comportement du système pour lesquels des simplifications sont envisageables. Sur base de cette analyse dimensionnelle, nous étudions l’influence sur l’évaporation d’une variation de certaines propriétés du système, tel que l’angle de contact entre le liquide et la paroi du milieu poreux.
VI.1 Principes
VI.1.1 Description du milieu poreux
L’idée de base de l’approche discrète est de déduire le comportement des écoulements en milieu poreux directement des équations à l’échelle du pore sans écrire d’équations pour l’ensemble du milieu. L’approche par réseau de pores est le modèle discret le plus courant en évaporation en milieu poreux [35].
Comme illustré sur la figure VI.1, le modèle par réseau de pores décrit le milieu poreux comme étant constitué d’un ensemble depores, réservoirs de fluides, séparés les uns des autres par desliaisons, où se concentrent les forces capillaires et la résistance au transfert de quantité de mouvement et de matière [6]. Un pore est donc caractérisé par le volume de fluide qu’il peut contenir et par undegré de coordination, c’est-à-dire le nombre de pores auxquels il est directement connecté par des liaisons. Une liaison est caractérisée par les deux pores qu’elle relie, par un ensemble de grandeurs représentatives de sa résistance aux phénomènes de transport et de sa pression capillaire. Il est courant de donner une forme à l’ensemble des liaisons, par exemple cylindrique ou parallélépipèdique. Dans ce cas, les caractéristiques des liaisons peuvent être calculées sur base d’une longueur caractéristique de leur plus petite section. Le réseau de pores est alors caractérisé par :
– une distribution en volume des pores,
Fig. VI.1 – Schématisation d’un réseau de pores dans un milieu poreux en deux dimensions.
Le solide est présenté en gris foncé, les régions remplies de liquide en gris clair et les zones blanches contiennent du gaz. Les points noirs correspondent aux pores et les traits pointillés aux liaisons.
(a) Réseau carré 2D, chaque pore est connecté à ses 4 premiers voisins.
(b) Réseau cubique 3D, chaque pore est connecté à ses 6 premiers voisins.
(c) Réseau de Bethe de degré de coordination de 3.
(d) Réseau tétrahédrique 3D, chaque pore est connecté à ses 4 premiers voisins.
Fig. VI.2 – Exemples de réseaux présentant différentes degrés de coordination.
– des distributions en taille des liaisons (longueur, diamètre),
– un ensemble de paramètres caractérisant l’ensemble des liaisons, comme par exemple un coefficient de conductibilité hydraulique.
La plupart des modèles par réseau de pores en évaporation n’utilisent cependant pas un aussi grand nombre de grandeurs distribuées. Bien souvent, et c’est également l’optique que nous suivons, la longueur des liaisons ainsi que le degré de coordination de pores sont uniformes. Les connectivités les plus courantes sont le réseau carré en 2D (illustré sur la figure VI.2(a)) [40] ou cubique en 3D (illustré sur la figure VI.2(b)) [118] dans lequel chaque pore est connecté à 4 (2D) ou 6 (3D) voisins, situés dans deux ou trois directions orthogonales. D’autres configurations, comme les réseaux de Bethe (illustré sur la figure VI.2(c)), existent mais sont peu utilisés en évaporation [119]. Nous discutons brièvement au chapitre VIII de l’utilisation d’un maillage tétrahédrique en trois dimensions, illustré sur la figure VI.2(d), dans lequel chaque pore présente un degré de coordination de 4 [120]. Nous fixons la longueur des liaisons comme étant égales à la distance entre le centre des pores qu’elles relient en considérant ceux-ci comme sphériques et en contact.
Pour des raisons de simplicité et de puissance de calcul, les modèles sont généralement développés sur des réseaux en 2D. Ils s’étendent cependant sans difficulté conceptuelle aux réseaux à trois dimensions [118].
VI.1.2 Phénomènes physiques pris en compte
L’approche par réseau de pores est utilisée activement depuis le début des années 80 pour l’étude d’écoulements mono et poly-phasiques (comme le déplacement d’un fluide par un autre) en milieu poreux [35]. Leur application en évaporation a débuté au début des années 90 [40].
Les premiers modèles par réseau de pores considèrent un liquide globalement stagnant s’évaporant par diffusion. L’évaporation a lieu dans toutes les liaisons présentant un ménisque.
Cependant, la pression capillaire provoque un pompage du liquide des liaisons présentant la plus faible pression capillaires vers tous les autres ménisques (comme illustré sur la figure VI.3).
De ce fait, seule la liaison interfaciale présentant la plus faible pression capillaire se vide [121].
Ces modèles ont été validés expérimentalement sur des micromodèles de milieux poreux. Ils offrent une excellente description de la distribution de phases [122], c’est-à-dire la répartitions des zones contenant le liquide ou le gaz, mais ne prédisent pas quantitativement les taux d’évaporation [123]. Ils permettent des études de lois d’échelles ([124],[125]) ainsi que des comparaisons avec les problèmes de drainage dit parinvasion-percolation ([40],[126]).
Par rapport à ce cas de base, plusieurs généralisations ont été réalisées [127] :
influence de la gravité La gravité peut être prise en compte en modifiant la condition sous laquelle une liaison peut être vidée. Plutôt que de ne tenir compte que de la pression capillaire, il est possible de définir une fonction potentiel incluant l’impact de la pesanteur.
Avec cette modification du modèle, une étude de stabilité de l’interface et une déduction de lois d’échelles ont été réalisées [122].
effets thermiques Il est également possible d’étudier les effets thermique dans les modèles par réseau de pores. Dans ce cas, une discrétisation de l’équation de transport de la chaleur doit également être réalisée. Les flux de chaleur n’étant pas limités aux fluides, il est nécessaire de réaliser une discrétisation contenant des nœuds dans le solide. Des bilans de chaleur sont alors calculés pour chaque nœud en considérant le transport de chaleur par conduction et l’évaporation du ménisque [128]. L’influence des gradients
Fig. VI.3 – Pompage du liquide du pore 2 vers le pore 1, présentant tous deux un ménisque s’évaporant. La pression capillaire présente au niveau du second ménisque étant plus faible, un flux de liquide passe du ménisque 2 au ménisque 1.
thermiques sur la stabilité du front d’évaporation a ainsi été étudiée ([129],[130]). Le modèle a également été appliqué à la simulation de caloducs [131].
transport par film liquide Lorsque le liquide se retire d’un pore ou d’une liaison, les effets capillaires dans les coins et au niveau des irrégularités de la structure peuvent entraîner la persistance de films liquides qui participent au transport dans les régions pour lesquelles les modèles précédents supposaient un transport uniquement lié à la diffusion en phase gazeuse [132]. L’importance de ces films dans certaines situations a été mise en évidence expérimentalement sur des micro-modèles [123]. Leur prise en compte peut également s’avérer indispensable pour l’évaluation du taux d’évaporation global ([133],[134]).
effets visqueux Les modèles précédents supposent que l’évaporation n’a aucun impact signi- ficatif sur la pression dans le milieu, aussi bien en phase gazeuse qu’en phase liquide.
Pratiquement, l’évaporation entraîne un gradient de pression dans les deux phases. De tels gradients amènent localement la pression dans le gaz à dépasser la pression dans le liquide augmentée de la pression capillaire. Dans ces situations, le gaz envahit les pores dont la pression est trop faible. Ce phénomène est appeléeffet visqueux. La plupart des modèles récents ne prennent en compte les effets visqueux qu’au travers de différences de pression dans la phase liquide ([135], [136]). Un modèle tenant compte d’effets similaires dans la phase gazeuse a cependant déjà été publié [134].
porosité bimodale Une étude récente s’est également intéressée à l’influence d’une porosité bimodale et à l’influence d’une corrélation entre les tailles de pores des deux modes. Ce modèle tient compte des effets visqueux en phase liquide [136].
degré de coordination Des tests pour différent degrés de coordination constants (de 3 à 6 voisins en 2D, jusqu’à 8 en 3D) ont été réalisés. Ils mettent en évidence un impact net du degré de coordination sur le taux d’évaporation global [120].
réseau hydrophobe Le mécanisme de base du modèle suppose implicitement que le liquide, généralement de l’eau, est mouillant. Lorsque ce n’est pas le cas, il est nécessaire d’adap- ter la structure de l’algorithme [137].
mélange binaire Si le liquide est composé d’un mélange binaire qui s’évapore dans un gaz composé d’une troisième substance, des équations de convection-diffusion des deux es- pèces en phase liquide et des équations de diffusion pour chaque substance dans le gaz doivent être résolues [138].
Dans ce travail, nous ne tenons que compte des éléments qui pourraient être significatifs pour l’étude du séchage de levure. Nous implémentons donc les effets visqueux dans le liquide et le transport par film dans un même modèle.
Les effets thermiques sont quant à eux négligés dans le réseau. Nous supposons que l’en- semble de l’échantillon est à une température uniforme. Nous revenons à cette hypothèse dans le chapitre consacré à la modélisation du séchage de levure (section VIII.4.2).
VI.1.3 Nomenclature
Dans notre modèle par réseau de pores, le milieu poreux est approché par un ensemble d’objets : des pores et des liaisons. A un instant donné, une liaison peut soit être remplie de liquide soit remplie de gaz, éventuellement accompagné de films liquides. Pour un pore, quatre états sont définis [139] :
pore de type L rempli de liquide,
Fig. VI.4 – Illustration de l’effet d’écran : le gaz est saturé en vapeur dans toute la zone où le film est présent. Dans cette région, le transport de matière est intégralement situé dans le film. au-delà il est contrôlé par la diffusion de la vapeur dans le gaz.
pore de type PE contenant une interface gaz-liquide, il s’agit d’un porepartiellement envahi, pore de type CE rempli de gaz mais voisin d’au moins une liaison contenant du liquide et un
ménisque, on parle de pores complètement envahis,
pore de type G rempli de gaz et voisin uniquement de liaisons remplies de gaz.
Pour décrire l’ensemble des objets contenant uniquement du liquide nous parlons derégion saturée en liquide. Le reste du milieu est par opposition décrit comme constituant la région non saturée en liquide. La région saturée en liquide n’est pas forcement continue, c’est-à-dire qu’il n’est pas forcement possible, en passant d’un pore à son voisin, d’accéder à tous les pores de type L sans traverser de pores d’un autre type. Un ensemble continu de pores de type L est appelé unamas [124].
De nombreuses équations que nous présentons font intervenir d’une manière ou d’une autre la dimension caractéristique de la section des liaisons. Nous la définissons comme la racine carrée de l’aire de la section de la liaisonSlia :
d =p
Slia (VI.1)
Avec cette définition, deux systèmes par ailleurs totalement identiques mais composés de liai- sons de formes différentes et présentant les mêmes valeurs pour la distribution en taille des liaisons ont une section d’évaporation totale identique. De même, la dimension de référence d, que nous utilisons pour la mise sous forme non-dimensionnelle de l’ensemble des équations, est la moyenne ded :
d =q
Slia (VI.2)
VI.2 Equations de transports étudiées
VI.2.1 Equations de transport dans la région non saturée en liquide
Les objets non saturés en liquide contiennent du gaz et éventuellement des films liquides.
Le transport de matière y est donc a priori composé d’un transport de vapeur par diffusion en phase gazeuse et d’un transport par film lié à un gradient de pression capillaire. Ce système est similaire à celui que nous étudions au chapitre V. Le film pris en compte n’est plus, dans ce cas-ci, du à des forces d’adsorption mais à des forces capillaires. En effet, pour une forme quelconque de liaison et un liquide mouillant, des films de coins peuvent apparaître, comme illustré sur la figure VI.5. Ces films présentent généralement une section plus importantes que les films minces liés aux forces d’adsorption [140]. De ce fait, ils représentent un transport de matière nettement plus important que les films adsorbés. Nous négligeons donc ces derniers.
Au point V.4, nous divisons le film en deux zones : une première où le film ne s’évapore pas en raison d’une saturation du gaz en vapeur (l’effet d’écran) et une seconde où le film évapore.
Nous choisissons dans ce chapitre une hypothèse similaire, mais encore plus simplificatrice, habituellement appliquée en réseau de pores [132] et illustrée sur la figure VI.4 : le film est sujet à l’effet d’écran sur toute sa longueur. Tant que son épaisseur est non-nulle, le gaz est saturé en vapeur. Nous pouvons donc diviser la zone non saturée en une zone sans évaporation où tout le transport est réalisé par le film et une région où le film est absent et où le seul mécanisme de transport est la diffusion de la vapeur.
Fig.VI.5 – Description géométrique d’un film liquide présent dans une section de liaison dont la forme est présentée à gauche. En gris est présenté le liquide et en trait noir continu les parois. Les tangentes aux parois passant par les points de contact entre le film et les parois forment entre elles un angle 2. L’épaisseur du film est définie comme étant y. Le film a un rayon de courbureLr et forme un angle de contact avec la paroi.
Considérons maintenant les flux de matière dans une liaison. Le débit massique transporté par les films vaut : [141]
Q = Kfly4 l
dpl
dz (VI.3)
où
– Kf est un coefficient de conductibilité hydraulique du film,
– y est l’épaisseur du film, défini comme étant la distance entre le point de contact du film avec la paroi et l’intersection des deux droites prolongeants la tangente au solide au point de contact, comme illustré sur la figure VI.5. Au point de contact, le film forme un angle de contact, supposé constant dans toute la liaison,
– l est la masse volumique du liquide, – l est la viscosité dynamique du liquide, – pl est la pression dans le liquide,
– z est la coordonnée axiale de la liaison.
En considérant les films en équilibre mécanique avec le gaz et en tenant compte de la pression capillaire, la pression dans le liquide vaut
pl = pg pcf (VI.4)
où
– pg est la pression dans le gaz supposée constante – pcf est la pression capillaire
La pression capillaire est donnée par la loi de Young Laplace (équation (V.4) ) qui dépend des deux rayons de courbures principaux de l’interface. Nous supposons que la courbure dans la direction de l’axe des liaison est nulle. L’équation de Young-Laplace se alors simplifie sous la forme :
pcf = Lr =
y (VI.5)
où
– Lr (illustré sur la figure VI.5) est le rayon de courbure du film dans la direction trans- versale à l’écoulement moyen dans la liaison,
– est un facteur géométrique permettant de liery àLr. Il dépend de la géométrie de la liaison et de l’angle de contact. Nous en donnons une expression pour des cas simplifiés au point VI.6.
En combinant les équations (VI.3) à (VI.5) nous obtenons : Q = Kfly2
l dy
dz = Kfl 3l
dy3
dz (VI.6)
Suite à l’hypothèse d’effet d’écran, toute l’évaporation se situe à l’extrémité du film, la conser- vation du débit le long d’un film s’écrit :
dQ
dz =0 (VI.7)
Kfl 3l
d2y3
dz2 =0 (VI.8)
au-delà de la zone contenant les films, le mouvement est contrôlé par la diffusion de la vapeur.
Pour un gaz dilué, le bilan s’écrit [47] : d dz
DMv RT
dpv dz
= 0 (VI.9)
où
– D est le coefficient de diffusion binaire, – Mv est la masse molaire de la vapeur, – R est la constante des gaz parfaits, – T est la température,
– pv est la pression de vapeur.
Au bout du film, le transport par diffusion vaut le taux d’évaporation, lui-même égal au débit liquide amené par les films :
Kfl 3l
dy3
dz = DMv RT
dpv
dz d2 (VI.10)
Les équations (VI.8), (VI.9) et (VI.10) sont mises sous forme non-dimensionnelle suivant : z =z
d (VI.11)
y =y
d (VI.12)
pv = pv
psat (VI.13)
oùpsat est la pression de saturation du gaz en vapeur. Le système d’équation devient alors : Kfld
3l
d2y3
dz2 =0 (VI.14)
d dz
DMv
RT dpv dz
=0 (VI.15)
Kfl 3l
dy3
dz =DMvpsat RT
dpv
dzd (VI.16)
Cette dernière équation est réécrite sous la forme 1
Cagf
dy3
dz = dpv
dz (VI.17)
oùCagf est un nombre capillaire défini par
Cagf = 3lDMvpsat
KflRT d (VI.18)
Ce nombre compare le transport de matière par diffusion de vapeur en phase gazeuse au transport de matière convection dans les films suite à un gradient de pression capillaire.
Des bilans similaires sur les pores mène à des bilans tenant compte des flux dans les différentes directions :
r2y3 =0 (VI.19)
r2pv =0 (VI.20)
où r2 est l’opérateur Laplacien. Pour la région où le film est présent, il faut donc résoudre l’équation (VI.19) combinée à la condition exprimant l’effet d’écranpv = 1. Pour la région ne comportant pas de film, il faut résoudre l’équation (VI.20) combiné à l’absence de filmy = 0.
Fig.VI.6 – Evolution de pv et y en fonction de (Cagf = ym3 = 0; 036).
A l’interface entre les deux domaines, l’équation (VI.17) doit être vérifiée. Sous cette forme, le système d’équations pose un problème au niveau de sa résolution : nous devons a priori savoir si un pore contient ou non un film, or, cette information dépend de la solution des équations (VI.19) et (VI.20). Pour s’affranchir de ce problème, une nouvelle variable est définie :
= y3+ (Cagfpv)
1 + Cagf (VI.21)
Les deux systèmes d’équations s’écrivent alors :
= 0 (VI.22)
et la condition (VI.17) est implicitement respectée par la définition de. Elle s’exprime sim- plement par une valeur de transition cri. En effet au niveau de la fin du film, y = 0 et pv = 1et donc
cri = Cagf
1 + Cagf (VI.23)
Pour des valeurs supérieures decri, nous sommes en présence de film,pv = 1etvarie avec y3. Pour des valeurs inférieures, il n’y a plus de film,y = 0 et varie avec pv. L’évolution dey etpv en fonction de (pourCagf = ym3= 0; 036) est présentée sur la figure VI.6.
Nous pouvons maintenant nous intéresser aux conditions aux limites de la région non saturée en liquide. En sortie du milieu poreux, nous plaçons une couche de diffusion d’épaisseur Lext au-delà de laquelle une pression de vapeur pvext uniforme est atteinte.
Au niveau du ménisque où le film se forme, nous pouvons écrire un bilan de forces capillaires entre la fin du menisque et le film :
pcf = pcm (VI.24)
avecpcf la pression capillaire du film donnée par (VI.5) etpcmla pression capillaire du ménisque donnée par
pcm=
Lrm (VI.25)
oùLrm est le rayon de courbure du ménisque et est un facteur géométrique dépendant de l’angle de contact entre le ménisque et la paroi et de la forme du capillaire. Pour un capillaire cylindrique, = 2. Nous donnons àLrm la valeur du rayon de percolation, c’est-à-dire la valeur observée pour l’ensemble des ménisques du système lorsque la percolation est atteinte. Nous discutons au point VI.4.2 de cette hypothèse.Lrm est alors une valeur constante dans tout le réseau. Elle est connue pour certaines distributions des tailles de pores et pour certaines formes de liaisons [132]. Pour une distribution en taille de pore uniforme Lrm ' d. Nous utilisons systématiquement cette valeur par la suite. L’équation (VI.24) peut donc être réécrite :
ym =
(VI.26)
La condition aux limites devient donc
m = ym3+ Cagf
1 + Cagf (VI.27)
Fig.VI.7 – Algorithme d’une itération du modèle par réseau de pores
VI.2.2 Equations de transport dans les régions saturées en liquide
Dans la région saturée en liquide, nous écrivons pour chaque porej de type L une conser- vation de la masse :
X
i
Qij = 0 (VI.28)
où :
– l’indice de sommationi porte sur les différents pores adjacents au pore j considéré, – Qij est le débit massique entre les deux poresi etj.
Si les deux pores sont de types L, ce bilan s’exprime sous la forme : Qij = lKldij4
l
pj pi
Lij (VI.29)
où
– pi,pj sont les pressions totales dans les poresi et j,
– Kl est le coefficient de conductibilité hydraulique de la liaison, – Lij est la distance entre le centre des deux pores.
Lorsque le pore adjacenti est de type PE, il contient le ménisque. En supposant que celui- ci soit à l’équilibre mécanique dans le pore et que la pression capillaire y soit négligeable, la pression dans le liquide est égale à la pression dans le gazpget nous pouvons réécrire l’équation (VI.29) en remplaçantpi par pg.
Lorsque le pore adjacent j est de type CE, le ménisque se situe dans la liaison entre les deux et le débit Qij est égal au débit sortant par le biais du film ou de la diffusion en phase vapeur :
Qij = 2Kfldi2
3lLij (1 + Ca) (m i) (VI.30) oùLij est la distance entre le centre des deux pores adimensionnalisée par d.
VI.3 Algorithme de résolution
VI.3.1 Initialisation du réseau
Au départ, nous générons le réseau : chaque pore se voit attribuer un volume et chaque liai- son un diamètre. Ces grandeurs sont distribuées aléatoirement suivant une distribution choisie.
L’ensemble des objets sont remplis de liquide. La pression dans le liquide des différents pores est initialisée avec une valeur égale à la pression atmosphérique.
Les étapes d’une itération sont présentées sur le schéma VI.7. Nous les détaillons maintenant une à une.
VI.3.2 Identification des amas
La première opération est l’identification des différents amas liquides présents dans le sys- tème. Cette étape est réalisée sur base de l’algorithme de Metzgeret al.[136], qui est lui-même basé sur l’algorithme de Hoshen et Kopelman [142].
L’idée est de parcourir l’ensemble des pores de type L un à un et de leur attribuer un nombre correspondant à leur amas. Lorsqu’un pore est analysé, nous regardons le numéro d’amas attribué à ses voisins directs. Différents cas de figures peuvent se présenter :
– si aucun d’eux n’appartient à un amas, parce qu’il ne s’agit pas de pores de types L ou parce qu’ils n’ont pas encore été analysés, le pore se voit attribuer une nouvelle valeur, – si les voisins présentent une seule valeur, le pore considéré se voit attribuer la même, – si plusieurs valeurs distinctes sont présentes pour les voisins, les différents amas corres-
pondants sont fusionnés. Pour limiter le temps de calcul nécessaire, les valeurs associées à tous les pores ne sont pas changées à chaque fusion : l’information est stockée dans un autre vecteur et tous les changements sont effectués en une fois lorsque tous les pores ont été analysés.
L’algorithme de Hoshen et Kopelman[142] est un algorithme général d’identification d’amas, indépendant du problème que nous étudions. En particulier, il ne tient pas compte du calcul d’amas des itérations précédentes. Ainsi, à chaque itération, tous les pores de types L sont analysés.
Metzger et al. [136] proposent un algorithme plus spécifique. Plutôt que d’analyser l’en- semble des pores de type L, seuls ceux appartenant à l’amas ayant subit une modification par rapport à l’itération précédente sont testés. De plus, le test est démarré au niveau du dernier pore envahi. Chacun des pores de types L voisins à ce nouveau pore de type PE se voit attri- buer un nouveau numéro d’amas. Ensuite la procédure d’analyse présentée précédemment est appliquée à leurs voisins et ainsi de suite de proche en proche jusqu’à l’arrêt de la recherche.
Celle-ci survient lorsque tous les pores analysés lors de l’analyse d’une génération de voisins sont ajoutés au même amas. Sous cette condition, tous les amas issus de l’ancien amas, sauf le plus grand, ont été complètement parcourus.
VI.3.3 Vidanges de liaisons
Une fois les amas identifiés, l’algorithme sélectionne les liaisons à vider. Toutes les liaisons remplies de liquide adjacentes à l’extérieur du milieu ou à proximité d’un pore de type CE contiennent un ménisque. Ces liaisons sont ditesinterfaciales. Elles sont le siège d’un transport de matière vers la région non saturée. A un instant donné, l’évaporation n’implique pas le mouvement de tous ces ménisques. En effet, comme expliqué au point VI.1.2, les pressions capillaires et hydrostatiques entraînent un pompage de liquide des liaisons présentant les plus fortes pressions totales vers les plus faibles. Ainsi, en négligeant la gravité et les effets visqueux et en supposant tous les ménisques à l’équilibre mécanique local, la pression dans le liquide devrait y être égale à
pl = pg pc (VI.31)
La pression dans le gaz étant supposée constante et la pression capillaire dépendant du diamètre équivalent des liaisons, les différents ménisques d’un même amas ne sont pas tous à la même pression, ce qui implique un mouvement de fluide. Pratiquement, toutes les liaisons, sauf celle présentant la plus faible pression capillaire, respectent la condition (VI.31) et présentent un ménisque immobile. Ils sont appelés ménisques stationnaires. Le ménisque restant est dit en mouvement. Sur base de la définition de la pression capillaire (équation (V.4)), nous voyons que le ménisque en mouvement de chaque amas est celui se trouvant dans la liaison de plus grande section.
Si nous tenons compte de la gravité et donc de la pression hydrostatique exercée par la colonne de fluide située au-dessus d’un ménisque, le bilan de force à l’interface s’écrit
pl = pg pc phydro = pg pc lgLhydro (VI.32) où
Fig. VI.8 – Notations utilisées pour la discrétisation
Type du pore P Type de la liaison i Type du pore i Ci CP i Csou i
G ou CE G G ou CE dLi2
i
di2
Li 0
G ou CE G PE 0 dLi2i dLi2im
G ou CE G Frontière int > cri 0 Li+Ldi2ext Li+Ldi2extext G ou CE G Frontière int < cri 0 0 Ldexti2 (sat ext)
CE L 2dLi2i 2dLi2i 0
Tab. VI.1 – coefficient de l’équation (VI.33) en fonction des types des pores voisins (i = N; S; W; E). Les lignesfrontières signifient que le pore P est relié dans la direction i à la sortie du milieu.int est défini suivant (D.3)
– phydro est la pression hydrostatique, – g est l’accélération de la pesanteur,
– Lhydro est la hauteur de colonne d’eau au-dessus du ménisque.
La démarche d’identification du ménisque mobile dans chaque amas est alors la même que dans le cas où la gravité est négligée. Le ménisque mobile n’est cependant plus forcement le plus grand.
Le phénomène d’invasion que nous venons de décrire, l’invasion capillaire, suppose que le pompage de liquide du ménisque mobile vers les ménisques stationnaires permette de totale- ment compenser l’évaporation dans ces derniers. Cependant, si la perte de charge entre les différentes liaisons est trop importante, l’écart de pression peut ne pas être suffisant. Dans ce cas, certains ménisques a priori stationnaires ne sont pas alimentés en suffisance et deviennent eux aussi mobiles. Nous parlons alors d’invasion visqueuse. Celles-ci apparaissent lorsque la pression dans le liquide devient trop faible pour respecter la condition (VI.32). Dans ce cas, le ménisque mobile est celui présentant le plus grand écart à cette condition. Pratiquement, nous testons d’abord l’existence d’invasion visqueuse dans chaque amas, si aucun n’apparaît pour un amas, et si aucun pore de cet amas n’est de type PE, nous lui appliquons l’invasion capillaire.
Une fois une liaison contenant un ménisque mobile identifiée pour chaque amas, celle-ci est vidée et les pores de type L auxquels elles sont connectées deviennent des pores de type PE contenant 100% de leur capacité en liquide.
VI.3.4 Calcul du champ de
Une fois que les types des pores et liaisons sont mis à jour, nous procédons à la résolution des systèmes d’équations de transports pour la région non saturée en liquide. Les bilans développés en VI.2.1 mènent à une équation de Laplace qui est discrétisée entre les différents pores par la méthode des volumes finis. Chaque pore correspond à un des éléments discrétisés [143]. Un pore P est donc entouré de quatre voisins que nous appelons suivant la direction dans laquelle ils se situent, N, S, E, W suivant les conventions et notations explicitées sur la figure VI.8.
Pour chaque pore de type G ou CE, nous écrivons une équation de la forme : X
i
CP iP =X
i
(Csou i+ Cii) (i = N; S; W; E) (VI.33) oùCP i,Ci etCsou i (i = N; S; W; E)sont des constantes qui dépendent du pore et de ses voisins.
Le tableau VI.1 résume les valeurs prises par les différents cœfficient. Les étapes menant aux valeurs de ces coefficient sont présentées dans l’annexe D.
Deux méthodes s’offrent à nous pour constituer le système d’équations complet :
1. assigner une équation à chaque pore du système, même s’il n’est pas de type G ou CE, auquel cas les cœfficient sont tous nuls. Cette méthode a l’avantage de mener à une matrice du système d’équations dont les seuls éléments non nuls sont concentrés sur cinq (pour des réseaux en deux dimensions) diagonales et sous diagonales bien définies.
Le système est donc facile à mettre en œuvre et permet l’usage éventuel de méthodes de résolutions tenant compte de la position des éléments non nuls.
2. n’assigner d’équations qu’aux pores de type G et CE. Cette méthode offre un système d’équations contenant moins d’équations, mais nécessite d’identifier à chaque fois quelles variables correspondent aux pores voisins. De plus, les systèmes d’équations résultant ne
présentent pas de valeurs non nulles aussi groupées que pour la première méthode, empêchant l’usage de méthodes de résolution spécifiques.
Nous travaillons avec la seconde méthode, moins exigeante en terme de mémoire. La matrice du système étant composée de maximum cinq éléments non nuls par lignes, nous nous servons de structures de matrices creuses pour plus d’efficacité. De plus, la matrice du système d’équations est toujours symétrique.
Les méthodes de résolution des systèmes linéaires, disponibles sous Matlab, sont testées [144] :
– la méthode directe,
– la méthode des gradients conjugués (simple, bi-conjugués et bi-conjugués stabilisés), – la méthode des moindres carrés,
– la méthode LQ symétrique.
La méthode retenue pour les simulations dépend de l’architecture de la machine utilisée.
Nous utilisons la méthode offrant, pour une même précision de résultats, le calcul le plus rapide sur des cas tests. Lors de l’usage d’un processeur mono-cœur, la méthode des gradients bi- conjugués stabilisé préconditionnée par une factorisation LU incomplète a été retenue. Sur un processeur à deux cœurs, la méthode directe s’avère plus rapide, probablement de par la bonne qualité de la parallélisation effectuée par Matlab.
VI.3.5 Calcul des pressions dans la région saturée en liquide
Une fois le profil de connu, nous pouvons calculer le profil de pression dans le liquide.
La conservation totale de la masse dans un pore de type L s’exprime simplement par la loi de Kirchhoff :
QN+ QS+ QW + QE = 0 (VI.34)
chacun de ces débitsQétant calculé suivant une loi dépendant du type du pore adjacent : type L nous utilisons une loi de perte de charge :
Qi = ldi4Kl
Lil (pP pi) (VI.35)
type PE la même loi est appliquée mais le pore voisin, contenant le ménisque, est à l’équilibre mécanique avec le gaz. La pression dans le liquide est alors égale à la pression dans le gaz :
Qi = ldi4Kl
Lil (pP pg) (VI.36)
type CE le débit correspond au transport, par film ou par diffusion en phase gazeuse, jusqu’au centre du pore adjacent
Qi = 2Kfldi
3lLi 1 + Cagf
(m i) (VI.37)
frontière du milieu le débit dans cette direction exprime la diffusion au travers de la couche de diffusion externe
Qi = di2DMv
RT Lext (psat pext) (VI.38)
La même méthode numérique que pour le système d’équations dans la région non saturée est appliquée pour résoudre ce système.
VI.3.6 Ré-évaluation des effets visqueux
Après mise à jour des profils de pression dans le liquide, certaines liaisons interfaciales ne respectent plus la condition (VI.32) d’égalité des pressions de part et d’autre du ménisque.
Dans ce cas, il est nécessaire de revenir à l’étape d’invasion des liaisons. Cependant cette fois-ci seules les invasions visqueuses sont envisagées. Il n’est de ce fait pas nécessaire que tous les amas présentent une nouvelle invasion. Les profils de et de pression dans le liquide sont ensuite recalculés. Le système est itéré de la sorte jusqu’à ce que plus aucune nouvelle liaison ne subisse d’invasion visqueuse. Nous discutons au point VI.4.1 de la nécessité de ce sous-algorithme et des variantes existantes pour gérer les invasions visqueuses.
VI.3.7 Calcul du temps de vidange
Lorsque plus aucune invasion visqueuse n’apparaît, nous calculons, pour tous les pores de types PE, le temps nécessaire à les vider. Les PE sont les seuls pores contenant du liquide pour lesquels l’équation de Kirchhoff (VI.34) n’est pas respectée. L’objectif est d’ailleurs de calculer le débit net sortant du poreQP E.
QN+ QS+ QW + QE = QP E (VI.39)
A nouveau, l’expression du débit vers un pore voisin dépend du type de ce dernier : type L nous résolvons l’équation (VI.35) en remplaçantpP par pg :
Qi = ldi4Kl
Lil (pg pi) (VI.40)
type PE le débit est supposé être nul, les deux pores de type PE étant à la même pression, type CE ou G si la liaison reliant les deux pores est remplie de liquide, nous appliquons l’équa-
tion (VI.37), si la liaison est remplie de gaz ce même débit doit être divisé par deux.
frontière du milieu deux situations sont possibles :
– soit la surface est alimentée en liquide (liaison de type L ou avec un film montant jusqu’à l’interface). Nous employons alors l’expression (VI.38)
– soit la surface n’est pas alimentée en liquide, et le pore adjacent est de type G ou CE, le débit s’exprime alors
Qi = di2DMv
RT (Li+ Lext)(pvi pext) (VI.41) Le temps tP E nécessaire à vider un pore de type PE est le rapport entre le volume de liquide qu’il contientVlP E et débit net sortantQP E :
tP E = VlP E
QP E (VI.42)
Ce temps est calculé pour chacun des pores de type PE dans le système. Le pore présentant la plus petite valeur detP E est vidé et se voit assigner le type CE. L’itération en cours se voit attribuer une durée tP Emin correspondante à cette vidange. La quantité de liquide contenue dans les autres PE est diminuée d’une quantité subséquente :
VlP E = QP EtP Emin (VI.43)
Le programme passe ensuite à une nouvelle itération.
Fig. VI.9 – Algorithme de résolution de Yiotiset al.[145].
VI.3.8 Calcul du taux d’évaporation total
Le taux d’évaporation total au cours d’une itération est donné par la somme des débits nets sortant des liaisons frontières. Trois situations sont possibles :
– soit la surface est alimentée en liquide (liaison de type L ou avec un film montant jusqu’à l’interface ). Nous employons alors l’expression (VI.38)
– soit la surface n’est pas alimentée en liquide, et le pore adjacent est de type G ou CE, le débit s’exprime alors
Qi = di2DMv
RT (Li+ Lext)(pvi pext) (VI.44) – soit la surface n’est pas alimentée en liquide, et le pore adjacent est un PE, l’équation
(VI.44) est alors appliquée en prenantpvi = psat
En supposant l’accumulation de quantité de matière négligeable dans le film et par conservation de la masse, le taux d’évaporation est également donné par la somme des débits nets sortant de tous les PE. L’application de ces deux méthodes distinctes permet d’identifier d’éventuels problèmes numériques : tout écart entre les deux solutions correspond à un problème dans la résolution d’un des systèmes d’équations.
VI.4 Discussion de certaines hypothèses
VI.4.1 Algorithme d’invasions visqueuses
L’algorithme que nous présentons pour le test des invasions visqueuses est le résultat de recherches menées par plusieurs groupes.
Dans la première publication portant sur la modélisation de l’évaporation en milieu poreux par réseau de pores comportant des effets visqueux, Yiotiset al.[145] appliquent un algorithme plus simple que celui que nous présentons : toutes les liaisons interfaciales qui ne respectent pas la condition d’équilibre mécanique (VI.32) sont envahies. Aucun retour en arrière dans le calcul n’est prévu dans ce premier schéma de résolution. L’algorithme résultant est présenté sur la figure VI.9. Cette procédure, beaucoup plus simple et rapide que celle que nous présentons, implique donc que l’effet du mouvement des ménisques dans un ensemble de liaisons ne se répercute sur les pressions dans le reste des liaisons de l’amas qu’à l’itération suivante, c’est- à-dire après un temps suffisamment long pour que la vidange d’un pore se fasse. Il est assez difficile d’évaluer réellement le temps nécessaire pour ce que le mouvement d’un ménisque se répercute sur les pressions de l’ensemble de l’amas, mais rien ne permet de dire qu’il est justement du même ordre de grandeur que le temps de vidange d’un pore, ce dernier pouvant être très différent d’une itération à l’autre.
Pour montrer l’influence du rapport entre ces deux temps caractéristiques, nous réalisons un ensemble de simulations avec l’algorithme de Yiotiset al.en y modifiant juste une étape : à chaque itération, plutôt que de vider tout à fait le pore qui se vide le plus vite, nous n’y enlevons qu’une quantité VtotP Ew où
– VtotP E est le volume total du pore,
– w est un paramètre fixé pour une simulation.
Si le volume de liquide restant dans le pore est inférieur à ce que nous enlevons, alors le pore est complètement vidé. Lorsqu’au bout d’une itération aucun pore n’est vidé, à l’itération suivante nous ne testons les invasions capillaires que pour les amas ne contenant plus de pores de type
Fig.VI.10 – Schéma de la forme des réseaux étudiés théoriquement : trois cotés sont isolés et le quatrième est ouvert pour permettre l’évaporation. Il en résulte trois zones distinctes dans le milieu : la région occupée par le liquide en noir, la région contenant le film, dont le niveau de gris est proportionnel à l’épaisseur du film et la région ne comprenant que du gaz en blanc.
Fig. VI.11 – Comparaison de la distribution de liquide (en noir) à la percolation pour des simulations dans des conditions et pour un réseau identique mais pour différentes valeurs de w.
PE. Avec cette nouvelle condition, nous avons besoin d’un minimum de w itérations pour vider un pore. En faisant varierw nous pouvons donc voir l’impact du rapport des deux temps caractéristiques sur les simulations.
Les simulations sont effectuées sur un réseau carré 2D de 50x50 pores fermé sur trois cotés et s’évaporant par le quatrième coté, arbitrairement placé en haut (comme schématisé sur la figure VI.10). La gravité est négligée. L’ensemble des simulations sont réalisées sur un même réseau, et tous les paramètres appliqués sont les mêmes sauf lew qui varie de 1 (correspondant à l’algorithme de Yiotis et al.) à 15. Nous nous plaçons dans une situation pour laquelle la gravité est négligeables et où les effets visqueux sont présents sans être dominants. La figure VI.11 présente la distribution de phase pour les simulations au moment où la percolation est atteinte, c’est-à-dire lorsqu’un pore de la ligne la plus éloignée de l’entrée à été vidé. Nous observons donc que la valeur de w influence nettement la distribution de phase. Lorsque w devient suffisamment grand (dans le cas de figure présenté pourw 8) nous n’observons plus de changements. En effet, dans ces situations, la vidange des pores devient très lente. Le profil de pression est calculé un nombre suffisant de fois pour que plus aucune nouvelle invasion visqueuse ne survienne avant qu’un pore ne soit vidé. Le rapport des temps caractéristique tend vers des valeurs inverses par rapport à ce qu’il vaut pour l’algorithme proposé par Yiotis et al..
La vidange des pores ralentie par le facteurw n’est, d’un certain point de vue, qu’un artifice permettant, pour desw assez élevés, que plus aucune nouvelle invasion visqueuse ne survienne et que le profil de pression soit stabilisé. De ce fait, l’idée suivante est d’abandonner l’usage de w et de réitérer les calculs des pressions jusqu’à ce que plus aucune nouvelle invasion visqueuse n’apparaisse. Nous obtenons alors l’algorithme que nous avons présenté dans la section VI.3 à une différence près : lors de l’identification des pores qui pourraient être envahis par effets visqueux, tous ceux ne respectant pas la condition d’équilibre mécanique (VI.32) sont envahis.
Les modifications que nous venons d’apporter à l’algorithme de Yiotis et al. sont liées au fait que ne pas recalculer le champ de pression peut mener à une sous évaluation du nombre de pores envahis par les effets visqueux. De la même manière, il est possible qu’il mène à une surévaluation du nombre de pore envahis par ce mécanisme. Si plutôt que de vider toutes les liaisons ne respectant pas la condition (VI.32) nous n’en vidons que certaines, voir une seule, la mise à jour du profil de pression peut amener les autres à respecter la condition (VI.32).
La nécessité de procéder à un seul envahissement visqueux à la fois est mise en évidence par Metzger et al. [136]. Leur algorithme est alors celui que nous avons présenté au point VI.3 et pour lequel seule la liaison subissant le plus grand écart par rapport à l’équilibre est vidée.
Metzgeret al.proposent également un algorithme inverse, particulièrement adapté aux cas où les effets visqueux sont très importants. Cet algorithme suppose initialement que toutes les liaisons interfaciales sont envahies. Par une procédure itérative, les liaisons présentant un trop faible taux d’évaporation sont re-remplies de liquide.
Notons que l’impact de l’utilisation de l’algorithme final pour les effets visqueux est impor- tant pour la détermination de la distribution des phases mais peut également avoir un impact sur le taux d’évaporation. Des simulations similaires à celles présentées sur la figure VI.11 mais pour lesquelles les films sont négligeables montrent des différences de plus 20 % dans les taux d’évaporation calculés. Aucune étude systématique n’a cependant été réalisée et il n’est pas exclu que cet écart soit plus important dans d’autres conditions.
VI.4.2 Epaisseur du film au niveau du ménisque
La transition entre la région saturée en liquide et la région non saturée en liquide est consti- tué d’un ensemble de ménisques desquels partent les films. La caractérisation de ces ménisques, c’est-à-dire l’identification de l’épaisseur du film et du rayon de courbure du ménisque n’est pas a priori évidente. Dans notre présentation du système d’équations (au point VI.2.1) nous l’avons calculé en égalant les pressions capillaires dans le film et au niveau du ménisque. Nous obtenons de ce fait un lien entre les deux informations que nous recherchons. En supposant que le rayon de courbure du ménisque à tout instant est celui observé à percolation, nous obtenons une épaisseur de film. Cette hypothèse a pour principal avantage sa grande simplicité sans pour autant mener à une sur-évaluation importante de l’épaisseur du film. Yiotis et al.[132]
appliquent une condition plus simple : ils considèrent que l’épaisseur du film est directement obtenue sur base du rayon de percolation, ce qui mène à une épaisseur de film plus importante d’un facteur 2.
Aussi bien l’approche de Yiotis et al. que celle que nous suivons impliquent deux simplifi- cations importantes : l’épaisseur du film est identique
1. pour tous les ménisques, 2. à tout instant.
Plus généralement, à un instant donné, tous les ménisques stationnaires d’un même amas présentent des courbures comprises entre une courbure nulle et la courbure correspondant au rayon de courbure d’équilibre du ménisque pour lequel la plus faible augmentation de pression gazeuse entraînerait une invasion capillaire. Pour chaque amas, nous avons donc une valeur différente du rayon de courbure des ménisques, valeur qui évolue au cours du temps [132]. Outre une modification de la portée du transport par film cette différence explique le phénomène observé expérimentalement [123] de transfert de liquide d’un amas vers un autre suite au transport par film. Il est même possible qu’un tel pompage de certains amas par d’autres puisse, si le transport devient suffisamment intensif, amener le système à se comporter comme si l’ensemble des différents amas ne formaient plus qu’un seul amas. En effet, les films permettent alors un transport de matière entre les différents amas comparable à celui qui est observé au sein d’un amas.
Rien ne permet de dire a priori que ce phénomène de pompage entre les amas ne puisse pas aller jusqu’à une croissance de certains amas : le débit transporté par les films jusqu’à cet amas y serait supérieur au débit en sortant.
Dans la suite de ce travail, nous ne tenons cependant pas compte d’un transfert de matière entre amas.
VI.5 Etude d’ordres de grandeurs
Le modèle que nous venons de présenter peut être utilisé pour simuler une large gamme de systèmes. Il est cependant intéressant de commencer par étudier les ordres de grandeurs des rapports entre les différents phénomènes implémentés dans le modèle. Cela nous permet de mettre en avant différents domaines, dépendants des valeurs des paramètres physiques appliqués au modèle, pour lesquels différents modes de transport dominent. Des simplifications peuvent ensuite être envisagées selon les phénomènes dominants.
Fig. VI.12 – Schématisation d’un milieu simplifié avec films (en gris) qui se développe entre l’amas liquide en noir et la sortie du milieu.
VI.5.1 Evaluation de l’impact des films
La mise sous forme non dimensionnelle des équations de transport en phase gazeuse met en évidence un nombre sans dimension capillaire, défini par la formule (VI.18). Ce nombre compare le transport par diffusion dans la phase gazeuse et le transport par les films adsorbés.
Pour des grands nombres capillaires, le transport par diffusion domine et le modèle peut être ramené à un modèle sans film. A l’inverse pour de très petits nombres, le transport par film domine complètement.
Pour illustrer ce fait, reprenons l’équation de Laplace (VI.22) régissant le transport deet considérons le cas d’un amas liquide distant de la sortie du milieu d’une distance constanteLg (illustré sur la figure VI.12) . En première approximation, pour une valeur deLg suffisamment grande, l’équation de Laplace peut-être ramenée à une équation à une dimension :
d2
dz2 = 0 (VI.45)
Nous y adjoignons les conditions aux limites
= m(z= 0) (VI.46)
= ext z = Lext+ Lg
(VI.47) (VI.48) Cette seconde condition n’est valable que lorsque le film atteint une épaisseur nulle dans le milieu poreux. Le profil obtenu est
= m ext
Lext + Lg z+ m (VI.49)
Le film s’étend entre z = 0 et la valeur de zcri correspondant à = cri, ce qui peut s’exprimer sous la forme
zcri
Lg = ym Cagf ym pvextCagf
Lext + Lg
Lg (VI.50)
Le membre de gauche de cette expression est la fraction de région non saturée en liquide présentant un film significatif du point de vue de l’évaporation. Il s’exprime comme le produit de deux termes. Le premier représente la fraction liée au film de la force motrice totale de l’évaporation. Plus cette fraction est grande plus le film est étendu. Puisque pvext 1, ce terme augmente lorsqueCagf diminue. Le second terme représente le rapport entre la distance totale sur laquelle le fluide est transporté et la distance à parcourir dans le milieu. Plus la résistance externe est importante, plus le film est capable de s’étendre.
Lorsque la résistance externe est négligeable devant la résistance interne, zLcri
g est constant au cours du temps : le film s’étend sur une fraction constante de la région non saturée. De plus, dans ce cas de figure, le film ne peut monter jusqu’à l’interface (zLcri
g=1) que si le milieu extérieur est saturé en humidité, c’est-à-dire lorsqu’il n’y a aucune évaporation. Le film ne peut donc atteindre la sortie du milieu que lorsque la résistance au transfert externe est suffisante.
Pour des valeur non nulles de Lext, l’équation (VI.50) peut prédire des films plus longs que le milieu poreux. Dans ces situations, le film arrive à l’interface et la condition à la limite extérieure du milieu (VI.48) n’est plus valable. Elle doit être remplacée par l’égalité du flux arrivant avec le flux s’évaporant.
Au cours de l’évaporation en présence d’un film nous pouvons donc voir deux étapes successives :
(a) Distribution des phases (b) Taux d’évaporation
Fig. VI.13 – Evolutions de la répartition des phases (VI.13(a)) et du taux d’évaporation (VI.13(b)) avecCagf en l’absence d’effets visqueux.
Fig.VI.14 – Liaison présentant un ménisque.
1. une étape pendant laquelle le film monte jusqu’à l’interface. La limite au transfert de matière est alors uniquement extérieure. Le taux d’évaporation est constant. Cela mène à une étape de séchage à vitesse constante. Au fur et à mesure du retrait de la région saturée en liquide, l’épaisseur du film à la sortie du milieu diminue.
2. lorsque l’épaisseur du film est nulle en sortie du milieu, le film commence son retrait. La limitation au transfert de matière est alors à la fois externe et interne. Le taux d’évapo- ration diminue progressivement. Il s’agit d’une étape de séchage à vitesse décroissante.
Le film continue cependant à jouer un rôle en diminuant la résistance au transfert in- terne. Par rapport à une situation sans film, la limitation au transfert de matière liée à la diffusion du gaz est multipliée par un facteur (1 zLcrig ) 1.
La portée minimale du film est donnée par le cas Lext Lg et pvext = 0. Dans cette situation, nous obtenons :
(1 zcri
Lg ) = Cagf
ym (VI.51)
L’accélération du transport de matière dans la zone non saturée en liquide liée à la présence du film est donc directement proportionnelle à Caym, ce qui nous donne 2 domaines distincts :
1. Cagf > ym le film n’a aucun impact et il ne doit pas être modélisé. Seule la diffusion est responsable d’un transport de matière hors du milieu,
2. Cagf < ym le film et la diffusion jouent un rôle important. Le film prend d’autant plus d’importance queCagf est petit.
Nous montrons au point VI.6 queym est inférieur à l’unité. La valeur maximale que nous lui donnons est de0; 33et elle peut être plus faible de plusieurs ordres de grandeurs.
La figure VI.13 présente des résultats de simulations allant jusqu’à la percolation sans effets visqueux ni gravité sur un réseau carré de 100x100 pores pour différentsCagf. L’épaisseur de la couche externe de diffusion est inférieure au diamètre d’une liaison. La figure VI.13(a) montre la distribution des phases pour les différentes simulations. La région saturée en liquide est quasiment la même pour toutes ces simulations, seule la portée des films diffère. La figure VI.13(b) présente l’évolution du taux d’évaporation adimensionnalisé J en fonction de la saturation du milieu pour les mêmes simulations. La mise sous forme non-dimensionnelle est réalisée par rapport au taux d’évaporationJref résultant d’une surface saturée en humidité :
J= J
Jref = JRT Lext
MvD (psat pvext) (VI.52)
oùJ est le taux d’évaporation. La saturation est la quantité de liquide restant dans la milieu divisée par la quantité initiale de liquide. Nous pouvons voir sur la figure que plusCagf aug- mente plus la phase à vitesse constante est courte. La forte diminution du taux d’évaporation observé lorsque le film quitte la sortie du milieu est liée à la très faible épaisseur de la couche externe. Le moindre recul du film modifie significativement la force motrice de l’évaporation.
VI.5.2 Evaluation des effets visqueux
De manière similaire, nous pouvons mettre en évidence des nombres sans dimensions com- parant le transport en phase liquide avec les deux mécanismes de transport dans la région non saturée en liquide. Cela permet d’évaluer l’importance des effets visqueux.
Considérons une liaison contenant un ménisque, situation illustrée sur la figure VI.14. La liaison est alimentée d’un débitQl par la différence de pression capillaire entre ce ménisque et
les autres du même amas. Les films sont responsables de la sortie d’un débitQf. Le ménisque est immobile si ces deux débits sont égaux. L’envahissement visqueux apparaît si le débit dans le film excède le débit dans le liquide. Un ordre de grandeur du débit liquide est donné par une simplification de l’équation (VI.29)
Ql = Kld4l
Lll pc (VI.53)
où
– Ll est un ordre de grandeur de la distance entre les différents ménisques, proportionnelle à l’étendue de la phase liquide
– pc est un ordre de grandeur de la différence de pression capillaire exercée sur une liaison susceptible de subir un envahissement visqueux. Nous l’évaluons par la formule [127] :
pc ' 2d
d2 (VI.54)
oùd est l’écart-type de la distribution en diamètre des liaisons, supposé petit par rapport à la moyenne d.
Pour le débit dans le film, nous reprenons l’équation (VI.30) du débit sortant d’un ménisque en y remplaçant le gradient de par sa valeur moyenne sur l’ensemble du milieu :
Qf = Kfl
ld (1 + Ca)(m ext)
Lg+ Lext (VI.55)
Les effets visqueux apparaissant lorsque le débit dans le film dépasse le débit dans le liquide.
Nous pouvons donc écrire l’inéquation
Kfd 1 + Cagf(m ext)
Lg+ Lext > 2dKl
Ll (VI.56)
qui peut être réécrite en tenant compte de la définition de (équation (VI.21)) : Ll
Lg+ LextCaf l ym + (1 pvext ) Cagf
> 1 (VI.57) où nous définissons un nouveau nombre capillaire, caractérisant le rapport entre les gradients de pression que pourraient engendrer le transport par film et la pression capillaire
Caf l = Kf
6Kld (VI.58)
L’inéquation (VI.57) illustre bien le fait que l’apparition des effets visqueux dépend du rapport entre la force motrice totale de l’évaporation et le transport dans les amas liquides.
Lorsque les films sont négligeables, Cagf ym, cette expression se ramène à Ll
Lg+ LextCagl(1 pvext) > 1 (VI.59) oùCagl est un troisième nombre capillaire, similaire à ceux déjà présentés dans la littérature sur les effets visqueux [127], exprimant la capacité de phase gazeuse seule à engendrer des effets visqueux :
Cagl = lDMvpsat
2KllRT dd (VI.60)
(a) Distribution des phases (b) Taux d’évaporation
Fig. VI.15 – Evolutions de la répartition des phases et du taux d’évaporation avec Caf l (Cagf = 1,ym = 0; 33)
(a) Distribution des phases (b) Nombre d’invasions visqueuses. Les simulations de la figure VI.16(a) sont marquées d’un triangle
Fig.VI.16 – Evolutions de la répartition des phases et du nombre d’invasions visqueuses avec Caf l (Cagf = 10 4,ym = 0; 33)
