Etude des paramètres affectés dans le modèle

Pour les polygones réguliers àBcotés, il nous suffit d’étudier le film situé dans un sommet.

, le lien entre l’épaisseur du film y et le rayon de courbure L_r du film s’exprime (suivant les notations de la figure VI.17) :

= _{cos ( + )}^sin (VI.63)

Pour qu’un film puisse se stabiliser dans un coin, l’angle de contact a donc une valeur comprise entre 0 et une valeur maximale dépendant de la forme de la section de la liaison :

max = ₂ (VI.64)

Notons d’ailleurs que l’expression de présente une singularité en = _max, signifiant que l’épaisseur du film tend vers 0 lorsque l’angle de contact tend vers sa valeur maximale, corres-pondant à une courbure nulle. La pression capillaire dans le film varie en fonction de l’angle de contact suivant l’inverse de l’expression (VI.63). La variation de1=pour différentes formes en fonction de l’angle de contact réduit = =max est présenté sur la figure VI.18(a). Nous y voyons que la pression capillaire du film diminue fortement avec l’augmentation de l’angle de contact de par la diminution du rayon de courbure subséquente. La même dépendance explique la diminution de la pression capillaire lorsque le nombre de côtés du polygone augmente.

L’expression de la pression capillaire du ménisque nécessite la prise en compte de la courbure dans les deux directions principales, affectées toutes deux aussi bien par l’angle de contact que

(a) Maillage de la moitié du film et conditions aux limites appliquées

(b) Profil de vitesse normale adimension-naliséev

z ^{sur l’ensemble d’un film}

Fig. VI.19 – Exemple de film modélisé en Comsol

Fig.VI.20 – Variation de K_f en fonction de l’angle de contact par différents modèles : Anal. pour les solutions analytiques approchées [147], F.E.M. pour les solutions par éléments finis tirées de la littérature ([148],[149]) et Comsol pour les calculs par éléments finis de ce travail.

par le rayon de courbure. Une expression approchée du facteur géométrique est donnée par [146] : = _cos()¹ cos() + s cotan₂ sin(2) 2 ⁺ 2 ^! (VI.65)

La figure VI.18(b) présente l’évolution de avec l’angle de contact. Dans le cas d’un pore cylindrique, à angle de contact nul, le ménisque prend une forme hémisphérique et est égal à 2. Plus la forme du pore s’éloigne de ce cas idéal, plus le ménisque se déforme présentant un rayon de courbure plus important et variable selon la direction. L’augmentation de l’angle de contact renforce encore cet effet.

Le coefficient de conductibilité hydraulique du film ne peut, à notre connaissance, pas être calculé exactement analytiquement. Certains auteurs présentent des formules analytiques simplifiées [147] pour le coefficient qui s’exprime en terme deK_f :

= _y2K^Sf

f2 ^(VI.66)

oùS_f est la section du film, proportionnelle à y2_. est donc bien constant pour une forme de film donnée. D’autres le calculent par éléments finis ([148],[149]) comme suit : pour un film dont l’épaisseur ne varie pas dans la direction axiale et dont l’interface gaz-liquide est une surface libre immobile, la vitesse axiale est adimensionnalisée suivant

v_z= ^vzl _l ^dpl

dz

(VI.67)

Cela donne comme équation de conservation de la quantité de mouvement

1 r @ @r r^@v_@r^z +_r¹_2@1^@2₂ + 1 = 0 (VI.68) où

1. r _{est la coordonnée radiale adimensionnelle,} 2. 1 est la coordonnée angulaire.

Cette équation est résolue sur la section du film (un exemple de géométrie est donné sur la figure VI.19(a)) en considérant une condition de non-glissement à la paroi et une surface libre au niveau de l’interface gaz-liquide. De plus nous exploitons la symétrie du système pour ne résoudre l’équation que sur la moitié de la géométrie. Un exemple de profil de vitesse est présenté sur la figure VI.19(b). est donné par

= hv

zi ¹ (VI.69)

où l’opérateurhireprésente la moyenne spatiale sur l’ensemble de la géométrie.

En suivant cette méthodologie, nous recalculons par éléments finis à l’aide du logiciel Comsol Multiphysics l’ensemble des coefficient. La figure VI.20 compare les valeurs deK_f de la littérature et ceux que nous obtenons par éléments finis. Dans le cas des liaisons de forme carrée et triangulaire nous observons un excellent accord entre nos coefficient et ceux tirés des autres modèles par éléments finis. Les valeurs obtenues avec les formules analytiques approchées

Fig. VI.21 – Variation, en fonction de l’angle de contact, des groupes de nombres sans di-mensions caractérisant, dans une section triangulaire, en abscisse, l’influence des films et en ordonnée l’influence des effets visqueux. Chaque courbe en trait continu correspond à l’évolution d’un jeu de valeurs de nombres sans dimensions fixés arbitrairement. Le point correspondant à l’angle de contact nul est marqué d’une croix. Les courbes en pointillés correspondent aux régions de même angle de contact pour les différentes courbes continues.

montrent des tendances similaires mais diffèrent parfois d’un facteur 2 des valeurs obtenues par éléments finis. Pour le cas de l’hexagone, nous observons à l’inverse une relative correspondance entre nos résultats et la solution analytique simplifiée alors que les autres résultats par éléments fini diffèrent fortement. Nous observons dans tous les cas une augmentation du coefficient de conductibilité hydraulique avec l’augmentation de l’angle de contact : plus l’angle de contact est grand, plus le rapport section sur périmètre du film augmente offrant donc une résistance plus faible à l’écoulement.

Le coefficient de conductibilité hydraulique du liquide dépend également de la forme du capillaire. Cependant, pour des polygones réguliers, ce coefficient varie relativement peu : le triangle équilatéral, qui est le polygone régulier le plus différent du cercle, présente un coefficient de conductibilité hydraulique qui ne varie que de 25 % de celui de la section circulaire [150]. Pour une section carrée, l’écart n’est que de 12 % . L’impact sur les nombres sans dimension est donc limité. Nous le négligeons donc par la suite.