Chapitre VI: Convergences

Chapitre VI:

Convergences

1. Convergence des variables aléatoires

Que veut dire qu’une suite de fonctions(f_n)_n∈Navecf_n:R→Rconverge versf?

Pour toutx ∈Ron a limn→∞fn(x) =f(x). On dit alors que(fn)_n∈N convergence simplement versf.

Nous avons la même notion pour les v.a.r.

X_n: Ω→Rconverge simplement versX si limn→∞Xn(ω) =X(ω)pour toutω∈Ω.

Que veut dire qu’une suite de fonctions(f_n)_n∈Navecf_n:R→Rconverge versf?

Pour toutx∈Ron a limn→∞fn(x) =f(x).

On dit alors que(fn)_n∈N convergence simplement versf.

Nous avons la même notion pour les v.a.r.

X_n: Ω→Rconverge simplement versX si limn→∞Xn(ω) =X(ω)pour toutω∈Ω.

Que veut dire qu’une suite de fonctions(f_n)_n∈Navecf_n:R→Rconverge versf?

Pour toutx∈Ron a limn→∞fn(x) =f(x).

On dit alors que(fn)_n∈N convergence simplement versf.

Nous avons la même notion pour les v.a.r.

X_n: Ω→Rconverge simplement versX si limn→∞Xn(ω) =X(ω)pour toutω∈Ω.

Que veut dire qu’une suite de fonctions(f_n)_n∈Navecf_n:R→Rconverge versf?

Pour toutx∈Ron a limn→∞fn(x) =f(x).

On dit alors que(fn)_n∈N convergence simplement versf.

Nous avons la même notion pour les v.a.r.

X_n: Ω→Rconverge simplement versX si limn→∞X_n(ω) =X(ω)pour toutω∈Ω.

Soit(Xn)n∈N une suite de v.a. qui sont i.i.d. avecP(Xn=1) =p et P(Xn=0) =1−p. Lorsquenest grand, on s’attend à ce que la proportion de 1 soit à peu près égale àp. Mathématiquement, on voudrait que

n→∞lim

X1(ω) +. . .+Xn(ω)

n =p pour toutω∈Ω.

Cela est faux!!!

On a même limn→∞X1(ω)+...+Xn(ω)

n =0 pour toutω dans l’ensemble A={ω:il n’y a qu’un nombre fini de tirages 1}

Soit(Xn)n∈N une suite de v.a. qui sont i.i.d. avecP(Xn=1) =p et P(Xn=0) =1−p. Lorsquenest grand, on s’attend à ce que la proportion de 1 soit à peu près égale àp. Mathématiquement, on voudrait que

n→∞lim

X1(ω) +. . .+Xn(ω)

n =p pour toutω∈Ω.

Cela est faux!!!

On a même limn→∞X1(ω)+...+Xn(ω)

n =0 pour toutω dans l’ensemble A={ω:il n’y a qu’un nombre fini de tirages 1}

Soit(Xn)n∈N une suite de v.a. qui sont i.i.d. avecP(Xn=1) =p et P(Xn=0) =1−p. Lorsquenest grand, on s’attend à ce que la proportion de 1 soit à peu près égale àp. Mathématiquement, on voudrait que

n→∞lim

X1(ω) +. . .+Xn(ω)

n =p pour toutω∈Ω.

Cela est faux!!!

On a même limn→∞X1(ω)+...+X_n(ω)

n =0 pour toutω dans l’ensemble A={ω:il n’y a qu’un nombre fini de tirages 1}

Définition (Convergence presque sûre)

On dit qu’une suite(Xn)n∈Nde v.a. converge presque sûrement vers une v.a. X si l’ensembleN desω tels que la suite numérique(X_n(ω))_n∈Nne converge pas versX(ω)vérifieP(N) =0.

n→∞lim X_n=X p.s. ouX_n→X p.s.

Définition (Convergence dans L

)

On dit qu’une suite(Xn)_n∈Nde v.a. converge dansL^p (oùp≥1) vers une v.a. X si les(Xn)_n∈Net lesX sont dansL^p, et si on a

n→∞lim E |Xn−X|^p

=0.

On dit aussi que(Xn)_n∈Nconverge en moyenne d’ordre pversX, et on écrit

Xn L^p

→X .

•p=1 on dit convergence en moyenne

•p=2 on dit convergence en moyenne quadratique

Définition (Convergence en probabilité)

On dit qu’une suite(Xn)n∈Nde v.a. converge en probabilité vers une v.a.

X si pour tout >0 on a

n→∞lim P({ω:|Xn(ω)−X(ω)|> }) =0

ou plus simplement: P(|Xn−X|> )→0 quandn→ ∞. On écrit alors Xn→P X .

Proposition (Lemme de Borel-Cantelli)

Soit(X_n)_n≥1etX des variables aléatoires réelles définies sur(Ω,A,P).

Si pour tout >0on a P

n≥1P

|X_n−X| ≥ <∞alorsX_n→X p.s.

Théorème

On aXn→P X si et seulement si

n→∞lim E

|Xn−X| 1+|X_n−X|

=0.

Remarque

On peut faire la preuve pour toute fonctionf bornée, croissante, continue et nulle en0. Donc on a

Xn→P X si et seulement si E(f(Xn−X))→0.

Théorème

On aXn→P X si et seulement si

n→∞lim E

|Xn−X| 1+|X_n−X|

=0.

Remarque

On peut faire la preuve pour toute fonctionf bornée, croissante, continue et nulle en0. Donc on a

Xn→P X si et seulement si E(f(Xn−X))→0.

Théorème

Soit une suite(X_n)_n∈Nde v.a.

a) si Xn L^P

→X alors on aXn→P X b) si Xn→X p.s. alors on a Xn P

→X

Réciproque?

Théorème

Soit une suite(X_n)_n∈Nde v.a. Supposons queX_n→^P X et que|X_n| ≤Y pour toutn∈N, oùY est une v.a. appartenant àL^p pour unp≥1. On a alorsX ∈L^p etX_n ^L

P

→X.

Théorème

Soit une suite(Xn)_n∈Nde v.a. Supposons queXn→P X. Il existe alors une sous suitenk de la suite des entiers telle queXn_k →X p.s.

Réciproque?

Théorème

Soit une suite(X_n)_n∈Nde v.a. Supposons queX_n→^P X et que|X_n| ≤Y pour toutn∈N, oùY est une v.a. appartenant àL^p pour unp≥1. On a alorsX ∈L^p etX_n ^L

P

→X.

Théorème

Soit une suite(Xn)_n∈Nde v.a. Supposons queXn→P X. Il existe alors une sous suitenk de la suite des entiers telle queXn_k →X p.s.

Réciproque?

Théorème

Soit une suite(X_n)_n∈Nde v.a. Supposons queX_n→^P X et que|X_n| ≤Y pour toutn∈N, oùY est une v.a. appartenant àL^p pour unp≥1. On a alorsX ∈L^p etX_n ^L

P

→X.

Théorème

Soit une suite(Xn)_n∈Nde v.a. Supposons queXn→P X. Il existe alors une sous suitenk de la suite des entiers telle queXn_k →X p.s.

Théorème (Convergence et continuité)

Soitf une fonction continue.

a) si X_n→^P X alors on af(X_n)→^P f(X)

b) si Xn→X p.s. alors on a f(Xn)→f(X)p.s.

Remarque

On peut affaiblir l’hypothèse de continuité de la fonctionf pour la convergence presque sûr, il suffit quef soit continue sur un ensembleC et queP(X ∈C) =1.

Théorème (Convergence et continuité)

Soitf une fonction continue.

a) si X_n→^P X alors on af(X_n)→^P f(X)

b) si Xn→X p.s. alors on a f(Xn)→f(X)p.s.

Remarque

On peut affaiblir l’hypothèse de continuité de la fonctionf pour la convergence presque sûr, il suffit quef soit continue sur un ensembleC et queP(X ∈C) =1.

Théorème (Théorème de convergence)

Soit(Xn)_n∈N une suite de v.a. sur(Ω,A,P).

a) Convergence monotone: si lesX_n sont positives et croissent presque sûrement versX, alors

n→∞lim E[Xn] =E[X].

b) Convergence dominée ou Lebesgue : si lesX_nconvergent presque sûrement versX et si |X_n| ≤Y p.s. pour toutnoùY ∈L¹alors X_n∈L¹,X ∈L¹ et

n→∞lim E[Xn] =E[X].

c) Lemme de Fatou : si lesX_nvérifientX_n≥Y p.s. avecY ∈L¹, alos

E[ lim

n→∞

X_n]≤limE[X_n]. Cela est vrai en particulier siX_n≥0p.s.

Théorème (Théorème de convergence)

Soit(Xn)_n∈N une suite de v.a. sur(Ω,A,P).

a) Convergence monotone: si lesX_n sont positives et croissent presque sûrement versX, alors

n→∞lim E[Xn] =E[X].

b) Convergence dominée ou Lebesgue : si lesX_n convergent presque sûrement versX et si |X_n| ≤Y p.s. pour toutnoùY ∈L¹alors X_n∈L¹,X ∈L¹ et

n→∞lim E[X_n] =E[X].

c) Lemme de Fatou : si lesX_nvérifientX_n≥Y p.s. avecY ∈L¹, alos

E[ lim

n→∞

X_n]≤limE[X_n]. Cela est vrai en particulier siX_n≥0p.s.

Théorème (Théorème de convergence)

Soit(Xn)_n∈N une suite de v.a. sur(Ω,A,P).

a) Convergence monotone: si lesX_n sont positives et croissent presque sûrement versX, alors

n→∞lim E[Xn] =E[X].

b) Convergence dominée ou Lebesgue : si lesX_n convergent presque sûrement versX et si |X_n| ≤Y p.s. pour toutnoùY ∈L¹alors X_n∈L¹,X ∈L¹ et

n→∞lim E[X_n] =E[X].

c) Lemme de Fatou : si lesX_n vérifientX_n≥Y p.s. avecY ∈L¹, alos

E[ lim

n→∞

X_n]≤limE[X_n]. Cela est vrai en particulier siX_n≥0p.s.

2. Convergence en loi

Définition

Soit(Xn)_n∈N etX des v.a. à valeurs dansR^d. On aXn

→L X si et seulement si

n→∞lim E[f(Xn)] =E[f(X)]

pour toute fonction réelle continue et bornéesurR^d.

On peut remplacer continue par uniformément continue ou par lipschitz.

support compact

Définition

Soit(Xn)_n∈N etX des v.a. à valeurs dansR^d. On aXn

→L X si et seulement si

n→∞lim E[f(Xn)] =E[f(X)]

pour toute fonction réelle continue et bornéesurR^d.

On peut remplacer continue par uniformément continue ou par lipschitz.

Théorème

Soit(Xn)_n∈N etX des v.a. toutes définies sur le même espace de probabilité(Ω,A,P). Si la suite de v.a. (Xn)_n∈N converge versX en probabilité, alorsXn converge aussi versX en loi.

Théorème (Réciproque partielle)

Soit(Xn)n∈N etX des v.a. toutes définies sur le même espace de

probabilité(Ω,A,P). SiX_nconverge en loiversX et si de plusX est p.s. égale à une constante, alorsX_nconverge enprobabilité.

Théorème

Soit(Xn)_n∈N etX des v.a. toutes définies sur le même espace de probabilité(Ω,A,P). Si la suite de v.a. (Xn)_n∈N converge versX en probabilité, alorsXn converge aussi versX en loi.

Théorème (Réciproque partielle)

Soit(Xn)n∈N etX des v.a. toutes définies sur le même espace de probabilité(Ω,A,P). SiXnconverge en loiversX et si de plusX est p.s.

égale à une constante, alorsX_nconverge enprobabilité.

Théorème (Théorème de Slutsky)

Soit(Xn)n∈N et(Yn)n∈Ndeux suites de v.a. à valeurs dans R^d. Supposons queXn

→L X et que||Xn−Yn||→^P 0. AlorsYn

→L X.

Théorème

Soit(X_n)_n∈N une suite de v.a. dansR^d. X_n→^L X si et seulement si φ_Xn(x)→φ_X(x)pour toutx ∈R^d.

Théorème

Si(Xn)_n∈Nune suite de v.a. dansR^d telle queφX_n(x)→φ(x)et siφest continue en 0, alorsφest la fonction caractéristique d’une v.a. X. De plusX_n→^L X.

Théorème

Soit(X_n)_n∈N une suite de v.a. dansR^d. X_n→^L X si et seulement si φ_Xn(x)→φ_X(x)pour toutx ∈R^d.

Théorème

Si(Xn)_n∈Nune suite de v.a. dansR^d telle queφX_n(x)→φ(x)et siφest continue en 0, alorsφest la fonction caractéristique d’une v.a. X. De plusX_n→^L X.

Proposition (Convergence en loi et fonction de répartition)

Soit(Xn)_n∈N une suite de v.a.r. définie pour toutnsur un espace de probabilité(Ωn,An,Pn)de fonction de répartitionFX_n et soitX une v.a.r.

définie sur un espace de probabilité(Ω,A,P)de fonction de répartition FX. La suite(Xn)_n∈Nconverge en loi versX si et seulement si la suite (FX_n(x))_n∈Nconverge versFX(x)en tout point de continuité deFX.