Partie II. Étude du minimum.

Lycée Ste-Marie Fénelon – la Plaine Monceau Classe de MP

Année 2018-2019 Mathématiques

Devoir maison n ^◦ 13 facultatif

À rendre le lundi 11 mars

Durée : trois heures pour le premier jet Toute calculatrice interdite

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont définies sur le même espace probabilisable (Ω,A). On notePune probabilité sur cet espace. On noteE(X)etV(X)les espérance et variance (pour la probabilité P) d’une variable aléatoire X. Si A ∈ A, on note 1^A son indicatrice, c’est-à -dire l’application qui à chaque ω ∈ Ω associe1si ω∈A et0 sinon. SiA∈ Aest de probabilité non nulle, on notePA la probabilité conditionnelle sachant Aet, s’il y a lieu,EA(X)l’espérance, pourPA, d’une variable aléatoireX.

On pose, pour tout entier naturelnnon nul,Hn =

n

X

k=1

1 k.

L’objet du problème est, principalement, l’étude de la variable aléatoire égale au maximum de nvariables indé- pendantes toutes de même loi géométrique.

La partieI regroupe des questions indépendantes dont les résultats seront utilisés par la suite.

• On rappelle l’existence d’un réel notéγ pour lequel on a, quand l’entierntend vers+∞: Hn= lnn+γ+o(1).

• On rappelle aussi qu’une variable aléatoire discrète X à valeurs dans Nadmet une espérance finie si, et seulement si, la série X

n∈N

nP([X =n])converge (absolument), ou, de façon équivalente, la série X

n∈N

P([X > n]) converge. On peut alors calculer l’espérance à l’aide d’une des deux formules suivantes :

E(X) =

+∞

X

n=0

nP([X=n]) =

+∞

X

n=0

P([X > n]).

On pourra utiliser ces résultats si besoin.

Partie I. Préliminaires

1. Une formulation intégrale des moments d’une variable positive SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN.

(a)

i. Vérifier que la fonction qui à chaque réeltassocieP([X > t])est continue par morceaux surR. ii. Montrer queX a une espérance si et seulement si l’intégrale

Z +∞

0

P([X > t]) dt converge et que, dans ce cas, on a l’égalité :

E(X) = Z +∞

0

P([X > t]) dt.

(b) Montrer queX a un moment d’ordre2si et seulement si l’intégrale Z +∞

0

tP([X > t]) dt converge et que, dans ce cas, on a l’égalité :

E(X²) = 2 Z +∞

0

tP([X > t]) dt.

2. Loi conditionnelle d’un vecteur aléatoire.

(a) SoitX une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p∈]0,1[. Quelle est la loi deX−1 pour la probabilité conditionnelleP[X>1]?

(b) Soitr∈N^∗etX₁, X₂, . . . , X_rdes variables aléatoiresindépendantestoutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (sur N^∗) de paramètre p∈]0,1[.

On noteA=

r

\

i=1

[Xi >1].

Montrer que le vecteur aléatoire(X₁−1, X₂−1, . . . , X_r−1)a, pour la probabilité conditionnellePA, même loi que le vecteur aléatoire (X1, X2,· · · , Xr)(pour la probabilité P).

3. La formule de l’espérance totale.

Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé.

(a) Soit A un événement de probabilité non nulle et soit X une variable aléatoire possédant une espérance.

Montrer que le produit X×1^A a une espérance et exprimerE(X×1^A)à l’aide deEA(X).

(b) On considère des événementsA₁, A₂, . . . , A_n, chacun étant de probabilité non nulle, formant une partition de Ω. SoitXune variable aléatoire, définie sur l’espace(Ω,A,P), à valeurs dansNet possédant une espérance.

Établir l’égalité :

E(X) =

n

X

k=1

EA_k(X)P(Ak).

Dans toute la suite du problème on considère une suite(Xn)_n∈N^∗ de variables aléatoiresindépendantes toutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (surN^∗) de paramètrep∈]0,1[. On poseq= 1−p.

On note, pour tout entier naturel nnon nul et toutω∈Ω,

I_n(ω) = min (X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω)) et M_n(ω) = max (X₁(ω), X₂(ω), . . . , X_n(ω)).

4. Montrer que, pour tout entier naturelnnon nul, l’applicationI_nest une variable aléatoire sur l’espace probabilisé (Ω,A,P).

Il en est de même, et on l’admet, de l’applicationMn.

Partie II. Étude du minimum.

1. Montrer que, pour tout entier naturel nnon nul,In suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.

2. Quelles sont les limites de E(In), V(In)et, pour tout entier naturel k non nul, P([In = k]) lorsque l’entier n tend vers+∞?

3.

(a) Soitω∈Ω. Justifier l’existence d’une limite finie, notée`(ω), pour la suite de terme généralI_n(ω).

(b) Exprimer la partieL={ω∈Ω ; `(ω) = 1}en fonction des événements[In= 1]et en déduire que la partie L est un événement presque sûr.

Partie III. Étude du maximum.

1. L’espérance de Mn tend vers +∞.

(a) Soitn∈N^∗.

i. Justifier l’existence d’une espérance pour la variableMn et l’encadrement 1

p≤E(Mn)≤ n p.

ii. Déterminer, pour tout entier naturelk, la valeur deP([Mn ≤k]).

(b)

i. SoitK∈N^∗. Établir, pour tout entier naturelnnon nul, l’inégalité :

E(Mn)≥E(Mn 1[Mn≤K]) +KP([Mn> K]).

ii. En déduire que lim

n→+∞E(Mn) = +∞.

2. Deux expressions de l’espérance de Mn. Soitn∈N^∗.

(a) Établir l’égalité :E(Mn) =

n

X

i=1

n i

(−1)ⁱ⁻¹ 1 1−qⁱ.

On pourra utiliser la deuxième formule de l’espérance rappelée en début d’énoncé.

(b) On notebxcla partie entière d’un réelx. Établir l’égalité : E(Mn) =

Z +∞

0

1−(1−q^btc)ⁿ dt.

On utilisera le résultat de I.1.(a).ii.

3. Estimation de l’espérance de Mn.

(a) Justifier, pour tout entier naturelk, la convergence de l’intégrale Z +∞

0

q^t(1−q^t)^kdtet déterminer sa valeur.

(b) En déduire, pour tout entier naturelnnon nul, l’égalité : Z +∞

0

1−(1−q^t)ⁿ

dt=−H_n lnq.

(c) Établir, pour tout entier naturelnnon nul, l’encadrement :

−H_n

lnq ≤E(M_n)≤ −H_n lnq + 1.

En déduire l’équivalent deE(M_n)∼ −lnn

lnq quand l’entierntend vers+∞.

Bon courage !

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Devoir maison n ^◦ 12 – éléments de correction

extrait de BECEAS 2017

Partie I. Préliminaires

1. Une formulation intégrale des moments d’une variable positive SoitX une variable aléatoire à valeurs dansN.

(a)

i. Pour toutt dans R^∗− =]− ∞,0[, P(X > t) = 1 et pour tout n dans N, pour tout t dans [n, n+ 1[, P(X > t) =P(X≥n+ 1) =P(X > n). Ainsi les seuls points de discontinuité det7→P(X > t)sont les entiers naturels, avec une limite finie à gauche, égale à P(X > n−1) =P(X ≥n)et une limite finie à droite, égale àP(X > n).

Pour tout segment[a, b]deRle nombre d’entiers naturels dans ce segment étant majoré par|b−a|+1, il est nul ou fini, donc la fonction considérée admet un nombre fini de points de discontinuité et en chacun de ces points, elle admet une limite finie à droite et/ou à gauche : elle est continue par morceaux sur ce segment (de fait, elle est en escalier), et donc, par définition d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle quelconque,

la fonction t7→P(X > t)est continue par morceaux surR. (Elle est même continue à droite en tout point).

ii. En notant f(t) = P(X > t) pour tout t dans R+, la fonctionf est continue par morceaux, positive et décroissante, donc par théorème de comparaison des séries et des intégrales, la série X

f(n) et l’intégrale R

[0,+∞[f sont de même nature. Alors, avec l’équivalence rappelée en début d’énoncé : X est d’espérance finie si, et seulement siX

P(X > n) =X

f(n)converge, on obtient X est d’espérance finie si, et seulement si

Z +∞

0

P(X > t) dt converge.

En cas de convergence, avec Z k+1

k

P(X > t) dt= [(k+ 1)−k]P(X > k)pour toutkdansN, on a Z n

0

P(X > t) dt=

n−1

X

k=0

Z k+1

k

P(X > t) dt=

n−1

X

k=0

P(X > k),

donc, avec Z +∞

0

P(X > t) dt= lim

n→∞

Z n

0

P(X > t) dtetE(X) = lim

n→∞

n

X

k=0

P(X > k), on obtient

siX est d’espérance finie, alorsE(X) = Z +∞

0

P(X > t) dt.

(b) D’après ce qui précède,X² est d’espérance finie si, et seulement si, Z +∞

0

P(X²> t) dt converge.

Avec Z +∞

0

P(X² > t) dt = Z +∞

0

P(X >√

t) dt et le changement de variable u=√

t, c’est-à-dire t =u² doncdt= 2udu(bijectif, croissant et de classeC¹ deR^∗+ =]0,+∞[ sur lui-même), en cas de convergence on obtient (les deux intégrales étant de même nature) :

Z +∞

0

P(X >√ t) dt=

Z +∞

0

2uP(X > u) du.

Finalement X² est d’espérance finie si, et seulement si, Z +∞

0

tP(X > t) dtconverge et, en cas de conver- gence E(X²) = 2

Z +∞

0

tP(X > t) dt.

2. Loi conditionnelle d’un vecteur aléatoire.

(a) SoitX une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètrep∈]0,1[.

Avec 0< q= 1−p <1, on a, pour toutndansN, P([X > n]) =

∞

X

k=n+1

P([X =k]) =

∞

X

k=n+1

p q^k−1=p qⁿ

∞

X

i=0

qⁱ =p qⁿ 1−q,

c’est-à-direP([X > n]) =qⁿ. En particulierP([X >1]) =q.

Pour toutkdansN, on aP[X>1]([X−1 =k]) = P([X =k+ 1]∩[X >1]) P([X >1]) .

Avec[X = 1]∩[X >1] =∅et[X=k+1]⊂[X >1]pour toutkdansN^∗, on obtient P[X>1]([X−1 = 0]) = 0 et pour tout k dansN^∗, P[X>1]([X −1 = k]) = P([X =k+ 1])

P([X >1]) = p q^k

q =p q^k−1, c’est-à-dire que X −1 sachant[X >1]suit la loi géométrique de paramètrep: (X−1)[X>1],→ G(p).

(b) Soitr∈N^∗etX1, X2, . . . , Xrdes variables aléatoiresindépendantestoutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (sur N^∗) de paramètre p∈]0,1[. On noteA=

r

\

i=1

[Xi >1].

Les variablesXiétant indépendantes on aP(A) =

r

Y

i=1

P([Xi>1]).

Comme les variables (Xi−1)sont aussi indépendantes, on obtient, pour tout(ki)_1≤i≤r deN^r, PA(X₁−1 =k₁,· · ·, X_r−1 =k_r) = 1

P(A)

r

Y

i=1

P([X_i−1 =k_i]∩A).

Si l’un deski au moins est nul on aPA([X1−1 =k1,· · ·, Xr−1 =kr]) = 0et sinon PA([X1−1 =k1,· · · , Xr−1 =kr]) = 1

P(A)

r

Y

i=1

P([Xi−1 =ki]∩[Xi>1]) =

r

Y

i=1

P([X_i−1 =k_i]∩[X_i>1]) P(Xi>1) ,

c’est-à-dire avec le résultat de (a),PA([X₁−1 =k₁,· · · , X_r−1 =k_r]) =

r

Y

i=1

P([X_i =k_i])et finalement

∀(ki)_1≤i≤r∈N^r, PA([X₁−1 =k₁,· · ·, X_r−1 =k_r]) =P([X₁=k₁,· · ·, X_r=k_r]).

3. La formule de l’espérance totale.

Soit(Ω,A,P)un espace probabilisé.

(a) SoitAun événement de probabilité non nulle et soit X une variable aléatoire possédant une espérance.

Comme produit de deux variables aléatoires discrètes,X×1^A est une variable aléatoire discrète.

Avec1^A(ω)∈ {0,1}pour toutωdansΩon a|X×1^A| ≤ |X|donc siX a une espérance finie, alorsX×1^A a aussi une espérance finie.

Si on noteY =X×1^A, on a [Y = 0] = [X = 0]∪A, et, pour tout¯ x∈X(Ω)\ {0}, [Y =x] = [X=x]∩A.

Ainsi, on a E(Y) = X

x∈Y(Ω)

xP(Y =x) = X

x∈Y(Ω)\{0}

xP(Y =x) = X

x∈Y(Ω)\{0}

xP([X =x]∩A) = X

x∈Y(Ω)\{0}

xPA(X=x)×P(A)

E(Y) =P(A)× X

x∈X(Ω)

xPA(X=x) (avecY(Ω)⊂X(Ω)∪ {0}) E(X 1^A) =P(A)EA(X).

(b) On considère des événementsA1, A2, . . . , An, chacun étant de probabilité non nulle, formant une partition de Ω. SoitXune variable aléatoire, définie sur l’espace(Ω,A,P), à valeurs dansNet possédant une espérance.

Avec 1^Ω=

n

X

k=1

1^Ak, on a X=

n

X

k=1

X·1^Ak et la linéarité de l’espérance donne avec le résultat précédent

E(X) =

n

X

k=1

EA_k(X)P(Ak).

Dans toute la suite du problème on considère une suite(X_n)_n∈N^∗ de variables aléatoiresindépendantes toutes de même loi, chacune suivant la loi géométrique (surN^∗) de paramètrep∈]0,1[. On poseq= 1−p.

On note, pour tout entier naturel nnon nul et toutω∈Ω,

In(ω) = min (X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω)) et Mn(ω) = max (X1(ω), X2(ω), . . . , Xn(ω)). 4. Pour ndansN^∗, la fonction In est définie surΩet à valeurs dansN^∗.

Pour tout k dans N^∗, [X_i ≥ k] est un événement (dans A) pour tout i dans [[1, n]], donc, l’image réciproque [I_n≥k] =

n

\

i=1

[X_i ≥k]est un événement comme intersection finie d’événements, et par suite, pour toutk≥1, [I_n =k] = [I_n ≥k]\[I_n ≥k+ 1]est aussi un événement :I_n est une variable aléatoire discrète à valeurs dans N^∗ et il en est de même pourMn.

Partie II. Étude du minimum.

1. SiX ,→ G(p) alors (comme plus ou moins déjà vu en I.5.(a), pour toutk dansN^∗ on a, P(X ≥k) =

∞

X

n=k

P(X =n) =

∞

X

n=k

p qⁿ⁻¹=p q^k−1

∞

X

i=0

qⁱ= p q^k−1 1−q, soit

∀k∈N^∗, P(X≥k) =q^k−1. Ainsi, avec l’indépendance des variablesX₁, X₂, . . . , X_n et le résultat donné en I.4, on a

∀k∈N^∗, P(In=k) = (q^k−1)ⁿ−(q^k)ⁿ=q^(k−1)n[1−qⁿ] = (1−qⁿ) (qⁿ)^k−1, c’est-à-dire In,→ G(1−qⁿ).

2. Avec le cours, on aE(I_n) = 1

1−qⁿ etV(I_n) = qⁿ

(1−qⁿ)², donc, avecqⁿ ∈]0,1[, on obtient

n→∞lim E(In) = 1, lim

n→∞V(In) = 0. De plus, toujours avec qⁿ∈]0,1[et le résultat de (a), on a (avecP(In = 1) = 1−qⁿ)

n→∞lim P(In= 1) = 1et ∀k≥2, lim

n→∞P(In=k) = 0.

3.

(a) Soitω∈Ω. La suite(In(ω))_n∈

N^∗est décroissante (c’est le minimum d’une suite croissante d’ensembles finis) et minorée par1, elle est donc convergente.

(b) Comme la suite (I_n(ω))_n∈

N^∗ est une suite d’entiers naturels non nuls, elle est de limite égale à 1 si et seulement il existe unn0dansN^∗ tel queIn₀(ω) = 1(et alorsIn(ω) = 1pour toutn≥n0), c’est-à-dire que l’on aL=

∞

[

n=1

[In = 1], ce qui établit le fait queLest un événement.

De plus, la suite d’événements ([In = 1])_n∈N^∗ étant croissante pour l’inclusion, le théorème de la limite monotone donneP(L) = lim

n→∞P(I_n = 1) = 1: L est un événement presque sûr.

Partie III. Étude du maximum.

1. L’espérance de Mn tend vers +∞.

(a) Soitn∈N^∗.

i. Si on note Sn =

n

X

i=1

Xi, Sn a une espérance etE(Sn) = n E(X1) = n

p. Avec X1 ≤ Mn ≤ Sn on en déduit que M_n a une espérance et 1

p≤E(M_n)≤ n p. ii. Avec [Mn≤k] =

n

\

i=1

[Xi ≤k], l’indépendance desXi et P([X1≤k]) = 1−P([X1≥k+ 1]) = 1−q^k, on obtient : P([M_n≤k]) = (1−q^k)ⁿ.

(b)

i. PourK∈N^∗, avec le système complet d’événements([Mn≤K],[Mn> k])(ces deux événements sont de probabilités non nulles) et la formule de l’espérance totale (comme dans I.3) on obtient

E(Mn) =E(Mn 1[Mn≤K]) +E(Mn 1[Mn>K]).

Avec Mn(ω)> K pour toutω dans l’événement[Mn> K], on obtient

E(M_n 1^[Mn>K])> KP([M_n> K]) (I.3.(a)) et finalement ∀K∈N^∗, E(M_n)> E(M_n 1^[Mn≤K]) +KP([M_n> K]).

ii. Avec P([Mn> K]) = 1−P([Mn≤K]) = 1−(1−q^K)ⁿ, etq^K∈]0,1[, on a

∀K∈N^∗, lim

n→+∞P([Mn > K]) = 1.

Pour A > 0, en prenant K = b2Ac+ 1 et N tel que P([Mn > K]) ≥ 1

2 pour tout n ≥ N, on a E(Mn)> KP([Mn> k])>2A×1

2 ≥A. On a montré : lim

n→∞E(Mn) = +∞.

2. Deux expressions de l’espérance de Mn. Soitn∈N^∗.

(a) Avec, pour toutk dansNet toutndansN^∗, 1−(1−q^k)ⁿ= 1−

n

X

i=0

n i

(−1)ⁱ(q^k)ⁱ =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ n

i

(qⁱ)^k,

la formule rappelée et entête donne (toutes les séries géométriques intervenant étant convergentes, car de raisonqⁱ∈[0,1[pouri≥1)

E(M_n) =

∞

X

k=0

P([M_n > k]) =

∞

X

k=0 n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ n

i

(qⁱ)^k

!

=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ n

i ^∞

X

k=0

(qⁱ)^k

!

E(Mn) =

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ n

i 1

1−qⁱ.

(b) Pour toutkdansNet touttdans[k, k+ 1[on a

btc=k et P([X > t]) =P([X > k]) = 1−(1−q^k)ⁿ = 1−(1−q^btc)ⁿ.

L’application t 7→ P(X > t) est donc continue par morceaux sur R+ et la formule obtenue en I.1.(a).ii donne E(M_n) =

Z +∞

0

1−(1−q^btc)ⁿ dt.

3. Estimation de l’espérance de Mn.

(a) Avecq^t= exp(tln(q)), en notant pourqdans]0,1[etkdansN,f(t) =q^t(1−q^t)^k, la fonctionfest continue surR+, avecf(0) =δ_k,0.

Avec lim

t→+∞q^t= 0on af(t) ∼

t→+∞q^tet avec lim

t→+∞t²q^t= 0, on af(t) =

t→+∞o 1

t²

, donc par comparaison aux intégrales de Riemann (2>1), la fonctionf est intégrable sur[1,+∞[donc aussi sur[0,+∞[: l’intégrale Z +∞

0

q^t(1−q^t)^kdtest convergente.

L’applicationt7→q^test de classeC¹, strictement décroissante et bijective de]0,+∞[sur]0,1[(aveclnq <0), donc, en posantu=q^t= exp(tlnq)on adu= ln(q)q^tdt et

Z +∞

0

q^t(1−q^t)^kdt=− 1 lnq

Z 1

0

(1−u)^kdu=− 1 lnq

−(1−u)^k+1 k+ 1

¹

0

∀k∈N, Z +∞

0

q^t(1−q^t)^kdt=− 1 (k+ 1) lnq. (b) Avecq^t∈]0,1[pour toutt >0, on a

n−1

X

k=0

(1−q^t)^k =1−(1−q^t)ⁿ

1−(1−q^t) , c’est-à-dire

1−(1−q^t)ⁿ =q^t

n−1

X

k=0

(1−q^t)^k =

n−1

X

k=0

q^t(1−q^t)^k.

Ainsi, avec le résultat qui précède etHn=

n

X

k=1

1 k =

n−1

X

k=0

1

k+ 1, on obtient

∀n∈N^∗, Z +∞

0

1−(1−q^t)ⁿ

dt=−Hn

lnq.

(c) Avect≥ btcetln(q)<0 on aq^btc ≥q^t donc1−(1−q^btc)ⁿ ≥1−(1−q^t)ⁿ et, avec l’expression obtenue en 2.(b) et le résultat précédent, on obtient E(M_n)≥ −H_n

lnq. E(M_n) =

Z 1

0

1−(1−q^btc)ⁿ dt+

Z +∞

1

1−(1−q^btc)ⁿ

dt= 1 + Z +∞

0

1−(1−q^bt+1c)ⁿ dt

donc, avec bt+ 1c ≥ t (comme ci-dessus, dans l’autre sens) : E(M_n) ≤ 1 + Z +∞

0

1−(1−q^t)ⁿ dt et finalement

∀n∈N^∗, −Hn

lnq ≤E(Mn)≤1− Hn

lnq. Avec H_n ∼

n→+∞ln(n)et lim

n→∞ln(n) = +∞, on obtient E(Mn) ∼

n→+∞−ln(n) ln(q).