X – MAP
PC – mardi avril – Espaces probabilis´es Corrig´e des que ions non abord´ees en PC
Igor Kortchemski –igor.kortchemski@cmap.polytechnique.fr
Corrig´e des exercices non trait´es surhttp:// www.normalesup.org/ ˜ kortchem/ MAPun peu apr`es la PC.
Lemmes de Borel–Cantelli
E xercice 5. (Limite sup´erieure d’ensembles)Soit (An)n≥ une suite d’´ev´enements d’un espace probabilisable (Ω,A).
On pose
lim sup
n→∞ AnB
\
p≥
[
n≥p
An
. () Que repr´esente l’´ev´enement lim supn→∞An?
() SiA=R, donner lim supn→∞Andans les trois cas suivants : (a) An= [−/n,+/n]
(b) An= [−−(−)n,+ (−)n[
(c) An=pnN, o `u (pn)n≥ela suite des nombres premiers etpnNel’ensemble des multiples depn, () Comparer lim supn→∞(An∪Bn) et lim supn→∞(An∩Bn) avec lim supn→∞Anet lim supn→∞Bn. () Que repr´esente l’´ev´enement lim infn→∞AnBS
p≥
T
n≥pAn
?
Corrig´e :
() (b) On aAn= [−,[.
() Il s’agit de l’´ev´enement o `u tous lesAnsont r´ealis´es `a partir d’un certain rang.
Rappel des lemmes de Borel-Cantelli.
∗Premier lemme de Borel-Cantelli. Soit (Ω,A,P) un espace probabilit´e et (An)n≥ une suite d’´ev´enements. On suppose queP∞
n=P(An)<∞. AlorsP(lim supn→∞An) =. En d’autres termes, de mani`ere ´equivalente : – presque s ˆurement,Ann’er´ealis´e qu’un nombre fini de fois ;
– presque s ˆurement,Ann’epas r´ealis´e `a partir d’un certain rang ; – avec probabilit´e,Aner´ealis´e une infinit´e de fois.
∗ Deuxi`eme lemme de Borel-Cantelli. Soit (Ω,A,P) un espace probabilit´e et (An)n≥ une suite d’´ev´enements ind´ependants. On suppose que P∞
n=P(An) = ∞. Alors P(lim supn→∞An) = . En d’autres termes, de mani`ere
´equivalente :
– presque s ˆurement,Aner´ealis´e une infinit´e de fois.
– avec probabilit´e,Ann’epas r´ealis´e `a partir d’un certain rang.
E xercice 6. (Marche al´eatoire vue de l’origine)Soit (Yn)n≥une suite de variables al´eatoires de Bernoulli ind´ependantes d´efinies sur (Ω,A,P) telles queP(Yn=) =petP(Yn =−) =−p avec< p <etp,/. On consid`ere la marche al´eatoireZn=Y+Y+· · ·+Yn(avecZ=). On noteAn={Zn=}.
Pour des queions, demande d’explications etc., n’h´esitez pas `a m’envoyer un mail.
() Que repr´esente l’´ev´enement lim supn→∞An? () Montrer queP(lim supn→∞An) =.
() Lorsquep=/, on peut montrer en utilisant la formule de Stirling que P(Zn=) ∼
n→∞
√ πn. Peut-on en d´eduire direement queP(lim supn→∞An) =?
Corrig´e :
() lim supn→∞Anrepr´esente l’ensemble des issus pour lesquelles le trajeoires deZnqui repassent une infinit´e de fois par.
) D’apr`es le (premier) lemme de Borel-Cantelli, il suffit de montrer queP
P(An) converge. OrP(An) enul si neimpair et
P(An) =P(Zn=) = n n
!
pn(−p)n. OrP(An+)/P(An) = (n+)(n+)
(n+) p(−p)→p(−p) quandn→ ∞. Orp(−p)<puisquep,/, d’o `u la convergence de la s´erie.
Remarque.Plus simplement, on peut majorer nnparn, de sorte queP(An)≤(p(−p))net on conclut de mani`ere similaire.
() D’apr`es l’´equivalent de l’´enonc´e, la s´erie de terme g´en´eralP(An) diverge. Cependant, on ne peut pas appliquer le (deuxi`eme) lemme de Borel Cantelli direement, car les ´ev´enementsAnne sont pas ind´ependants.
Remarque.Lorsquep=/, il ecependant vrai queP(lim supn→∞An) =. Pour le d´emontrer, on peut proc´eder comme suit. Notonsτnlen-i`eme passage de la marche al´eatoire en(τneune variable al´eatoire qui vaut +∞si la marche passeriement moins denfois en, etτn<∞si et seulement si la marche repassenfois par), et notons Xle nombre total de passages enpar la marche al´eatoire. Alors
X=+X
n≥
1Zn==+X
n≥
1τn<∞.
En passant `a l’esp´erance et en utilisant la lin´earit´e de l’esp´erance pour des variables al´eatoires positives, on obtient
∞=X
n≥
P(Zn=) =X
n≥
P(τn<∞).
Or on remarque que pour toutn≥,P(τn<∞|τn−<∞) =P(τ<∞). En effet, si la marche erevenue enpour la n-i`eme fois, la probabilit´e qu’elle repassera enepr´ecis´ement la probabilit´e qu’une marche issue derepasse en
(car elle yred´emarre; une juification pr´ecise sera donn´ee dans le cours de MAPen utilisant la propri´et´e de Markov forte). DoncP(τn<∞) =P(τn<∞, τn−<∞) =P(τn−<∞)P(τ<∞). Par r´ecurrence, on en d´eduit que P(τn<∞) =P(τ<∞)n, de sorte que
∞=X
n≥
P(τ<∞)n=
−P(τ<∞).
DoncP(τ<∞) =et doncP(τn<∞) =pour toutn≥. Or, par propri´et´e de limite d´ecroissante, P(la marche passe une infinit´e de fois en) = lim
n→∞
P(la marche repasse au moinsnfois en) =.
Plus appliqu´e
E xercice 8. (Un petit calcul) Combien de fois faut-il, en moyenne, lancer une pi`ece en l’air pour observer une suite d’un nombre impair de piles, suivi d’un face ?
Corrig´e : Supposons quexsoit la r´eponse. On consid`ere les premiers lancers de pi`eces. Si on a F ou PP, le jeu recommence avec la mˆeme probabilit´e, alors que si on a PF, le jeu s’arrˆete. On a alors
x=
(x+) +
(x+) +
. La r´esolution de ce sy`eme donnex=oux=∞.
On peut v´erifier quex <∞. En effet, sian d´esigne le nombre de mani`eres de lancer une pi`ecenfois pour qu’un nombre impair de piles suivi d’un face arrive pour la premi`ere fois `a l’inantn, on aan=an−+an−pourn≥. On d´emontre ensuite ais´ement par r´ecurrence surnquean≤.npourn≥, ce qui implique que
x=X
n≥
n·an
n ≤X
n≥
n·.n
n <∞. Doncx=.
E xercice 9. (Temps d’attente) Anne retourne une `a une les cartes d’un jeu decartes bien m´elang´e, pos´e face cach´e sur une table, jusqu’`a trouver un as. Combien de cartes aura-t-on vu en moyenne ?
Corrig´e : On place toutes les cartes (face visible) en cercle sur la table (de sorte qu’on voit toutes les cartes), et on ajoute un cinqui`eme as fiive entre la premi`ere carte du paquet et la derni`ere carte du paquet. Lescartes sont ainsi partitionn´ees enintervalles qui ont mˆeme loi (chaque intervalle commenc¸ant par la carte suivant un as et finissant par un as), de sorte que le nombre moyen de cartes dans le premier intervalle e/. Le nombre de cartes qu’on aura vu ´etant le nombre de cartes entre le cinqui`eme as (exclus) et le premier as (inclus), on aura donc vu en
moyenne/cartes.
E xercice 10. (Piles cons´ecutifs)Andrea lance une infinit´e de fois une pi`ece ´equilibr´ee. Pourn≥, on noteLnla plus longue s´equence depilescons´ecutifs dans lesnpremiers lancers. Le but de cet exercice ed’´etudier le comportement deLnquandn→ ∞. Par exemple :
n · · · tirage F P P F P P P F P · · · Ln · · ·
Pour mod´eliser ce probl`eme, Andrea consid`ereX, X, . . .des variables al´eatoires ind´ependantes et de mˆeme loi telles que P(X=) =P(X=) =/. Posons :
Ln:= max{k≥; il exiei≤n−ktel queXi+=· · ·=Xi+k=}. () Montrer que pour toutj∈ {, . . . , n}on aP(Ln≥j)≤ n−j+
j ≤ n
j. () Montrer que pour toutj∈ {, . . . , n}on aP(Ln≤j)≤
−
j
bn/jc
.
() Trouver une suite (an) de nombre r´eels positifs tels que pour tout∈],[, on a
P − <Ln an
<+
!
−→
n→∞ .
() Montrer que pour tout∈],[, on aP L
n
an >−, `a partir d’un certain rang
=. Montrer que pour tout∈],[, on aP
L
ann <+, `a partir d’un certain rang
=.
() En d´eduire queP L
n
an →lorsquen→ ∞
=. Autrement dit, presque s ˆurement, Lan
n converge vers.
Corrig´e :
() Pourj≥, on a
P(Ln≥j) = P
n−j
[
i=
{Xi+=· · ·=Xi+j=}
≤
n−j
X
i=
P({Xi+=· · ·=Xi+j=}) =
n−j
X
i=
j =n−j+
j ≤ n
j.
() Pour≤i≤ bn/jc, on pose
Ai:={X(i−)j+=X(i−)j+=· · ·=Xij=}, ≤i≤ bn/jc. Alors∪bn/jc
i= Ai⊂ {Ln≥j}. Puisque les ´ev´enementsAi,≤i≤ bn/jcsont ind´ependants, ceci entraˆıne que P(Ln< j)≤P
bn/jc
\
i=
Aci
=
bn/jc
Y
i=
P(Aci) =P(Ac)bn/jc= −
j bn/jc
,
() Il enaturel de prendrean= ln(n)/ln(). En effet, d’apr`es (), on a alors
P Ln an
≥+
!
≤ n
(+)ln(n)ln()
=
n −→
n→∞
D’apr`es (), on a
P Ln
an ≤−
!
≤
− n−
(ln()−)· n
ln(n)
−→
n→∞
(pour simplifier on a fait comme sij=an(−) etn/j ´etaient entiers, sinon il faut rajouter des±par ci par l`a).
Ainsi, en passant au compl´ementaire, P −≤Ln
an ≤+
!
=−P − > Ln
an ouLn
an >+
! ,
et
P − >Ln an ou Ln
an >+
!
≤P − > Ln an
! +P Ln
an >+
!
−→
n→∞ d’apr`es la discussion pr´ec´edente, ce qui permet de conclure queP
−≤Ln
an ≤+
→.
() On remarque que
− n−
(ln()−)·ln(n)n
∼
n→∞ e−
ln()
−· n
ln(n). DoncP
n≥P Ln
an ≤−
<∞. D’apr`es le (premier) lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutnsuffisamment grand,Ln/an>−.
L’autre sens eplus d´elicat, car la s´erie de terme g´en´eral/n diverge. Pour rem´edier `a cela, posonsn= nm=bm/cde sorte queP
mP(Lnm≥(+)anm)<∞. D’apr`es le (premier) lemme de Borel-Cantelli, p.s., pour toutmsuffisamment grand on aLnm≤(+) ln(nm)/ln(). Or, simesuffisamment grand etn∈[nm−, nm[, on a
Ln≤Lnm<(+)ln(nm)
ln() ≤(+)ln(nm−)
ln() ≤(+)ln(n) ln(), d’o `u le r´esultat.
() Le but de cette queion e essentiellement de pouvoir intervertir lepour tout >et la probabilit´eP. Pour cela, on remarque que
P Ln an
→
!
=P pour toutp≥, `a partir d’un certain rang on a− p< Ln
an
<+ p
! . Or, `ap ≥ fix´e, on aP
`a partir d’un certain rang on a−
p< Lan
n <+p
= (en prenant =/p dans la queion ()). On conclut en utilisant la queion () de l’exercice.
Pour aller plus loin
E xercice 11. (Approximation diophantienne et Borel-Cantelli)On admet l’exience d’une tribuAsur [,] contenant tous les intervalles inclus dans [,] (c’ela tribu bor´elienne) et d’une mesure de probabilit´ePsur ([,],A) telle que P([a, b]) =b−apour tous≤a≤b≤(c’ela mesure de Lebesgue).
() Soit >fix´e. Montrer que P
(
x∈[,] :∃un nombreinfinide rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tq
x−p q
≤ q+
)!
=.
Ainsi,presque toutxemal approchable par des rationnels `a l’ordre+. Indication.Pour toutq≥, on pourra consid´erer
AqB[,]∩
q
[
p=
"
p q−
q+,p q+
q+
# .
() Montrer que P
(
x∈[,] :∃un nombreinfinide rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tq
x−p q
≤ q
)!
=.
Ainsi,presque toutxebien approchable par des rationnels `a l’ordre.
Corrig´e :
() Pour toutq≥, on note
AqB[,]∩
q
[
p=
"
p q −
q+,p q+
q+
# . Ainsi,P
Aq
≤/q+. Par cons´equent,
X
q≥
P Aq
<+∞. D’apr`es le lemme de Borel-Cantelli, P
lim supq→∞Aq
= , or l’ensemble lim supq→∞Aq contient l’en- semble des r´eels bien approchables par des rationnels `a l’ordre+. Voirhttp://en.wikipedia.org/wiki/
Thue-Siegel-Roth_theorem
() Tout d’abord, on d´emontre le r´esultat suivant :
Th´eor`eme de Dirichlet. Soitα un nombre r´eel. Pour tout entierN ≥, il exie deux entierspet q, avec
< q < N tels que|qα−p|<N.
(dans cet ´enonc´e,petqne sont pas n´ecessairement premiers entre eux)
Pour cela, en notant{x}la partie fraionnaire dexetbxcla partie enti`ere dex, consid´erons lesN+nombres
,,{α},{α}, . . . ,{(N−)α}et lesN intervalles [,/N],[/N ,/N], . . . ,[(N−)/N ,]. D’apr`es le principe des tiroirs, il exie deux de cesN+nombres appartenant au mˆeme tiroir.
Si l’un de ces nombres vautet l’autre{mα}avec≤m≤N−, alors
|mα−(bmαc+)|=|{mα} −|< N. On peut donc prendreq=metp=bmαc+.
Sinon, on peut trouver≤` < m≤N−tels que|{mα} − {`α}|</N. Donc
|(m−`)α−(bmαc − b`αc)|=|(mα− bmαc)−(`α− b`αc)|=|{mα} − {`α}|< N, et on peut prendreq=m−`etp=bmαc − b`αc(on a bien< q < N).
En particulier, on a
α−p
q <
qN < q.
Ce r´esultat implique que siα eirrationnel, il un nombre infini de rationnelsp/qavec pgcd(p, q) =tels que
α−p
q
≤
q. En effet, supposons que α e irrationnel. D’apr`es le th´eor`eme de Dirichlet, il exie une infinit´e d’entiersp, qtels que
α−p q
< qN <
q.
Supposons par l’absurde que les fraions pq prennent un nombre fini de valeurs sous forme irr´eduible. Par extraion, il exie alors un couple (p, q) et suite (pn, qn) avecqn→ ∞telle que pqn
n =pq pour toutn≥et
α−p q
< qn.
En passant `a la limite, on trouveα=pq, absurde.
On peut maintenant r´epondre `a la queion pos´ee. En effet, on vient de montrer que tout nombre irrationnel ebien approchable par des rationnels `a l’ordre. Or l’ensemble des nombres irrationnels ede probabilit´e
, car son compl´ementaire e d´enombrable et donc de probabilit´e pour la mesure de Lebesgue, ce qui conclut.
