III D’autres sommes aléatoires

mp* 20-21 : DTL5

09/01/2021

A lire attentivement avant de commencer à travailler :

Pour une fois, pas de choix.

Deux problèmes : une partie d’un énoncé Mines, et un énoncé Centrale presque complet.

L’ensemble est évidemment très long, ce qui permet de trouver à bien travailler pendant le temps imparti.

Il est conseillé de commencer par l’énoncé Mines.

Si vous y pensez et si ça ne vous conduit pas à faire une copie double avec 3 pages blanches, c’est bien de rendre Mines et Centrale sur deux copies séparées.

Problème 1 (Mines)

Dans ce problème, toutes les variables aléatoires considérées sont réelles et dis- crètes, définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P). Soit α > 0, on dit qu’une variable aléatoireX est α-sous-gaussienne si :

∀t∈R, E(exp(tX))≤exp α²t²

2

.

On rappelle la notation : ch(t) = exp (t)+ exp (−t)

2 .

1) Montrer que pour tout t ∈ R, on a ch(t) ≤ exp t²

2

. On pourra au préalable rappeler le développement de la fonction ch en série entière sur R.

2) Soitt∈R. Démontrer que six∈[−1,1], on a l’inégalité de convexité : exp(tx)≤1 +x

2 exp(t) +1−x

2 exp(−t).

3) Soit X une variable aléatoire réelle bornée par 1 (|X| ≤ 1) et centrée (E(X) = 0). Montrer queX est1-sous-gaussienne.

En déduire que siX est bornée parα >0(|X| ≤α) et centrée, alors elle estα-sous-gaussienne.

4) SoitX1, . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes et α-sous-gaussiennes, etµ₁, µ₂, . . . , µ_n des nombres réels tels que

n

X

i=1

(µ_i)²= 1.

Montrer que la variable aléatoire

n

X

i=1

µiXi est aussiα-sous-gaussienne.

5) Soit X une variable aléatoire α-sous-gaussienne etλ > 0. Montrer que pour toutt >0:

P(X ≥λ)≤exp α²t²

2 −tλ

.

En déduire que :

P(|X| ≥λ)≤2 exp

− λ² 2α²

.

Dans la suite du problème, on admet qu’une variable aléatoireX à valeurs dans N est d’espérance finie si et seulement si la sériePP(X ≥k)converge et que dans ce cas :

E(X) =

+∞

X

k=1

P(X ≥k).

6) Si X est une variable aléatoire à valeurs dans R⁺, montrer que X est d’espérance finie si et seulement si la série de terme général P(X ≥k) converge et que dans ce cas :

+∞

X

k=1

P(X≥k)≤E(X)≤1 +

+∞

X

k=1

P(X ≥k)

On pourra pour cela considérer la partie entièrebXc.

Pour touts∈]1,+∞[, on noteζ(s) =

+∞

P

k=1

k^−s.

7) Soit X une variable aléatoire α-sous-gaussienne et β >0. Montrer que pour tout entierk >0:

P

exp

β²X² 2

≥k

≤2k^−η

où on a posé η=α⁻²β⁻².En déduire que siαβ <1, la variable aléatoire exp

β²X ² 2

est d’espérance finie majorée par 1 + 2ζ(η).

Problème 2 (Centrale)

Le problème étudie quelques propriétés de variables aléatoires réelles finies de la forme

n

X

k=1

akXk, où lesaksont des réels et lesXk sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes à valeurs dans{1,−1}.

La première partie établit des résultats sur des intégrales, utilisés dans les parties suivantes.

À partir de la deuxième partie, on suppose donnée une suite(X_n)_n∈N^∗ de va- riables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω,A, P), à valeurs dans{1,−1} et vérifiant

∀k∈N^∗, P(Xk= 1) =P(Xk=−1) = 1 2

I Suites et intégrales

I.A - Étude d’une intégrale à paramètre Pour x∈R⁺ , on pose

f(x) = Z +∞

0

1−cost t² e^−xtdt

I.A.1) Montrer que f est définie et continue sur [0,+∞[ et de classe C² sur ]0,+∞[.

I.A.2) Déterminer les limites def etf⁰ en+∞.

I.A.3)Exprimerf⁰⁰sur]0,+∞[à l’aide de fonctions usuelles et en déduire que

∀x >0, f⁰(x) = ln(x)−1

2ln(x²+ 1) I.A.4) Montrer

( ∀x >0, f(x) =xln(x)−₂¹xln(x²+ 1)−arctan(x) +^π₂ f(0) = ^π₂

I.A.5) Montrer

∀s∈R, |s|= 2 π

Z +∞

0

1−cos(st) t² dt I.B - Étude d’une suite d’intégrales

Dans cette section, on étudie la suite(un)n∈N^∗ définie par

∀n∈N^∗, un= Z +∞

0

1−(cost)ⁿ t² dt

I.B.1)Justifier l’existence de la suite(u_n)_n∈N^∗ et préciser la monotonie de la sous-suite (u2n)_n∈N^∗.

I.B.2)Montrer queu₁=u₂= ^π₂. I.C - Calcul d’un équivalent de un

I.C.1)Montrer que

∀n∈N^∗, un=

√n 2√

2vn avec vn = Z +∞

0

1− cos(p

2u/n)ⁿ u√

u du

I.C.2)Montrer que

∀(n, u)∈N^∗×]0,1], 1−

cos(p

2u/n)n ≤u [On pourra par exemple calculer la dérivée de l’applicationu7−→

cos(p

2u/n)ⁿ sur]0,+∞[, et montrer que cette dérivée est majorée en valeur absolue par 1.]

I.C.3)Montrer que la suite(vn)_n∈N^∗ admet une limite finielvérifiant l=

Z ∞

0

1−e^−u u√

u du I.C.4)On admet la relation

Z ∞

0

e^−u

√udu=√ π.

Conclure queu_n∼ rnπ

2 .

II Autour du pile ou face

Dans cette partie, comme il est indiqué dans le préambule, on considère une suite (Xn)_n∈N^∗ de variables aléatoires mutuellement indépendantes, à valeurs dans{1,−1}et telles que, pour tout k∈N^∗,

P(Xk = 1) =P(Xk=−1) = 1 2 Pour toutn∈N^∗, on poseSn =X1+· · ·+Xn.

L’espérance d’une variable aléatoire réelle finieZ est notéeE(Z)et sa variance V(Z).

II.A - Étude de E(|Sn|)

II.A.1)Déterminer l’espérance et la variance de S_n.

II.A.2)SoitSetTdeux variables aléatoires réelles finies indépendantes définies sur(Ω,A, P). On suppose queT et −T ont même loi.

Montrer queE(cos(S+T)) =E(cos(S))E(cos(T)).

II.A.3)On considère la fonctionϕ_ndeRdansRtelle queϕ_n(t) =E(cos(S_nt)) pour tout réelt.

Montrer queϕ_n(t) = (cost)ⁿ pour tout entiern∈N^∗ et tout réelt.

II.A.4)Montrer, pour tout n∈N^∗,E(|Sn|) = 2 πu_n.

On utilisera l’expression intégrale de la valeur absolue obtenue à la question I.A.5.

II.A.5)Déduire de la question précédente que, pour toutn∈N, u_2n+1=u_2n+2. On pourra commencer par montrer

|S_2n+2|=|S_2n+1|+1_S2n+1>0X_2n+2−1_S2n+1<0X_2n+2

où1Aest le fonction indicatrice de l’évènementA.

II.B - Étude de Sn

n

On se propose de démontrer que la suite Sn

n

n∈N^∗

converge presque sûrement vers 0, c’est-à-dire qu’il existe un événement négligeableZ ∈ Atel que

∀ω∈Ω\ Z, Sn(ω)

n −→

n→∞0 Pour toutn∈N^∗, on pose

Un= Sn

n 4

et Zn=

ω∈Ω, ∃k≥n, Uk(ω)≥ 1

√ k

II.B.1)Montrer queE(S⁴_n) = 3n²−2npour toutn∈N^∗. II.B.2)Montrer que, pour toutn∈N^∗,P

U_n≥ 1

√n

≤ 3 n^3/2. II.B.3)Montrer queZ_n∈ Apour toutn∈N^∗ et que lim

n→+∞P(Z_n) = 0.

II.B.4) En considérant Z = \

n∈N^∗

Zn, montrer que Sn

n

converge presque sûrement vers0.

III D’autres sommes aléatoires

On conserve la suite (Xn)n∈N^∗ de la partie précédente et on considère de plus une suite(an)_n∈N^∗ de réels positifs ou nuls. Pour toutn∈N^∗, on pose Tn=

n

X

k=1

akXk.

III.A - Étude de E(|Tn|)

III.A.1)Montrer que la suite (E(|Tn|))_n∈N^∗ est croissante.

III.A.2)Montrer que si la sérieX

a²_nest convergente, alors la suite(E(|Tn|))n∈N^∗

est convergente.