Modification de la poussée d'un liquide par les forces capillaires

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Submitted on 1 Jan 1884

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Modification de la poussée d’un liquide par les forces capillaires

É. Mathieu

To cite this version:

É. Mathieu. Modification de la poussée d’un liquide par les forces capillaires. J. Phys. Theor. Appl.,

1884, 3 (1), pp.86-92. �10.1051/jphystap:01884003008601�. �jpa-00238310�

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soit pas

négligeable;

^{il ne faut}

plus

^alors supposer dans les deux

équations (i)

que ^{la constante} k ait la même valeur.

Changeons

k ^en k’ dans

l’expression de z’;

^nous aurons, ^au lieu de

l’équa-

tion

(e),

équation qui

déterminera k - k’.

L’équation (2)

^sera

remplacée

par

et l’on voit que

g p (k - k’) indiquera

la résistance

opposée

par ^la viscosité pour contribuer ^à

l’équilibre.

MODIFICATION DE LA POUSSÉE D’UN LIQUIDE PAR LES FORCES CAPILLAIRES;

PAR M. É. MATHIEU.

1. Soient

PQ (fig. 1)

^le

plan

^{de niveau et}

u3

^{le cercle}

auquel

le

liquide, ient

^{affleurer sur le} corps ^de révolution

AEBD,

^dont

l’axe AB est vertical.

Désignons

par ^u

l’angle

^du

plan

tangent ^au corps le

long

^du

cercle

ab

^{avec le}

plan

^{de niveau et}

par i l’angle

de raccordement F

pi.

^{Il existe en}

chaque point b

^du

cercle ab

^{une force de tension}

dirigée

^{suivant la}

tangente bI

^au

méridien bH

^du

liquide,

^{et sa}

composante ^{verticale sera}

et, ^{si nous}

désignons par

r le rayon ^{du cercle}

ab,

^la

portion

^{du li-}

quide

voisine de ce cercle

produit

^{une force}

verticale, agissant

^de

haut en bas et

égale

^à

Évaluons

ensuite la

pression hydrostatique provenant

^{du reste}

du

liquide qui

^entoure le corps solide.

La

pression

^{normale sur un} élément de surface

do, appartenant

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:01884003008601

87

à la

partie

EBD située au-dessous du niveau et

représentée

^{sur la}

figure

par

ef,

^sera

II étant la

pression

^de

l’atmosphère

^et y la distance de l’élément

au

plan

^de

niveau,

^{et la} composante verticale de bas en haut

sera

n

désignant

la direction de la normale menée

intérieurement,

^et

Fig. 1.

celle de la yerticale menée de bas en haut. En faisant la somme

de toutes ces

quantités

^sur

^EBD,

^{on aura}

Si certaines des ordonnées _y rencontraient la surface EBD en

deux

points,

^{il est} aisé de voir _que ce résultat serait encore exact.

Considérons ensuite la

partie

^ED

ba ;

^la

pression

^au

point p’

^de

la surface du

liquide

^{est II -} gpx, ^{x étant la} distance du

pointa

au

plan PQ;

^menons le canal horizontal

pp’;

^la

pression

^{en p sur}

l’élément d7 de surface sera

et sa composante ^{verticale de haut en bas sera}

N étant la normale extérieure menée à dT. Donc la résultante ver-

ticale

comptée

^{de bas en haut sur} la surface

aED b

^sera

88

Enfin la résultante de la

pression atmosphérique

^{sur la surface}

uAp

^{est II cercle}

ab.

On obtient

donc,

^en

ajoutant

^{toutes ces}

^forces,

pour la

poussée

verticale du

liquide,

g p vol. EBD - g p vol. annul. x E ab Db 2013

2 r r g- p a2 sin(u 2013 i).

Dans le cas on le corps ^est

homogène

^{à son intérieur et}

^libre,

pour que le corps soit ^en

équilibre,

^il suffit que ^cette force soit

égale

^{à son}

poids.

On n’a pas ^tenu compte de la densité de l’air. Si l’on veut y avoir

égard, désignons

par Pi ^cette

densité;

^{il faudra}

ajouter

^{à l’ex-}

pression précédente

^{de la}

poussée

^la

quantité

^{gp, vol.}

E a A b D;

mais dans

(b)

^{il faudra aussi}

remplacer

p par o - o,, ^ce

qui

^don-

nera le terme

- g pl

vol. annul. E a x b D b.

On aura

donc,

pour ^la

poussée totale,

gp

vol. EBD+g(p-p1) vol. annul . E a x b D b

+

g p1 vol. E x A b D 2013 2 r r g p a2 sin(u 2013i).

Pour calculer la hauteur du cercle

ab

au-dessus du

plan

^{de ni-}

veau, si la courbure de la surface du corps immédiatement. ^au- dessus du cercle ED n’est _pas très

petite,

^on cherchera l’élévation verticale du

liquide

^{sur le}

plan

tangent, ^{et l’on aura}

ainsi,

pour

cette hauteur

(Chap. ^11,

^n°

5),

Si les

perpendiculaires

abaissées de la surface

E a b D

^{sur le}

plan

Fig. 2.

de niveau ^sont extérieures au corps ^comme dans la

fig.

^2,

cos(N,Z)

^sera

négatif

^{dans la formule}

(a),

^{eL il}

^faudra,

^{au con-}

89

traire,

retrancher de la

poussée l’anneau a aED b b qui

^{est extérieur}

au corps. On aura

donc,

pour ^Cette

poussée,

2. Calculons ensuite le volune du

liquide

^{soulevé autour du}

corps au-dessus du

plan

de niveau. La coordonnée verticale z étant

comptée

^à

partir

^{de ce}

plan, l’écluation

différentielle de la surface libre du

liquide

peut

s’écrire,

si l’on tient compte ^{de la densité} put de

l’ai r,

x étant la distance à l’axe de

révolution

et, ^en

intégrant,

^{on a}

r étant le rayon ^du

cercle ab

^et R le rayon ^d’un cercle à

partir duquel

^le

liquide

peut ^{être considéré comme sur le} niveau. Pour

x==r ou z ==h,on a

par

suite,

^en

multipliant l’équation (b)

par 2r, ^{on a}

Or 2rx dx

représente

^la

projection

^{sur le}

plan

horizontal d’une

zone de la surface du

liquide; donc,

^{si l’on}

désigne par V

^{le vo-}

lume du

liquide

soulevé au-dessus du

niveau,

^{on a}

En

remplaçant

^dans

(c),

^{on a,} pour ^le volume

soulevé,

90

Dans le cas de la

fig.

^{2, le}

signe

^du volume annulaire doit étre

changé.

Poussée verticale ^{sur un} _corps solicle

quelconque immer,-@é

en

partie

^{dans zcn}

liquide.

3. Prenant

maintenant,

^{au lieu d’un} corps ^de

révolution,

^un

corps

quelconque,

^nous conserverons néanmoins les

figures

^du

n°

4;

^ainsi

PQ

^{sera encore le}

plan

^de

niveau,

^{mais la courbe}

ab

n’est

plus

^un

^cercle,

^{et ses}

points

^{sont à} diflérentes hauteurs.

Désignons

par ds ^un élément de la courbe

ab;

^{ses éléments en}

général

pourront ^être considérés comme sensiblement horizon-

taux. En

désignant

^encore par ^u

l’angle

^du

plan

tangent ^au corps

en un

point

^{de cette courbe avec un}

plan horizontal,

^{on aura,} pour la hauteur de

chaque point

^{de la courbe}

ab,

où u est maintenant une

quantité

^{variable. La tension de la sur-}

face du

liquide qui

s’exerce normalement sur toute la courbe

ab

aura une

composante

^verticale

qtli,

^{estimée de bas en}

haut,

^est

égale

^à

2013 g pa2 f sm(’j ²⁰¹³ i) ^ds.

En raisonnant comme

ci-dessus,

^on trouvera, pour le ^restant de la

poussée

^{verticale estimée de bas en}

haut,

gp vol.EBD2013 g p1 vol. E x A b D+ g (p2013p1)vol.annul.E x a b D b,

si le volume annulaire est intérieur au corps solide.

D’une manière

générale,

^{si le volume annulaire est en}

partie intérieur,

^en

partie

^{extérieur au} corps, ^on pourra ^encore

adopter

la formule

précédente,

^{en convenant de} considérer comme

posi-

tive la

partie

^{de ce} volume intérieure au corps ^{et comme}

négative

celle

qui

^{se trouve en dehors.}

Ainsi,

^en

désignant

par P la

poussée

^verticale

provenant

^{du li-}

quide,

^{on aura}

P =-- gp vol . EBD

+ g p1 vol.E a A b D

+ g(p - p1)vol.annul. E x a b b D- g p a2 f sin(u

^-- z) ds,

-

en

comprenant

^{le troisième terme comme nous venons de l’ex-}

pliquer.

4.

Voyons

^{comment nous} devons modifier le dernier terme de

cette

formule, quand chaque

élément ds de la

ligne ab n’est pas regardé

^comme sensiblement horizontal. Concevons alors un cy- lindre vertical mené par ^cette

ligne;

^soit p

l’angle

^{de ds avec un}

plan

horizontal. Menons

c 3)

^{en un}

point

^{M de ds la normale}

Fig. ^3.

N au

cylindre et

^{la normale n à} la surface _{du corps,} les deux nor-

males étant

dirigées

^vers

l’intérieur,

^{et soit r,}

l’angle

^{de ces deux}

normales.

Représentons

^la

ligne s

par

MC;

^{soient MT la} tangente ^en

M,

ZMH une

verticale, f’

^{la tension} de la surface du

liquide;

^{elle est}

située dans le

plan

^{tangent à cette surface eu}

perpendiculaire

^à

MT.

Projetons f en f,

^{sur le}

plan

^vertical

ZMT; f1

^sera,

comme perpendiculaire

^à

3IT,

^{et la}

projection

verticale de

f

^sera

- f cos ( f, fi) cos f1 MH.

La

ligne

^{MT fait avec MZ}

l’angle r 2 -03BC;

^donc

fj MH

⁼⁼ p.. Les

plans TM f

^et

TM f,

^{sont les}

plans

tangents ^à la surface du

liquide

et à la surface du

cylindre ^vertical,

^{et leur}

angle f M f1

^{est celui}

des deux normales NMn ou r,. Donc la

projection

^verticale

de f

est

-./ cos TI ^cos 03BC.

Donc le dernier terme de

l’expression

^{de P doit être}

remplacé

^par

2013

g p a2 f cos r, ^cos 03BC ds.

3. Calculons ensuite le volume V du

liquide

^{soulevé autour du}

corps au-dessus du niveau.

92

Comme la

poussée

^ne

dépend

pas de la ^nature intérieure du corps, ^on peut

toujours

concevoir le

poids p

du corps ^et la

posi tion

de son centre de

gravité,

^{de manière}

qu’il

y ait

équilibre

^{entre le}

poids

p ^et la

poussée. Imaginons

^{alors un canal}

composé

^{de deux}

branches verticales

égales;

^la

première

^{branche est}

supposée

^com-

prendre

^le corps ^{et toute} la

partie

^du

liquide qui

s’élève au-dessus du niveau par suite de l’attraction du corps

solide;

^{dans la seconde}

branche,

^le

liquide

^se termine par le

plan

^{de niveau.}

Désignons

par v ^{et v’} les

parties

^{du volume du} corps situées ^au- dessous et au-dessus du

niveau,

par ^w le

poids

^du

liquide

^situé

dans la seconde branche et par A le volume annulaire

compris

entre le

plan

^de

^niveau,

^le

cylindre

^{vertical mené} par la

ligne

^d’af-

fleurement et la surface du corps. ^Le

poids m

^du

liquide

^renfermé

dans la seconde branche du canal doit être

égal

^au

poids

^{du li-}

quide

^{et du corps contenus dans la}

première ^{branche ;}

^{on a donc}

par suite

Cette

quantité

^est

égale

^{à la}

poussée ^P,

^dont

l’expression

est,

d’après

^{ce que} nous venons de

voir,

et, ^en

exprimant

^cette

ébalité,

^{on obtient}

l’équation qui

^détermine le volume V.

NOTE

COMPLÉMENTAIRE;

PAR M. EM. PAQUET.

Dans le n° 17

(mai 1883)

^du Journal de

Physique, j’ai

^fait

connaître un nouvel instrun1ent _{pour la}

vérification

des lois de

?a chute des _corps, par ^une Note que

je

^{terminais ainsi :}

« Le

principe

^sur

lequel

^{est fondé cet}

appareil

^{est à} peu

près

le même que celui d’une machine ^de construction

différente,

^dé-