3. € I 6 . PARTIEA f(x)--h(l++)'

TS 5-6-7'8

BAC BLÂNC MATIIS ^{du 01-04-11}

DUREE 4 heures

TOUTES CALCULETTES

Exercice 1 (6p):

Soit f ^{la fonction} définie sur I'intervalle [0 ; +oo[ par

f(x)--h(l++)'

PARTIEA

1. Étudier ^{Ie sens de} variation de la fonction f ^sur I'intervalle [0 ; +oo['

2. Soit g lafonction définie ^sur I'intewatle t0 ; +oolpar g(x) ₌ f ^(x) - ^x'

(a) Étudier le ^{sens de} variation de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +oo[ '

(b) Montrer que sur I'intervalle [2 ; 3] l'équation g(x) ₌ ⁰ admet une unique solution que I'on notera 4'

. (c) Justifier que ^Ie nombre téel a ^est l',unique solution ^de l'équation f ^{(x) = x'}

PARTIEB

on considère la suite (u,,) définie _PaI uo= ^{1 et} pour tout entier naturel npar: |ln+| = f tu").

La courbe 6 reprêsentative de la fonction; eila droite  d'équatioi ! ^{= x} sont tracées sur le graphique donné en annexe (àrendre ^avec la coPie).

l. ^{À partir de} w, ^en utilisant la courbe I etladroite ^{A, on a placé u1} srlr I'axe des abscisses' De la même manière, placer ^les termes ^u2 eî u3sur I'axe des abscisses en laissant apparents ^les traits de construction' 2. Placer le point f de Ia courbe € ^{quia pour abscisse a'}

3. ^(a) Montrerç[ue, pourtoutnombre entiernaturel n' orral < un< a'

(b) Montrer que la suite (un) est croissante (c) pe*orrtrer que la suite (u,,) converge.

{d) oc,"r*iner sa limite.

Exercice 2(5p) :

Un laboratoire de ^recherche étudie l'évolution d'une population animde qui semble en voie de disParition'

En 2000, une étude est effecuée sur un échantillon de cette population dont I'effectif inidal est égal à mille.

ôet échantillon évolue eison effectif, exprimé ^en milliers d'individ's, ^est

"pp;; parune fonction / ^{du tempsi} (exprimé en années à partir ^de l'origine 2000).

D;;r; ^{l. *odèl.} d'évolution choisi, la fonction / ^{91t derryble' stricte-}

*.rirporiti',r. ^sur [0 ; 1-[ , et satisfait l'équation différendelle

(E) l=-hrQ-tnù.

'!. _Démontrer l'équivdence suivante

une fonction /, dérivable, strictement posidve sur [0; *-[, ^vérifie,

pour rour ^{r de} [0 ; * -[ ^, f'6 ='* ^{f (t)tl - l" (,f(4)]} si, et seule-

ment si, la fonction S=ln(f) vérifie' Pour tout r de [0;*-['

l?

8'G)= ₂₉ s$)- =

2. Donner la solution générale de l'équation différentielle

(H) ,'=ùz-.,. 14

3. En déduire qdil ^{oriste un réel C} tel que, Pour tout r de [0 ; ⁺

[

f ^(t) =*n (, ⁺ c ^orP (*)

(la notation ^orp désigne la foncdon exponentielle naturelle x ^r-+ et).

4. [,a condition initiale conduit donc à considérer la fonction / ^détnie

Par:

' ('))

f(t)=*P _{.3-3 ^oP _\zo)).

a. Déterminer la limite de la fonction / ^{en +} -

b. Déterminer le sens de variation de / ^{sur [0 ; +} -T

c. Résoudre dans [0 ^; +æ[ I'inéquation f ^{(t) <0,02.}

Au bout de combien d'années, selon ce modèle, la taille de l'échantillon

sera-t-dle inférieure à vingt individus

Exercice 3(4P) ^:

Exércice 4(5p) ^{: POUR LES} NON-SPECIALISTES UMQUEMENT

Soient a et

deux nombres réels suictement ^{positifs tels que a} < b

On désigne par A et par B les points d'absclsses respectives a et b ^de.La

courbe f t.fte.."çti* ^{de la fonction} logarithme népérien dans un repère orthonormal (CI ;

j).

Les points e ^{èt R so.rt le.} projetés orthogpnaux respectifs des points A ^et

B sur l'axp ^des ordonhées.

1. a, Donner l,équation réd.uite ^de la tangente (gr) au pointA

la courbe I.

b. Dérerminer l'ordonnée du point d'intersection P de (fl) avec I'axe ^des ordonnées.

ô;;J., h ^longueur pe. E" déduire une construction simple de (9i) ; la

rgdit.tt"t t" n"g"* de-i'snnel,r,-

2. Restitution organisée de connaissances' On suppose connue la _ProPriété

;"*ffi;.;;;Ë G, Â ^{dL nombres reets} strictement posirifs, on a:' In ^(xY\ = ln (r) + ln (Y)'

En déduire que' Poul tout ^{nombre réel zz} strictement positif;' on ^a

Lqdù=ln@)

3, utiliser le résulatSle ^la question 2. pout placer sur I'axe des ^abscisses le point G d abscisse Jàà '

tg,,pil'*.l

h .."rir".ri"" ^et la réaliser sur la figure précédente (on laissera les^uaits de construction apparents)'

Le plan complexe €$ raPPorté au repère (O ;i"7) _' ^{On prendra pour}

unité graphiqueZ ^csrl

) l. Résoud"re dans C féquation (z-zi)(* _-22+2\=9 '

Donner ^les solutions ,o,-,i for*. atgébrique et sous forme exponentielle (justifier les réPonses).

) 2. Soient et B les points d affixes respectives zA= 1 + ie,t tB-- ?i'

À tout complexe

différent de a6 on associe le complexe z' ₌ L?' _'

a) soit (@ llensemble ^des points M d affixeatels qre a'soit imaginaire pur.

ùo"*i ^{qu. B e (E)'} Détermicer et construke fensemble (E)'

;Ëi, (ôïoràÉt ^{ao points M daffixe'u tels que lz'l= 1'}

Déterminer et construire ^(,F)

)3. SoitRlarotation ^{de centre}

"(UU

r) ett^nfl'l'

\Z LJ

a) Calculer faffixe du point B' , image de B par R et I'affixe du point I"

image par R du point ,Gt?r)

b) Quelles sontles i*"go d. (4 et ('F) par R?

Exercice 4bis (5p) : POUR LES SPECIALISTES TINIQUEMENT

Le plan complare est rapporté à un repère orthonormal direct (O _i i,î)

Lunité graphique est 2 cm.

Le but àe èet orercice est d'étudier la similitude plane indirecte f ^d'êcti-

ture comploce

z'=irt7+z:,f,z-2,

er d'en donner deux décompositions.

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle que l'écriture cornplexe d'une similitude plane directe auue qu uni iranslation est de-la forme.z' =

+ b , où a et â sont des nombres àmpler,es, avec a*t.(et ^aço)

Déterminer en fonction

a et de b l'affrxe du cenue d'une telle similitude plane directe.

Partie B - ^Première décomposition de f

soitgrasimiritude grane

yîfr:î,r ï:r*.'

1. Préciser les élémenæ caractéristiques de g (centre, raPPort' *glt).

2. Déterniner une réflerion

telle que / ^{=io ,.}

Partie ^C - ^Deuxième décomposition de f

1. Montrer que ,f ^{admet un unique point} invariant noté f,} . Déterminer I'affixe ol de f)

2. Soit 9 ^la droite d'équation ! ⁼

^{+ 2}

Montrer que pour tout point N appartenant à I , le point /(N) ^appar-

tientaussià9.

3. Soit o la réflexion d'axe I et h la transformation définie ^par

p=foa.

a. Donner l'écriture complece de o.

(Indication: on pourra poset z' ₌ aV + â et udliser deu points invariants par û pour déterrniner les nombres comploces a et b.)

b. En déduire que l'écrirure complo<e de É est

z'= Jlz+2rt-2.

c. Donner la nature de la transformation

et préciser

élérnents caracté- nsuques.

4. Déduire de ce qui précède une écriture de la similitude indirecte comhe êom@e d'use rdtesisa el.d unc horaoùéçic.

*

*.--*ë:

NOM

Annexe exercice ¹

Annexe exercice 3

1'.s uL