L3-Math Analyse Numérique

L3-Math Analyse Numérique

Institut Galilée Année 2013-2014

Examen du 9 janvier 2014

durée : 3h.

Sans document ni appareil électronique, une feuille (recto seul) manuscrite de notes personnelles est autorisée. Tous les calculs doivent être justiés et rédigés avec soin.

Vous devez choisir et rendre les exercices parmi l'une des trois possibilités suivantes:

choix A : Exercices 1, 2 et 3 choix B : Exercices 1, 3 et 4 choix C : Exercices 2 et 4

Exercice 1 (4 pts)

Soit A α la matrice dénie par

A α

2 α 0

α 2 α

0 α 2

Q. 1 Pour quelles valeurs de α la méthode itérative de Jacobi converge-t-elle ? Q. 2 Pour quelles valeurs de α la méthode itérative de Gauss-Seidel converge-t-elle ?

Correction On pose

D

2 0 0 0 2 0 0 0 2

, E

0 0 0

α 0 0

0 α 0 , F

0 α 0

0 0 α

0 0 0

et on a alors A D E F .

Q. 1 La matrice de Jacobi J est donnée par

J D ^-1 pE Fq

1

2 0 0

0 ¹ ₂ 0 0 0 ¹ ₂

0 α 0

α 0 α

0 α 0

0 ¹ ₂ α 0

¹ ₂ α 0 ¹ ₂ α 0 ¹ ₂ α 0

La méthode itérative de Jacobi converge si et seulement si ρ pJq   1. On va donc calculer les valeurs propres de J qui sont les racines de son polynôme caractéristique P _J . On a

P _J p t q det pJ t Iq det

t ¹ ₂ α 0

¹ ₂ α t ¹ ₂ α 0 ¹ ₂ α t

det

t ¹ ₂ α 0

1

2 α t ¹ ₂ α 0 ¹ ₂ α t

Après calcul, on obtient

P _J p t q t ³ 1 2 α ² t.

Les racines de _? P _J sont 0 et ^? ₂ ² | α | . Pour obtenir la convergence de la méthode de Jacobi, il faut et il sut que

2

2 | α |   1 c'est à dire α Ps ? 2, ?

2 r .

Q. 2 La matrice de Gauss-Seidel L 1 est donnée par

L 1 pD Eq ¹ F

2 0 0

α 2 0 0 α 2

1

0 α 0

0 0 α

0 0 0

.

Comme

2 0 0

α 2 0 0 α 2

1

1

2 0 0

¹ ₄ α ¹ ₂ 0

1

8 α ^{2 1} ₄ α ¹ ₂

on obtient

L 1

0 ¹ ₂ α 0

0 ¹ ₄ α ^{2 1} ₂ α 0 ¹ ₈ α ^{3 1} ₄ α ²

1 8

0 4 α 0

0 2 α ² 4 α 0 α ³ 2 α ²

.

La méthode itérative de Gauss-Seidel converge si et seulement si ρ p L 1 q   1. On va donc calculer les valeurs propres de L 1 qui sont les racines de son polynôme caractéristique P L

1

. On a

P _L

₁

p t q det p L 1 t Iq det

t ¹ ₂ α 0

0 ¹ ₄ α ² t ¹ ₂ α 0 ¹ ₈ α ^{3 1} ₄ α ² t

det

t ¹ ₂ α 0

0 ¹ ₄ α ² t ¹ ₂ α 0 ¹ ₈ α ^{3 1} ₄ α ² t

Après calcul, on obtient

P L

₁

p t q t ³ 1 2 α ² t.

Les racines de P L

₁

sont donc 0 et ^α ₂

²

. Pour obtenir la convergence de la méthode de Gauss-Seidel, il faut et il sut que ^α ₂

²

  1 c'est à dire α Ps ?

2, ?

2 r .

♦

Exercice 2 (10 pts)

Soient n ¥ 3 un entier et a x 0   x 1 . . .   x n 1   x n b une discrétisation régulière de l'intervalle r a, b s . On note h x k 1 x k . Une fonction s dénie sur r a; b s à valeurs réelles s'appelle spline cubique si elle est deux fois continûment diérentiable et si, sur chaque intervalle r x k 1 ; x k s , elle est polynomiale de degré inférieur ou égal à 3.

Soit f P C ² pr a; b s , Rq et s une spline cubique vériant

s p x i q f p x i q f i , @ i P v 0, n w . (2.1) Q. 1 Montrer que si

s ² p b qp f ¹ p b q s ¹ p b qq s ² p a qp f ¹ p a q s ¹ p a qq (2.2)

alors » b

a

p s ² p x qq ² dx ¤

» b a

p f ² p x qq ² dx. (2.3)

Indications : Poser r f s et montrer par intégrations par parties que ³ b

a s ² p x q r ² p x q dx 0.

Soient k P v 1, n w et S k un polynôme de degré inférieur ou égal à 3 vériant

$ ' ' '

&

' ' ' %

S k p x k 1 q f k 1 (2.4a)

S k p x k q f k (2.4b)

S ² k p x _{k 1} q m _{k 1} (2.4c)

S ² _k p x k q m k . (2.4d)

Q. 2 1. Montrer l'existence et l'unicité du polynôme S k . 2. Montrer que polynôme S k peut s'écrire sous la forme

S k p x q a k p x k x q ³ b k p x x k 1 q ³ α k p x k x q β k p x x k 1 q (2.5) en explicitant les coecients p a k , b k , α k , β k q en fonction de p f k 1 , f k , m k 1 , m k q et h.

On note g la fonction dont la restriction à chaque intervalle r x _{k 1} ; x _k s , k P v 1, n w , est S k . Q. 3 1. Vérier que g est bien dénie sur r a; b s .

2. Montrer que g est une spline cubique si et seulement si, @ k P v 1, n 1 w , m k 1 4m k m k 1 6

h ² p f k 1 2f k f k 1 q . (2.6)

Q. 4 1. Montrer qu'une condition nécessaire et susante pour que g soit une spline cubique et vérie g ² p a q 0, g ² p b q 0, est que le vecteur M M M P R ^{n 1} p m ₀ , m ₁ , . . . , m _n q ^t soit solution d'un système linéaire de la forme

A M M M bbb (2.7)

que l'on précisera.

2. Montrer que la matrice A est inversible.

Correction

Théorème d'intégration par parties

Soient u P C ¹ pr a; b s , Rq et v P C ¹ pr a; b s , Rq alors

» b a

u ¹ p x q v p x q dx r u p x q v p x qs ^b a

» b a

u p x q v ¹ p x q dx.

Q. 1 On pose r f s. On a alors r P C ² pr a; b s , Rq et,

@ i P v 0, n w , r p x _i q 0. (2.8)

De plus

» b a

p f ² p x qq ² dx

» b a

p s ² p x q r ² p x qq ² dx

» b a

p s ² p x qq ² dx 2

» b a

s ² p x q r ² p x q dx

» b a

p r ² p x qq ² dx (2.9) Montrons que ³ b

a s ² p x q r ² p x q dx 0.

On ne peut eectuer une intégration par partie pour ³ b

a s ² p x q r ² p x q dx car r ² et s ² ne sont pas dérivables. Par

contre, on a » b

a

s ² p x q r ² p x q dx

¸ n i 1

» x

_i

x

_i1

s ² p x q r ² p x q dx

et, sur chaque intervalle r x _{i 1} , x _i s , s ² est un polynôme de degré au plus 1. On a donc s ² P C ¹ pr x _{i 1} , x _i s , Rq et r ¹ P C ¹ pr x i 1 , x i s , Rq et il est alors possible de faire une intégration par partie avec u r ¹ et v s ² sur r x i 1 , x i s:

» x

_i

x

_i1

s ² p x q r ² p x q dx r s ² p x q r ¹ p x qs ^x x

ⁱ_i1

» x

_i

x

_i1

s ³ p x q r ¹ p x q dx. (2.10) Or, sur r x i 1 , x i s , s P R ³ r X s et donc s ³ est constante, ce qui donne, en utilisant (2.8),

» x

i

x

_i1

s ³ p x q r ¹ p x q dx s ³ p x i q

» x

i

x

_i1

r ¹ p x q dx s ³ p x i qp r p x i q r p x i 1 qq 0.

De (2.10), On a alors, @ i P v 1, n w ,

» x

_i

x

_i1

s ³ p x q r ¹ p x q dx s ² p x i q r ¹ p x i q s ² p x i 1 q r ¹ p x i 1 q . En sommant, on abouti a

» b a

s ² p x q r ² p x q dx s ² p x _n q r ¹ p x _n q s ² p x ₀ q r ¹ p x ₀ q s ² p b q r ¹ p b q s ² p a q r ¹ p a q . Sous l'hypothèse (2.2) on a bien ³ b

a s ² p x q r ² p x q dx 0. L'équation (2.9) devient alors

» b a

p f ² p x qq ² dx

» b a

p s ² p x qq ² dx

» b a

p r ² p x qq ² dx.

D'où » b

a

p f ² p x qq ² dx ¥

» b a

p s ² p x qq ² dx.

Q. 2 1. Soit Φ _k : R ³ r X s ÝÑ R ⁴ dénie par

Φ k p P q p P p x k 1 q , P p x k q , P ² p x k 1 q , P ² p x k qq ^t .

L'existence et l'unicité du polynôme S k est équivalent à la bijectivité de Φ k . Cette dernière étant une application entre deux espaces vectoriels de même dimension nie 4, elle est bijective si et seulement si elle est injective. Pour établir l'injectivité de Φ _k il faut montrer que son noyau est réduit au polynôme nul. Soit P P Ker Φ _k alors Φ _k p P q 0 _R

4

. On en déduit que x _{k 1} et x _k sont racines de P, et P s'écrit alors sous la forme

P p x q p x x _{k 1} qp x x _k q Q p x q avec Q p x q αx β polynôme de degré 1.

On a

P ¹ p x q p x x k 1 q Q p x q p x x k q Q p x q α p x x k 1 qp x x k q et

P ² p x q 2 p Q p x q α p x x k 1 q α p x x k q . Comme P ² p x k 1 q P ² p x k q 0, on obtient

"

Q p x k 1 q α p x k 1 x k q 0, Q p x k q α p x k x k 1 q 0, ðñ

"

α p x k 1 h q β 0, α p x k h q β 0,

En soustrayant la première équation à la deuxième, on obtient 3αh 0. Comme h 0, on obtient α β 0. D'où Q 0 et donc P 0.

2. On a S _k ² p x q 6a k p x k x q 6b k p x x k 1 q . Pour déterminer a k et b k , on utilise les équations (2.4c) et (2.4d) qui deviennent respectivement 6ha k m k 1 et 6hb k m k . On obtient

a _k m _{k 1}

6h et b _k m _k 6h .

Pour déterminer α k et β k on utilise les équations (2.4a) et (2.4b) qui deviennent respectivement a k h ³ α k h f k 1 et b k h ³ β k h f k .

En remplaçant a _k et b _k par leurs valeurs, on obtient α k f k 1

h h

6 m k 1 et β k f k

h h 6 m k .

Q. 3 1. On a par dénition @ k P v 1, n w , g p x q S k p x q , @ x P r x k 1 , x k s . Le problème de dénition de g provient du fait que g est dénie deux fois en x k , k P v 1, n 1 w . En eet, on a

g p x _k q S _k p x _k q et g p x _k q S _{k 1} p x _k q .

Or par construction des S k , on a S k p x k q S k 1 p x k q f k et donc la fonction g est bien dénie sur r a, b s . 2. Par construction, sur chaque intervalle r x k 1 ; x k s , la fonction g est polynomiale de degré inférieur ou égal à 3. Pour quelle soit un spline cubique, il reste à démontrer qu'elle est deux fois continûment diérentiable sur r a, b s . Il sut pour celà de vérier qu'en chaque point x k , k P v 1, n 1 w , la fonction g est continue et admet des dérivées premières et secondes.

La continuité est immédiate puisque g p x k q f k . Pour les dérivées premières et secondes, il faut que leurs limites à gauche et à droite soient égales, c'est à dire

@ k P v 1, n 1 w , S _k ¹ p x _k q S _k ¹ ₁ p x _k q et S _k ² p x _k q S _k ² ₁ p x _k q .

Par construction des S k , la seconde équation est immédiate : S _k ² p x k q S _k ² ₁ p x k q m k . On a S _k ¹ p x q 3a k p x k x q ² 3b k p x x k 1 q ² α k β k et donc

S _k ¹ p x _k q 3b _k h ² α _k β _k h 2 m _k 1

h p f _k f _{k 1} q h

6 p m _k m _{k 1} q De même, on obtient

S ¹ p x q 3a h ² α β h

m 1

p f f q h

p m m q

Donc g sera dérivable en x _k si S _k ¹ p x _k q S _k ¹ ₁ p x _k q , c'est à dire si h

2 m _k 1

h p f _k f _{k 1} q h

6 p m _k m _{k 1} q h 2 m _k 1

h p f _{k 1} f _k q h

6 p m _{k 1} m _k q ce qui s'écrit encore, @ k P v 1, n 1 w ,

m k 1 4m k m k 1 6

h ² p f k 1 2f k f k 1 q

Q. 4 1. La condition g ² p a q 0 se traduit par S ₁ ² p x 0 q 0 or par (2.4c) avec k 1 on a S ₁ ² p x 0 q m 0 d'où m 0 0.

La condition g ² p b q 0 se traduit par S _n ² p x _n q 0 or par (2.4d) avec k n on a S _n ² p x _n q m _n d'où m _n 0.

Pour déterminer les m _k , k P v 0, n w , on a n 1 équations linéaires qui s'écrivent sous la forme matricielle A M M M bbb avec

A

1 0 0 . . . 0 1 4 1 ... ...

0 ... ... ... 0 ... ... 1 4 1 0 . . . 0 0 1

et bbb 6 h ²

0 f ₀ 2f ₁ f ₂

...

f n 2 2f n 1 f n

0

2. La matrice A est à diagonale strictement dominante : elle est donc inversible.

♦

Exercice 3 (6 pts)

Soient f P C ⁵ pR , Rq , x P R et H un réel strictement positif et h Ps 0, H s . On note D _h l'opérateur déni par D h f p x q f p x h { 2 q f p x h { 2 q . (3.1)

Q. 1 Montrer que l'opérateur D h est linéaire.

Q. 2 Montrer qu'il existe ξ P r x, x h { 2 s , ξ P r x h { 2, x s tels que D h f p x q

h f ¹ p x q f ^{p 3 q} p x q

24 h ² f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ q

5!2 ⁵ h ⁴ . (3.2)

Q. 3 1. En déduire l'expression de f ¹ p x q en fonction de D _{h { 2} f p x q et D h f p x q avec un reste qui s'écrit sous

la forme C h h ⁴ où C h dépend de la dérivée cinquième de f.

2. Montrer que l'on a

f ¹ p x q 8f p x h { 4 q 8f p x h { 4 q f p x h { 2 q f p x h { 2 q 3h

¤ Ch ⁴ (3.3)

où C dépend uniquement de la dérivée cinquième de f, de x et de H.

Correction

Théorème de Taylor-Lagrange

Soit f P C ⁿ pr a, b s , Rq . @ t Ps a, b s , D ξ Ps a, t r tel que

f p t q f p a q

n ¸ 1 i 1

p t a q ^k

k! f ^{p k q} p a q p t a q ⁿ

n! f ^{p n q} p ξ q (3.4)

On note E l'espace vectoriel des fonctions dénies sur R à valeurs réelles.

Q. 1 On a alors "

D _h : E ÝÑ E f ÞÝÑ D _h f avec @ x P R D h f p x q f p x h { 2 q f p x h { 2 q .

Soient p λ, µ q P R ² et p f, g q P E ² . On a @ x P R

D _h p λf µg qp x q p λf µg qp x h { 2 q p λf µg qp x h { 2 q

λf p x h { 2 q µg p x h { 2 q λf p x h { 2 q µg p x h { 2 q car E est un E.V.

λ p f p x h { 2 q f p x h { 2 qq µ p g p x h { 2 q g p x h { 2 qq λ D h f p x q µ D h g p x q .

Donc D h p λf µg q λ D h f µ D h g : l'opérateur D h est bien linéaire.

Q. 2 On applique le théorème de Taylor-Lagrange : D ξ Ps x, x h { 2 r , tel que f p x h { 2 q f p x q h

2 f ^{p 1 q} p x q h

2 2

f ^{p 2 q} p x q 2!

h 2

3

f ^{p 3 q} p x q 3!

h 2

4

f ^{p 4 q} p x q 4!

h 2

5

f ^{p 5 q} p ξ q

5! (3.5) De même, D ξ Ps x h { 2, x r , tel que

f p x h { 2 q f p x q h 2 f ^{p 1 q} p x q

h 2

2

f ^{p 2 q} p x q

2!

h 2

3

f ^{p 3 q} p x q 3!

h 2

4

f ^{p 4 q} p x q

4!

h 2

5

f ^{p 5 q} p ξ q

5! (3.6) En soustrayant (3.6) à (3.5), on obtient

f p x h { 2 q f p x h { 2 q hf ^{p 1 q} p x q 2 h

2 3

f ^{p 3 q} p x q 3!

h 2

5

1

5! p f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ qq (3.7) ce qui donne

D _h f p x q

h f ^{p 1 q} p x q h ²

24 f ^{p 3 q} p x q h ⁴

2 ⁵ 5! p f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ qq (3.8) Q. 3 1. De l'égalité (3.8), on obtient D ξ ¹ Ps x, x h { 4 r , et D ξ ¹ Ps x h { 4, x r , tel

D h { 2 f p x q

h { 2 f ^{p 1 q} p x q p h { 2 q ²

24 f ^{p 3 q} p x q p h { 2 q ⁴

2 ⁵ 5! p f ^{p 5 q} p ξ ¹ q f ^{p 5 q} p ξ ¹ qq (3.9) En soustrayant 4 fois (3.9) à (3.8) on obtient

D h f p x q

h 4 D _{h { 2} f p x q

h { 2 3f ^{p 1 q} p x q h ⁴

2 ⁵ 5! p f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ qq 4 p h { 2 q ⁴

2 ⁵ 5! p f ^{p 5 q} p ξ ¹ q f ^{p 5 q} p ξ ¹ qq c'est à dire

D _h f p x q 8 D _{h { 2} f p x q

h 3f ^{p 1 q} p x q h ⁴ 2 ⁵ 5!

f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ q 1

4 p f ^{p 5 q} p ξ ¹ q f ^{p 5 q} p ξ ¹ qq

. On en déduit

f ^{p 1 q} p x q 8 D _{h { 2} f p x q D _h f p x q 3h

h ⁴ 3 2 ⁵ 5!

f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ q 1

4 p f ^{p 5 q} p ξ ¹ q f ^{p 5 q} p ξ ¹ qq

. (3.10) 2. A partir de (3.9) et en utilisant

8 D _{h { 2} f p x q D h f p x q 8f p x h { 4 q 8 f p x h { 4 q f p x h { 2 q f p x h { 2 q on obtient

E p f q

f ^{p 1 q} p x q 8f p x h { 4 q 8 f p x h { 4 q f p x h { 2 q f p x h { 2 q 3h

¤ h ⁴

3 2 ⁵ 5!

f ^{p 5 q} p ξ q f ^{p 5 q} p ξ q 1

4 p f ^{p 5 q} p ξ ¹ q f ^{p 5 q} p ξ ¹ qq

¤ h ⁴

3 2 ⁴ 5! p 1 1 { 4 q max

t Pr x h { 2,x h { 2 s | f ^{p 5 q} p t q|

¤ h ⁴

3 2 ⁴ 5! p 1 1 { 4 q max

t Pr x H { 2,x H { 2 s | f ^{p 5 q} p t q| .

♦

Exercice 4 (10 pts)

Q. 1 1. Déterminer α, β et γ pour que la formule de quadrature

» 1 1

f p x q dx αf p 1 q βf p 0 q γf p 1 q (4.1) soit au moins d'ordre 2.

2. Montrer que cette formule est au plus d'ordre 3.

On suppose que f P C ⁴ pr 1, 1 s , Rq , et on note µ f ¹ p 0 q .

Q. 2 1. Etablir qu'il existe un unique polynôme P de degré 3 tel que P p 1 q f p 1 q , P p 0 q f p 0 q , P p 1 q f p 1 q et P ¹ p 0 q µ.

2. Montrer que quelque soit x P r 1; 1 s il existe ξ _x Ps 1; 1 r tel que f p x q P p x q p x 1 q x ² p x 1 q

4! f ^{p 4 q} p ξ x q . (4.2)

Indication : On peut étudier les zéros de la fonction ϕ : t ÞÝÑ p f p t q P p t qqp f p x q P p x qq p t 1 q t ² p t 1 q p x 1 q x ² p x 1 q . 3. En déduire qu'il existe une constante M dépendant de f ^{p 4 q} telle que

|

» 1 1

f p x q dx p αf p 1 q βf p 0 q γf p 1 qq| ¤ M

90 . (4.3)

Q. 3 Soient c P R , h ¡ 0 et g P C ⁴ pr c, c h s , Rq .

1. Déduire de (4.1) une formule de quadrature pour le calcul de

» c h c

g p t q dt.

2. Montrer que l'erreur de quadrature est majorée par ₂₈₈₀ ^M h ⁵ où l'on determinera la constante M.

Q. 4 Soit p x k q k Pv 0,n w une discrétisation régulière ¹ de l'intervalle r a, b s . Soit v P C ⁴ pr a, b s , Rq . 1. A partir de (4.1), expliciter la formule composite associée permettant d'approcher ³ b

a v p s q ds et utilisant la discrétisation p x k q k Pv 0,n w .

2. Calculer son erreur de quadrature.

Correction

Q. 1 1. La formule de quadrature (4.1) est au moins d'ordre 2 si et seulement si elle est exacte pour f p x q 1 , f p x q x et f p x q x ² , c'est-à-dire si:

» 1 1

1dx α β γ,

» 1 1

xdx α γ,

» 1 1

x ² dx α γ, ce qui équivaut au système linéaire suivant:

$ &

%

α β γ 2,

α γ 0,

α γ ² ₃ . Ce système a une unique solution : p α, β, γ q p ¹ ₃ , ⁴ ₃ , ¹ ₃ q.

1

x

0

a, x

n

b et x

_{k 1}

x

_k

h avec h pas constant

2. Montrons que cette formule est d'ordre 3. On a

» 1 1

x ³ dx ¹ ₃ p 1 q ^{3 1} ₃ p 1 q ³ ,

» 1 1

x ⁴ dx ¹ ₃ p 1 q ^{4 1} ₃ p 1 q ⁴ ,

donc la formule de quadrature (4.1) avec p α, β, γ q p ¹ ₃ , ⁴ ₃ , ¹ ₃ q est exacte pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 et n'est plus exacte pour les polynômes de degré 4, elle est donc d'ordre 3.

Q. 2 1. Trouver P de degré 3 tel que $ ' '

&

' '

%

P p 1 q f p 1 q P p 0 q f p 0 q P p 1 q f p 1 q P ¹ p 0 q ν

(4.4)

équivaut à trouver a, b, c, d tels que P p x q ax ³ bx ² cx d vérie (4.4). Il s'agit d'un système carré d'ordre 4 , il sut donc de montrer l'unicité : soient P et Q deux polynômes de degré 3 vériant (4.4).

Alors le polynôme E dénit par E P Q est de degré 3 et vérie

$ ' ' &

' '

%

E p 1 q 0 E p 0 q 0 E p 1 q 0 E ¹ p 0 q 0

(4.5)

En écrivant E sous la forme E p x q a ₁ x ³ b ₁ x ² c ₁ x d ₁ , les deuxième et quatrième équations de (4.5) donnent d ₁ c ₁ 0 , puis les première et troisième équations de (4.5) donnent a ₁ b ₁ 0 , d'où E 0 et donc P Q ce qui donne l'unicité de P (et donc aussi l'existence, puisqu'on a un système carré).

2. Soit x P r 1; 1 s, avec x diérent de 1, 0, 1 . Considérons la fonction

ϕ : t ÞÝÑ p f p t q P p t qq p f p x q P p x qq p t 1 q t ² p t 1 q p x 1 q x ² p x 1 q .

Cette fonction s'annule aux points 1, 0, 1 et x . Par le théorème de Rolle sa dérivée s'annule en trois points distincts de 1, 0, 1, x , mais elle s'annule aussi au point 0 . En appliquant trois fois le théorème de Rolle à cette dérivée, on obtient l'existence d'un point ξ _x Ps 1; 1 r tel que

ϕ ^{p 4 q} p ξ x q 0.

La dérivée quatrième de P est nulle et celle de t ÞÝÑ p t 1 q t ² p t 1 q vaut 4! . On en déduit que 0 ϕ ^{p 4 q} p ξ _x q f ^{p 4 q} p ξ _x q p f p x q P p x qq 4!

p x 1 q x ² p x 1 q , ce qui implique (4.2).

3. Comme f P C ⁴ pr 1, 1 s , Rq , on pose M sup _{ξ Pr 1,1 s} | f ^{p 4 q} p ξ q|. Alors (4.2) implique » 1

1

p f p x q P p x qq dx ¤ M

» 1 1

p x 1 q x ² p x 1 q

4! dx

,

d'où

» 1 1

f p x q dx

» 1 1

P p x qq dx ¤ M

90 .

Or la formule de quadrature (4.1) est d'ordre 3, et P P R ³ r X s , elle est donc exacte pour P. On a donc

» 1 1

P p x qq dx 1

3 P p 1 q 4

3 P p 0 q 1 3 P p 1 q

1

3 f p 1 q 4

3 f p 0 q 1 3 f p 1 q . On obtient alors

» 1 1

f p x q dx 1

3 f p 1 q 4

3 f p 0 q 1 3 f p 1 q

¤ M

90 . (4.6)

Q. 3 1. En eectuant le changement de variable t u p x q ^h ₂ x c ^h ₂ et en posant f g u on obtient

» c h c

g p t q dt h 2

» 1 1

g u p x q dx

h

2

» 1 1

f p x q dx

h

2 1

3 f p 1 q 4

3 f p 0 q 1 3 f p 1 q

, d'après (4.1)

h

6

g p c q 4g p c h

2 q g p c h q

. 2. On a

E p g q

» c h c

g p t q dt h 6

g p c q 4g p c h

2 q g p c h q

h 2

» 1 1

g u p x q dx h 2

1

3 f p 1 q 4

3 f p 0 q 1 3 f p 1 q

h

2 » 1

1

f p x q dx 1

3 f p 1 q 4

3 f p 0 q 1 3 f p 1 q

Comme f g u P C ⁴ pr 1, 1 s , Rq , car g P C ⁴ pr c, c h s , Rq on peut appliquer (4.6) pour obtenir E p g q ¤ h

2 1 90 sup

ξ Pr 1,1 s | f ^{p 4 q} p ξ q| .

De plus on a par dérivations successives f ^{p 1 q} p x q ^h ₂ g ^{p 1 q} p t q , f ^{p 2 q} p x q ^h ₂ 2

g ^{p 2 q} p t q , f ^{p 3 q} p x q ^h ₂ 3

g ^{p 3 q} p t q et enn f ^{p 4 q} p x q ^h ₂ 4

g ^{p 4 q} p t q . L'erreur de quadrature est donc majorée par E p g q ¤ h

2 1 90

h 2

4

sup

t Pr c,c h s | g ^{p 4 q} p t q|

¤ h ⁵

2880 M (4.7)

avec M sup _{t Pr c,c h s} | g ^{p 4 q} p t q| .

Q. 4 1. Par la relation de Chasles, on obtient

» b a

v p s q ds

n ¸ 1 k 0

» x

k 1

x

_k

v p s q ds

n ¸ 1 k 0

» x

k

h x

_k

v p s q ds, D'après la question précédente avec c x _k et f v, on a

» x

_k

h x

_k

v p s q ds h 6

v p x k q 4v p x k

h

2 q v p x k h q

. Ainsi on obtient la formule de quadrature composite suivante:

» b a

v p s q ds h 6

n ¸ 1 k 0

v p x k q 4v p x k

h

2 q v p x k 1 q

. 2. D'après (4.7), on a

» x

_k

h x

_k

v p s q ds h 6

v p x k q 4v p x k

h

2 q v p x k h q ¤ h ⁵

2880 M k (4.8)

avec M _k sup _{x Pr x}

k

,x

_{k 1}

s | v ^{p 4 q} p x q|. L'erreur de quadrature E p v q est donnée par E p v q

» b a

v p s q ds h 6

n ¸ 1 k 0

v p x _k q 4v p x _k h

2 q v p x _{k 1} q

n ¸ 1 k 0

» x

k 1

x

_k

v p s q ds h 6

v p x _k q 4v p x _k h

2 q v p x _{k 1} q

¤

n ¸ 1 k 0

» x

k 1

x

_k

v p s q ds h 6

v p x _k q 4v p x _k h

2 q v p x _{k 1} q En utilisant l'inéquation (4.8), et en notant M ¯ sup _{x Pr a,b s} | v ^{p 4 q} p x q| on obtient

E p v q ¤ h ⁵ 2880

n ¸ 1 k 0

M k

¤ h ⁵ 2880 n M ¯

¤ h ⁴

2880 p b a q M ¯

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