EXERCICE II

SESSION 2015

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP

MATHEMATIQUES 1

EXERCICE I

I.1. Soitλ > 0. NotonsG_Xla fonction génératrice deX. Pour tout entier naturelk, P(X=k) =e^−λλ^k k!. Pour tout réelx, la série de terme généralP(X=k)x^k=e^−λ(λx)^k

k! converge et

GX(x) =

+∞

X

k=0

P(X=k)x^k=e^−λ

+∞

X

k=0

(λx)^k k!

=e^−λe^λx=e^λ(x−1).

∀x∈R,GX(x) =e^λ(x−1). On sait alorsGX est indéfiniment dérivable surRet pour tout réelx,

+∞

X

k=1

kP(X=k)x^k−1=G_X^′(x) =λe^λ(x−1). puis

E(X) =

+∞

X

k=0

kP(X=k) =G_X^′(1) =λ.

Pour tout réelx,

+∞

X

k=0

kP(X=k)x^k=xG_X^′(x) =λxe^λ(x−1) puis en redérivant

+∞

X

k=1

k²P(X=k)x^k−1=λ(λx+1)e^λ(x−1) Pourx=1, on obtient

E(X²) =

+∞

X

k=1

k²P(X=k) =λ(λ+1), puis

V(X) =E X²

− (E(X))²=λ(λ+1) −λ²=λ.

E(X) =λetV(X) =λ.

EXERCICE II

II.1.Soitn∈N^∗. La fonctionfn est continue sur [0,+∞[et est négligeable en +∞ devant 1

x² d’après un théorème de croissances comparées (et car n > 0). On en déduit que la fonction fn est intégrable sur [0,+∞[ et en particulier sur ]0,+∞[. De plus,

Z+∞

0

fn(x)dx=

−e^−nx

n + e^−2nx n

^+∞

0

=0− 1

n− 1 n

=0.

On en déduit que

+∞

X

n=1

Z+∞ 0

fn(x)dx

=0.

II.2. Soit x > 0. Alors e^−x ∈] −1, 1[ et e^−2x ∈] −1, 1[. On en déduit que les séries géométriques de termes généraux respectifse^−nx= (e^−x)ⁿ ete^−2nx= e^−2xn

convergent.

Par suite, la série de fonctions de terme généralf_n, n∈N^∗, converge simplement sur]0,+∞[vers une fonction que l’on noteS. Pour tout réelx > 0,

S(x) =

+∞

X

n=1

e^−xn

−2

+∞

X

n=1

e^−2xn

= e^−x

1−e^−x − 2e^−2x

1−e^−2x = e^x×e^−x

e^x(1−e^−x)− 2e^2x×e^−2x e^2x(1−e^−2x)

= 1

e^x−1 − 2

e^2x−1 = e^x+1

(e^x−1) (e^x+1)− 2

(e^x−1) (e^x+1)= e^x−1

(e^x−1) (e^x+1) = 1 e^x+1. La fonction S est continue sur]0,+∞[, se prolonge par continuité en 0 et est négligeable devant 1

x² en+∞d’après un théorème de croissances comparées. Donc la fonctionSest intégrable sur]0,+∞[. De plus,

Z+∞

0

S(x)dx= Z+∞

0

e^−x

1+e^−x dx=

−ln 1+e^−x+∞ 0 =ln2.

Z+∞

0

+∞

X

n=1

fn(x)

!

dx=ln2.

II.3.

+∞

X

n=1

Z+∞

0

|f_n(x)|dxexiste et est élément de[0,+∞]. Si par l’absurde

+∞

X

n=1

Z+∞

0

|f_n(x)|dx <+∞, alors

• chaque fonctionfn est continue par morceaux sur]0,+∞[,

• la série de fonctions de terme généralfn converge simplement sur ]0,+∞[vers une fonctionSqui est continue sur]0,+∞[,

•

+∞

X

n=1

Z+∞

0

|f_n(x)|dx <+∞.

D’après un théorème d’intégration terme à terme, on doit avoir Z+∞

0

+∞

X

n=1

fn(x)

! dx=

+∞

X

n=1

Z+∞ 0

fn(x)dx

, ce qui n’est pas d’après les deux questions précédentes. Donc,

+∞

X

n=1

Z+∞

0

|fn(x)|dx= +∞.

Problème

Partie 1. Exemples et contre-exemples

III.1. Supposons par l’absurde qu’il existe une suite de polynômes(Pn)_n∈N convergeant uniformément vers la fonction fsur]0, 1]. Alors,

• la suite(P_n)_n∈Nconverge uniformément versfsur]0, 1],

• chaque fonctionP_n a une limite réelle en0à droite à savoirℓ_n =P_n(0).

D’après le théorème d’interversion des limites, la fonctionfdoit avoir une limite réelle en0à droite ce qui n’est pas. Donc, il n’existe pas de suites de polynômes convergeant uniformément versfsur]0, 1].

Ainsi, le théorème deWeierstrassdonné sur un segment[a, b]ne peut être généralisé à un intervalle quelconque.

III.2. On sait qu’un sous-espace de dimension finie d’un espace vectoriel normé est un fermé de cet espace. PuisqueP_N est un sous-espace de dimension finie deC⁰([a, b],R),P_N est un fermé de C⁰([a, b],R),k k^∞

.

SoitN∈N. Soit (P_n)_n∈Nune suite d’éléments de P_N convergeant uniformément sur[a, b]vers une certaine fonction f.

Alors, la suite(P_n)_n∈Nune suite d’éléments deP_Nconvergeant versfdans l’espace vectoriel normé C⁰([a, b],R),k k^∞ . PuisqueP_n est un fermé de cet espace, on en déduit quef∈P_N ou encore on en déduit plus explicitement quefest un polynôme.

III.3.

III.3.a. • Soit P ∈ R[X]. P est continue sur le segment [−2,−1]. En particulier, p est bornée sur ce segment. On en déduit queN₁(P)existe dansR. Ainsi,N₁est une application deR[X]dansR.

•SoitP∈R[X].N1(P) = sup

x∈[−2,−1]

|P(x)|>0.

•SoitP∈R[X].

N1(P) =0⇒ sup

x∈[−2,−1]

|P(x)|=0⇒∀x∈[−2,−1], |P(x)|60

⇒∀x∈[−2,−1], P(x) =0

⇒P=0(polynôme ayant une infinité de racines)

•Soientλ∈RetP∈R[X]. Pour tout réelx∈[−2,−1],|λP(x)|=|λ|×|P(x)|et donc N₁(λP) =|λ|N₁(P).

•SoientP etQdeux polynômes. Pour tout réelxde[−2,−1],

|(P+Q)(x)|6|P(x)|+|Q(x)|6N1(P) +N1(Q).

Ainsi,N₁(P)+N₁(Q)est un majorant de{|(P+Q)(x)|, x∈[−2,−1]}. PuisqueN₁(P+Q)est le plus petit de ces majorants, N₁(P+Q)6N₁(P) +N₁(Q).

On a montré queN1 est une norme surR[X].

III.3.b. Graphe de f.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2

−1

−2

fest continue sur le segment[−2, 2]et doncfest limite uniforme sur ce segment d’une suite de polynômes(Pn)_n∈Nd’après le théorème d’approximation deWeierstrass. Pour tout réel xde[−2,−1]

Pn(x) −x²

=|Pn(x) −f(x)|6 sup

x∈[−2,−1]

{|Pn(x) −f(x)|}6 sup

x∈[−2,−2]

{|Pn(x) −f(x)|}, et donc06N₁ P_N−X²

6 sup

x∈[−2,−2]

{|P_n(x) −f(x)|}. Puisque la suite(P_n)_n∈Nconverge uniformément versfsur[−2, 2], sup

x∈[−2,−2]

{|Pn(x) −f(x)|}tend vers 0 quand n tend vers+∞et il en est de même de N1 PN−X²

. Ceci montre que la suite(P_n)_n∈Nconverge versX²pour la normeN₁.

De même, pour tout réelxde[1, 2]

Pn(x) −x³

=|Pn(x) −f(x)|6 sup

x∈[−2,−2]

{|Pn(x) −f(x)|}, et donc06N2 PN−X³

6 sup

x∈[−2,−2]

{|P_n(x) −f(x)|}et N2 PN−X³

tend vers0 quand ntend vers+∞. Ceci montre que la suite(Pn)_n∈Nconverge versX³pour la normeN2.

Partie 2. Application : un théorème des moments III.4.

III.4.a. Soit P un polynôme. P est une combinaison linéaire des X^k, k ∈ N. Par linéarité de l’intégrale, on obtient Zb

a

P(x)f(x)dx=0.

III.4.b. D’après le théorème d’approximation deWeierstrass, il existe une suite de polynômes(P_n)_n∈Nconvergeant uniformément versfsur[a, b]. La fonctionfest continue sur le segment[a, b]et en particulier est bornée sur ce segment.

On en déduit que la suite de fonctions(P_nf)_n∈Nconverge uniformément versf×f=f² sur ce segment.

Puisque chaque fonctionPnfest continue sur le segment[a, b]et que la suite de fonctions(Pnf)_n∈Nconverge uniformément versf²sur ce segment, on sait que

Zb

a

f²(x)dx= Zb

a

n→lim+∞Pn(x)f(x)dx= lim

n→+∞

Zb

a

Pn(x)f(x)dx

III.5. D’après ce qui précède,F^⊥ ={0}. En particulier,F+F^⊥=F=R[X]⊂

6= E.

III.6.

III.6.a. Soitn∈N. La fonctionfn : x7→xⁿe^−(1−i)x est continue sur[0,+∞[. De plus, quandxtend vers+∞, xⁿe^−(1−i)x

=xⁿe^−x=o 1

x²

d’après un théorème de croissances comparées.

Doncf_n est intégrable sur[0,+∞[ou encore I_n existe.

Soientn∈Net Aun réel positif. Les deux fonctionsx7→xⁿ⁺¹et x7→ e^−(1−i)x

−(1−i) sont de classe C¹ sur le segment[0, A].

On peut donc effectuer une intégration par parties qui fournit ZA

0

xⁿ⁺¹e^−(1−i)xdx=

xⁿ⁺¹e^−(1−i)x

−(1−i) ^A

0

− ZA

0

(n+1)xⁿe^−(1−i)x

−(1−i) dx

=Aⁿ⁺¹e^−(1−i)A

−1+i +n+1 1−i

ZA

0

xⁿe^−(1−i)xdx.

Ensuite,

Aⁿ⁺¹e^−(1−i)A

−1+i

= Aⁿ⁺¹e^−A

√2 . Cette expression tend vers 0 quand A tend vers +∞ d’après un théorème de croissances comparées et donc lim

A→+∞

Aⁿ⁺¹e^−(1−i)A

−1+i =0. QuandAtend vers+∞, on obtient doncIn+1= n+1 1−iIn. D’autre part,I0=

Z+∞

0

e^−(1−i)xdx= 1 1−i lim

A→+∞

1−e^−(1−i)A

= 1

1−i (car

e^−(1−i)A

=e^−A). En résumé,I0= 1 1−i et∀n∈N,In+1= n+1

1−iI_n. Par suite, pourn∈N^∗, In =I0

n−1Y

k=0

Ik+1

I_k = 1 1−i

n−1Y

k=0

k+1

1−i = n!

(1−i)ⁿ⁺¹ ce qui reste vrai pourn=0.

III.6.b. Soitk∈N.

I_4k+3= (4k+3)!

(1−i)^4k+4 = (4k+3)!

√

2e^−iπ4 4k+4 = (−1)^k+1(4k+4)!

2^2k+2 . En particulier,I4k+3 est un réel et donc sa partie imaginaire est nulle. Or,

Im Z+∞

0

x^4k+3e^−(1−i)xdx

= Z+∞

0

x^4k+3e^−x Ime^ix dx=

Z+∞

0

x^4ke^−xx³sinx dx et on a donc montré que pour toutk∈N,

Z+∞

0

x^4ke^−xx³sinx dx=0.

III.6.c. L’applicationϕ : u7→u^1/4est une bijection de]0,+∞[sur lui-même, strictement croissante et de classeC¹ sur]0,+∞[. En posantu=x⁴ et doncx=u^1/4puisdx= 1

4u^−3/4du, on obtient Z+∞

0

x^4ke^−xx³sinx dx= Z+∞

0

u^ke^−u1/4u^3/4sin

u^1/4 du 4u^3/4 = 1

4 Z+∞

0

u^ke^−u1/4sin u^1/4

du.

Pouru∈[0,+∞[, posonsf(u) =e^−u1/4sin u^1/4

. Alors, la fonctionfest continue sur[0,+∞[, non nulle sur cet intervalle et vérifie∀k∈N,

Z+∞

0

u^kf(u)du=0.

III.6.d. On note que la fonction f est continue sur [0,+∞[ et négligeable en+∞ devant 1

u². Donc, la fonction f est intégrable sur[0,+∞[ou encore

Z+∞

0

|f(x)|dx <+∞.

D’autre part, par linéarité, pour tout polynômeP, on a Z+∞

0

P(x)f(x)dx=0.

Supposons par l’absurde qu’il existe une suite de polynômes(Pn)_n∈Nconvergeant uniformément versfsur[0,+∞[. Pour tout entier natureln, on a

Z+∞

0

(f(x))² dx= Z+∞

0

(f(x) −Pn(x))f(x)dx+ Z+∞

0

Pn(x)f(x)dx= Z+∞

0

(f(x) −Pn(x))f(x)dx, puis

06 Z+∞

0

(f(x))² dx= Z+∞

0

(f(x) −Pn(x))f(x)dx=

Z+∞

0

(f(x) −Pn(x))f(x)dx

6 Z+∞

0

|f(x) −Pn(x)| |f(x)|dx

6kf−Pnk∞

Z+∞

0

|f(x)|dx.

Quandntend vers+∞, on obtient Z+∞

0

(f(x))² dx=0 et doncf=0 (fonction continue positive d’intégrale nulle). Ceci est absurde et donc il n’existe pas de suites de polynômes convergeant uniformément versf sur[0,+∞[.

Partie 3. Exemple via un théorème de Dini III.7. Montrons par récurrence que∀n∈N,06un6√

x.

• C’est vrai pourn=0.

• Soitn>0. Supposons que06un 6√

x. Alors un+1=un+1

2

x− (u_n)²

>0+ 1 2

x− √

x2

=0.

D’autre part,

un+1−√

x=u_n−√ x+ 1

2

x− (u_n)²

= u_n−√ x

1−

√x+u_n 2

60.

caru_n−√

x60 et1−

√x+u_n 2 >1−

√x+√ x

2 =1−√ x>0.

Le résultat est démontré par récurrence.

On en déduit encore que pour tout entier naturel n,un+1−u_n = 1 2

x− (u_n)²

>0 et donc que la suite(u_n)_n∈N est croissante.

Ainsi, la suite(u_n)_n∈Nest croissante et majorée par√

x. Donc, la suite(u_n)_n∈N converge vers un certain réelℓ. Puisque pour tout entier natureln,06u_n6√

x, on a encore06ℓ6√ x.

En faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité u_n+1 = u_n + 1 2

x− (u_n)²

, on obtient 1

2 x−ℓ²

= 0 puis ℓ = √ x (car ℓ>0). On a montré que la suite(u_n)_n∈Nconverge vers√

x.

III.8. Pourn∈N^∗ etx∈[a, b], posonsf_n(x) =















 2n

b−a(x−a) six∈

a, a+b−a 2n

− 2n b−a

x−

a+ b−a n

six∈

a+b−a

2n , a+b−a n

0six∈

a+ b−a n , b

. Voici

le graphe de la fonctionf_n :

a b 1

La suite de fonctions(f_n)_n∈Nconverge simplement sur[a, b]vers la fonction nulle qui est continue sur[a, b].

En effet, d’une part, pour toutn>1,fn(a) =0et donc lim

n→+∞fn(a) =0 et d’autre part, six∈]a, b], pourn> b−a x−a de sorte quex>a+ b−a

n , on a fn(x) =0 et donc lim

n→+∞

fn(x) =0.

Maintenant, pour toutn∈N^∗,kfn−0k∞=kfnk∞>

fn

a+b−a 2n

=1et donckfn−0k∞ne tend pas vers0quand ntend vers+∞. La suite de fonctions(f_n)_n∈Nne converge pas uniformément sur[a, b]vers la fonction nulle.

III.9.

III.9.a. D’après la question III.7, la suite de fonctions(P_n)_n∈Nconverge simplement sur[0, 1]vers la fonctionf : x7→√ x.

III.9.b. D’après la question III.7, pour chaque x de [0, 1], la suite (Pn(x))_n∈N est croissante. Puisque d’autre part, chaque fonction Pn est continue sur [0, 1] et que la fonction f est continue sur [0, 1], le théorème admis dans l’énoncé permet d’affirmer que la suite de polynômes(Pn)_n∈Nconverge uniformément sur[0, 1]vers la fonctionf : x7→√

x.

Partie 4. Démonstration du théorème d’approximation de Weierstrass III.10.

III.10.a. Soitn∈N^∗. On sait queE(S_n) =nxetV(S_n) =nx(1−x). D’après l’inégalité deBienaymé-Tchebychev, P(|S_n−nx|> nα) =P(|S_n−E(S_n)|> nα)6 V(Sn)

(nα)² = nx(1−x)

n²α² = x(1−x) nα² . Maintenant, pour toutx∈[0, 1],x(1−x) = −x²+x= 1

4−

x− 1 2

2

6 1

4 et donc P(|S_n−nx|> nα)6 1

4nα². III.10.b. On sait que pour toutk∈J0, nK, P(Sn=k) =

n k

x^k(1−x)^n−k. D’après un théorème de transfert, on a

E

f Sn

n

= Xn

k=0

f k

n

P Sn

n = k n

= Xn

k=0

f k

n

P(S_n=k)

= Xn

k=0

n k

f k

n

x^k(1−x)^n−k=Bn(f)(x).

III.11.

III.11.a. Soitε > 0. La fonction fest continue sur le segment[0, 1] et donc est uniformément continue sur ce segment d’après le théorème de Heine. Donc, il existe α > 0 tel que pour tout couple (a, b) ∈ [0, 1]², |a−b| 6 α entraîne

|f(a) −f(b)|6ε.

Soitx∈[0, 1]. Soitk∈J0, nKtel que k n−x

6α. Alors, f

k n

−f(x)

6ε.

III.11.b. Soient x∈[0, 1]et n∈N^∗.

X

|_n^k−x|>α

f

k n

−f(x)

P(S_n =k)

6 X

|_n^k−x|>α

f

k n

+|f(x)|

P(S_n=k)62kfk^∞ X

|^k_n−x|>α

P Sn

n = k n

=2kfk^∞P

Sn

n −x

> α

=2kfk^∞P(|Sn−nx|> nα).

III.11.c. Soient x∈[0, 1] etn∈N^∗.

|B_n(f)(x) −f(x)|=

Xn

k=0

f k

n

P(S_n =k) −f(x) Xn

k=0

P(S_n =k)

=

Xn

k=0

f

k n

−f(x)

P(S_n =k)

=

X

|^k_n−x|6α

f

k n

−f(x)

P(S_n =k) + X

|_n^k−x|>α

f

k n

−f(x)

P(S_n =k)

6

X

|^kn−x|6α

f

k n

−f(x)

P(S_n=k)

+

X

|n^k−x|>α

f

k n

−f(x)

P(S_n =k)

6 X

|^k_n−x|6α

f

k n

−f(x)

P(S_n =k) +2kfk^∞P(|S_n−nx|> nα)

6ε X

|^kn−x|^6α

P(S_n=k) + 2kfk^∞

4nα² (d’après III.10.a)

6ε Xn

k=0

P(S_n=k) + kfk^∞ 2nα²

=ε+ kfk^∞ 2nα².

En résumé, pour toutn∈N^∗et toutx∈[0, 1],|B_n(f)(x) −f(x)|6ε+kfk^∞

2nα². Maintenant, kfk^∞

2nα² tend vers0quandntend vers+∞ et donc il existe un entier naturel non nuln₀, indépendant de x, tel que kfk^∞

2nα² 6ε. Pourn>n₀ et x∈[0, 1], on a|B_n(f)(x) −f(x)|62ε.

On a montré que∀ε > 0, ∃n0∈ N^∗/∀n∈[0, 1], |B_n(f)(x) −f(x)|62ε et donc la suite des polynômes de Bernstein converge uniformément versfsur[0, 1].