Equations intégrales pour l'équation des ondes

Texte intégral

(1)Equations intégrales pour l’équation des ondes Eliane Bécache. To cite this version: Eliane Bécache. Equations intégrales pour l’équation des ondes. École d’ingénieur. France. 2001. �cel-01529244�. HAL Id: cel-01529244 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-01529244 Submitted on 30 May 2017. HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.. L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.. Distributed under a Creative Commons Attribution| 4.0 International License.

(2) Equations integrales pour l'equation des ondes E. B ecache. :. INRIA, Domaine de Voluceau-Rocquencourt, BP 105, F-78153 Le Chesnay C edex. 0.

(3) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.1. Table des matieres 1 Introduction. 2. 2 Le Probleme de diraction. Notations et equations.. 4. 3 Quelques outils.. 5. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5. Solution fondamentale. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Formule de Kirchho pour l'onde incidente : : : : : : : : : : : : : : : : Premier th eor eme de repr esentation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : D enition des potentiels retard es et deuxi eme th eor eme de repr esentation Traces des potentiels retard es : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.5.1 Traces d'un potentiel de simple couche : : : : : : : : : : : : : : 3.5.2 Traces d'un potentiel de double couche : : : : : : : : : : : : : :. 4 Quelques exemples d'equations integrales. 6 8 9 11 14 14 15. 17. 4.1 Probl eme de Dirichlet : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 4.2 Probl eme de Neumann : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 20. 5 Analyse mathematique d'un probleme modele: le probleme de Neumann double couche 23 5.1 Transformation de Fourier-Laplace du probl eme : : : : : : : : : : : : : 24 5.2 Analyse du probl eme transform e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 29 5.3 Retour en temps : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 38. 6 Mise en oeuvre et resultats numeriques. 42. 6.1 Discr etisation : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 42 6.2 M ethodes num eriques. Mise en oeuvre : : : : : : : : : : : : : : : : : : 45 6.3 Autres probl emes trait es et quelques unes de leurs dicult es respectives... 50. 7 Bibliographie. 53 1.

(4) VII.2. Eliane BECACHE. 1 Introduction On s'int eresse a des probl emes de diraction des ondes par un obstacle dans un milieu homog ene. Ces probl emes se situent souvent dans un domaine ext erieur (inni). Il peut s'agir d'ondes acoustiques, elastiques ou electromagn etiques. Typiquement, on va consid erer un domaine e = ci , o u i est un ouvert born e de RN en dimension N = 2 ou 3, dans lequel une onde se propage. La question est de savoir comment se propage cette onde apr es s'être diract ee sur l'obstacle. La solution v erie une Equation aux D eriv ees Partielles dans e. Lu = f dans e R avec des conditions initiales et des conditions aux limites sur le bord du domaine. Il existe plusieurs m ethodes permettant de r esoudre ce probl eme num eriquement qui sont essentiellement :. Les methodes de Dierences Finies (DF)/Elements Finis (EF) Elles conduisent a mailler tout le domaine de calcul. Le domaine e etant inni, elles doivent introduire des fronti eres articielles sur lesquelles on pose des Conditions aux Limites Absorbantes (CLA) (voir cours de F. Collino). Ces conditions ne sont pas exactes et produisent donc des r eexions. Pour eviter de trop grandes perturbations, on doit donc placer les fronti eres articielles assez "loin" de l'obstacle (loin par rapport a la taille de l'obstacle et de la longueur d'onde) et utiliser des CLA d'ordre susamment elev ees, ce qui conduit a des syst emes a r esoudre assez coûteux (de la taille du nombre de noeuds dans le domaine). De plus, le maillage introduit une anisotropie num erique (dispersion), qui est att enu ee en se xant un nombre minimum de noeuds par longueur d'onde ce qui limite egalement la fr equence de l'onde incidente si on ne veut pas avoir des syst emes trop grands a r esoudre. Cependant, l'avantage des m ethodes d' elements nis est que les matrices intervenant, bien que grandes, sont en g en eral tr es creuses. S'agissant de probl emes d' evolution, on peut utiliser, pour. eviter d'inverser ces syst emes, des sch emas explicites en temps. La stabilit e de ces sch emas impose alors une condition de type CFL sur les param etres de discr etisation du type ct=x < Cte, ce qui impose un param etre de discr etisation en temps t tr es petit lorsque la vitesse des ondes est elev ee. Pour toutes ces raisons, il est souhaitable (et même crucial pour certains probl emes 3D) de pouvoir utiliser des m ethodes num eriques moins coûteuses. Cependant, ce sont souvent les seules dont nous disposons pour des probl emes pos es en milieu non homog ene (sauf cas particuliers, par exemple les approximations paraxiales lorsque la propagation se fait suivant une 2.

(5) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.3. direction privil egi ee ...).. Les methodes d'Equations Integrales (EI) Lorsque le milieu est homog ene, il existe des m ethodes plus performantes qui sont bas ees sur la r esolution d' equations int egrales. Ces equations sont pos ees sur la fronti ere de l'obstacle qui est dans la plupart des cas un domaine born e. De plus, on gagne une dimension d'espace. Elles conduisent a la r esolution de syst emes beaucoup plus petits, mais pleins. Ces m ethodes sont maintenant tr es bien etudi ees (voir la partie bibliographie 7) et couramment utilis ees pour les probl emes stationnaires et les probl emes harmoniques (voir partie 7), beaucoup moins pour les probl emes transitoires pour lesquels apparaissent des dicult es suppl ementaires, comme nous allons le voir. Elles reposent sur la connaissance de la solution fondamentale (ou fonction de Green) ce qui explique leur limitation aux milieux homog enes. Cependant, si une partie seulement du milieu est non homog ene, on peut alors coupler les m ethodes EI(en milieu homog ene)-EF(en milieu non homog ene), ce qui permet de ne mailler que la partie non homog ene (voir les travaux de Johnson et N ed elec, 35] et l'article de revue sur le couplage de Hsiao, 31]). Elles ont egalement et e utilis ees pour r esoudre des probl emes pos es dans des milieux non homog enes particuliers (milieux strati es, voir les travaux de Aubry et Clouteau, 2], 13]). En ce qui concerne les ondes transitoires, avant les travaux de Ha Duong, seules des applications des equations int egrales espace-temps (potentiels retard es) existaient dans la litt erature mais etant donn ee leur nature (op erateurs int egro-di erentiels) aucune analyse math ematique n'en avait et e faite. On trouvera les r ef erences de quelques unes de ces applications dans la partie bibliographie 7. Dans 22] (et par la suite dans 4], 5], 23]) Ha Duong a montr e comment analyser les potentiels retard es par l'interm ediaire de leur transform ee de Fourier-Laplace en temps. Grâce a cette etude, des r esultats d'existence, d'unicit e et de stabilit e ont pu être obtenus dans un cadre fonctionnel de type espaces de Sobolev. Par la suite, ces r esultats ont et e appliqu es et etendus et sont encore actuellement l'objet de recherches. Certains probl emes concernant l'analyse num erique de ces m ethodes restent ouverts. Citons enn les travaux r ecents de Lubich, 40], qui propose une autre m ethode num erique (discr etisation par un sch ema de Galerkin en espace et par une m ethode multipas en temps) et en fait l'analyse num erique ( etude d'erreurs, : : : ). L'objet de ce cours est de pr esenter l'analyse math ematique des potentiels retard es et leur approximation par des sch emas de type Galerkin (en espace et en temps) pour les ondes transitoires. Il y aura une pr esentation de l'analyse th eorique des potentiels retard es. Pour 3.

(6) VII.4. Eliane BECACHE. cela, on aura pr ealablement rappel e quelques r esultats de base sur l' equation des ondes, et introduit un certain nombre d'outils. Puis, nous pr esenterons les aspects pratiques li es a cette m ethode : mise en oeuvre num erique, les dicult es li ees a la m ethode (singularit es des noyaux), au caract ere temporel (g eom etrie, causalit e des noyaux), dicult es plus sp eciques (hypersingularit e, di erences entre acoustique,. elastique, Maxwell...) Nous pr esenterons enn quelques r esultats num eriques.. 2 Le Probleme de diraction. Notations et equations. On consid ere un ouvert born. e i de RN , N = 2 ou 3, de fronti ere ; = @ i c et le domaine ext erieur e = e . On suppose dans toute la suite (sauf mention du contraire) que ; est une surface ferm ee au moins C 1 par morceaux ou bien un ecran inni et que e est situ e localement d'un seul côt e de ;. On notera n la normale ext erieure a i (orient ee de i vers e ).. Remarque 2.1 : on peut traiter de mani ere analogue le cas de la diraction d'une. onde par une ou plusieurs ssures. Dans ce cas ; n'est pas une courbe ferm ee et e n'est pas situ e localement d'un seul côt e de ;. Nous n'exposons pas ce cas ici, par soucis de lisibilit e, car les espaces fonctionnels qui interviennent sont un peu di erents et font intervenir le comportement des fonctions au voisinage des extrêmit es de ces ssures. Nous renvoyons aux travaux 23], 7], 8] sur ce sujet. On veut calculer pour t > 0 la solution du probl eme mixte d'ondes acoustiques suivant : 8 >> u @ 2u ; u = f dans e R+ (a) > @t2 (1). >> <> u(x 0) >> @u >> (x 0) >> @t : Bu. = u0(x) dans e. (b). = u1(x) dans e. (c ). = 0 sur ; R+ (d) o u f u0 et u1 ont leurs supports respectivement dans e R+ et e , et o u la vitesse des ondes acoustiques a et e choisie egale a c = 1. La condition aux limites B sera par la suite soit une condition de Dirichlet soit une condition de Neumann. De mani ere classique, on d ecompose l'onde comme une superposition d'un champ incident uI repr esentant l'onde qui se propage dans tout l'espace libre RN et d'un 4.

(7) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.5. champ diract e uD. Par d enition, le champ incident v erie le probl eme : (2). 8> uI = f dans RN R+ (a) >> >< uI (x 0) = u (x) dans RN (b) 0 >> I >> @u (x 0) = u1(x) dans RN (c) : @t. et le champ diract e s'obtient comme di erence entre l'onde totale et l'onde incidente :. uD = u ; uI. (3). et v erie donc le probl eme diract e suivant :. (4). 8> D >> u >> D >< u (x 0) >> @uD >> @t (x 0) >: D Bu. = 0. dans e R+ (a). = 0. dans e. (b). = 0. dans e. (c). = ;BuI sur ; R+. (d). Il s'agit du probl eme de diraction (ou \scattering") que nous cherchons a r esoudre. L'onde incidente est connue explicitement grâce a la formule de Kirchho et l'onde diract ee admet une repr esentation int egrale en fonction de ses traces sur ;. C'est en ecrivant la condition aux limites satisfaite par l'onde diract ee en fonction de cette repr esentation int egrale qu'on obtient une equation int egrale sur ;. Avant de d eterminer les equations int egrales associ ees a quelques probl emes de diraction, nous devons nous munir d'un certain nombre d'outils.... 3 Quelques outils. Le point essentiel des m ethodes d' equations int egrales est le th eor eme de repr esentation int egrale de la solution (formule de Kichho, pour les ondes acoustiques). Il permet d'obtenir une expression analytique de l'onde incidente et une expression de l'onde diract ee en fonction d'inconnues d enies sur la surface de l'obstacle. Ce th eor eme de repr esentation n ecessite l'utilisation de la formule de Green (ou formule analogue d'int egration par parties, pour un autre op erateur que celui des ondes acoustiques) ainsi que la connaissance de la solution fondamentale. 5.

(8) VII.6. Eliane BECACHE. 3.1 Solution fondamentale. La solution fondamentale de l' equation des ondes G(x t) est par d enition le champ de d eplacement au point x et a l'instant t dû a une impulsion ponctuelle appliqu ee a l'origine et a l'instant 0 et a support t > 0 : (5). @ 2G ; G = (x)(t) @t2. Solution fondamentale en dimension 2 (6). j x j) G(x t) = 21 (tH2;(t; j x j2)1=2. o u H repr esente la fonction de Heaviside.. Solution fondamentale en dimension 3 (7). G(x t) = 41 (t;j xj jx j). Remarque 3.1 : dierence fondamentale entre le 2D et le 3D On voit appara^"tre sur les expressions des solutions fondamentales 2D et 3D une di erence essentielle entre ces deux dimensions, qui est le support de ces fonctions. En dimension 2, la solution fondamentale remplit le cône de lumi ere, c'est a dire le cône d' equation t =j x j, alors qu'en dimension 3 elle est localis ee au bord du cône. Ce ph enom ene se comprend bien physiquement. En 2D, on peut penser a une onde se propageant a la suite d'une perturbation dans l'eau (par exemple, si on lance une pierre dans l'eau) # un front d'onde se propage, mais des vaguelettes continuent a exister a l'int erieur du cercle (elles s'att enuent avec le temps, en 1=t mais ne disparaissent pas en th eorie). En 3D, on peut penser a un son qui se propage : une fois qu'il est pass e, heureusement, il ne subsiste pas eternellement !... Cette di erence va avoir des cons equences importantes sur la r esolution num erique : la repr esentation int egrale de la solution fait intervenir, comme nous allons le voir, un produit de convolution de la solution fondamentale avec d'autres fonctions. La pr esence de la masse de Dirac, en 3D, va permettre d' eliminer l'int egration en temps et de ne prendre en compte qu'un seul instant, correspondant au passage de l'onde. En 2D, par contre, la fonction d'Heaviside impose d'int egrer en temps et de prendre en compte non seulement l'instant correspondant au passage du front d'onde, mais aussi tout son pass e. 6.

(9) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.7. On peut d ej a noter qu'en elasticit e, la situation se complique du fait de la pr esence des ondes P et S (pression et cisaillement). En 3D, il y a deux fronts d'onde et il faut tenir compte de tous les instants compris entre les instants de passage des deux ondes (donc une int egration en temps suppl ementaire par rapport a l'acoustique). En 2D, il faut consid erer le pass e des deux fronts d'ondes.. Calcul de la solution fondamentale. Nous indiquons brievement la methode permettant de calculer la solution fondamentale (formellement). De maniere generale, si on considere une EDP Lu = f (ou L est un polynôme en les derivees partielles), la solution fondamentale veri e LG = dans RN (i) On calcule G en prenant la transformee de Fourier de (i) dans RN , L etant un polynôme par rapport aux derivees partielles on a. LdG = Lb Gb = 1 (i) Il su

(10) t alors de savoir inverser Lb pour en deduire Gb . L'etape la plus delicate est alors de revenir aux variables initiales. En ce qui concerne l'equation des ondes (scalaire), il est tres facile d'obtenir (formellement) (8). Gb ( !) = j j21;!2. dont on connait la transformee de Fourier inverse donnee en (6) et (7).. Remarque : en toute rigueur, la transformee de Fourier en temps diverge et pour justi-. er ces calculs, on doit introduire une partie imaginaire " dans ! et faire tendre " vers 0 1 b (i.e., Gb ( ! ) = "lim !0 G( ! ; i") = "lim !0 j j2 ;(! ; i")2 ). Le calcul rigoureux de la solution fondamentale (en particulier de la transformee de Fourier inverse de (8) est fait dans 55].. Remarque : a partir de l'expression (8), on obtient egalement la solution fondamentale de. l'equation de Helmholtz en prenant la transformee de Fourier inverse seulement par rapport aux variables d'espace : (9). 8 i (1) >> H0 (! j x j) en 2D <4 F;1(Gb( !)) = > 1 i!jxj en 3D >: 4 j x j e. Remarque 3.2 : la solution fondamentale de l' equation des ondes avec une vitesse ! c= 6 1 s'obtient en rempla%cant ! par c . 7.

(11) VII.8. Eliane BECACHE. 3.2 Formule de Kirchho pour l'onde incidente Si les donn ees f u0 et u1 sont assez r eguli eres et a support dans e R+ e et e, l'onde incidente peut s' ecrire sous forme int egrale :. (10). 8 >< uI (x t) = (G (xt ) f )(x t) + (G( t) (x) u1)(x) + (G_ ( t) (x) u0)(x) >: x 2 RN t > 0. o u G_ = @G @t , ce qui peut encore s' ecrire, en explicitant les produits de convolution :. (11). Z Z 8> I >> u (x t) = R+ RN G(x ; y t ; )f (y )dyd. < Z Z + G ( x ; y t ) u ( y ) dy + G_ (x ; y t)u0(y)dy 1 >> N N R R >: x 2 RN t > 0. Application En rempla%cant G par son expression donn ee en (6) et (7) on obtient :. en dimension N = 3. (12). 8> Z f (y t; j x ; y j) dy >> uI (x t) = 1 4 jx;yjt j x;y j >> Z < 1 + >> 4t jx;yj=t u1(y)d y Z ! >> @ 1 1 >: + 4 @t t jx;yj=t u0(y)d y. en dimension N = 2. (13). 8> Z tZ f (y ) >> uI (x t) = 1 2 2 0 jx;yjt; ((t ; ) ; j x ; y j2)1=2 dyd. >> Z < 1 u1(y) + 2 >> 2 jx;yjt (t ; j x ; y j2)1=2 d y Z ! >> 1 @ u ( y ) 0 >: + 2 @t d jx;yjt (t2; j x ; y j2)1=2 y 8.

(12) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.9. Remarque 3.3 : de nouveau on voit la di erence sur ces expressions entre le cas 2D et 3D. En 3D, le temps caract eristique qui appara^"t est = t; j x ; y j indiquant le retard (ce qui se passe au point x et a l'instant t d epend de ce qui se passait au point Z t y a l'instant = t; j x ; y j ). En 2D, il appara^"t des int egrales suppl ementaires ( d et on int egre sur tout le disque j x ; y j t au lieu de la sph ere j x ; y j= t 0. en 3D). La solution en (x t) d epend de tout ce qui se passait en y aux instants pr ec edents t; j x ; y j. Dans les deux cas, ce terme de retard explique le nom des potentiels retardes. Une dicult e suppl ementaire appara^"t en 2D li ee a la forme de la fonction de Green : les variables espace et temps ne sont pas \d ecoupl ees" comme en 3D, ce qui donne des noyaux plus compliqu es a int egrer. D'autre part, le noyau poss ede une singularit e (int egrable) sur le bord du cône. Le cas 2D peut en fait être obtenu simplement a partir du 3D en int egrant par rapport a la troisi eme variable (on se ram ene a un probl eme 2D lorsqu'il y a une invariance par rapport a z) et cette int egration fait perdre le d ecouplage en x et t.. 3.3 Premier theoreme de representation La solution du probl eme mixte admet elle aussi une repr esentation int egrale qui fait intervenir ses traces sur la fronti ere de l'obstacle ;.. Notations : soit v 2 C 1( e ). On note 8 >> ve(x) v+(x) = x 2lim v(x0) e!x (14). x2; < >> @ve (x) @v+ (x) = lim nx rv(x0) x 2 ; x 2e !x : @n @n 0. 0. les traces ext erieures de v sur ;, o u n est la normale ext erieure a i . De mani ere analogue, on note avec un indice \i" ou \;" les traces int erieures et f ] = fi ; fe le saut de f a travers ;.. Theoreme 3.1. Si v est une solution classique de v = 0 dans e R a support dans t t0 et possedant des traces regulieres sur ; R, on a :. 8 Z @G >>< v(x t) = (x ; y t ; )ve(y )d y d. ;R @ny (15) > Z e >: ; ;R G(x ; y t ; ) @v @n (y )d y d x 2 e t 2 R Le second membre garde un sens pour x 2 i et vaut 0. 9.

(13) VII.10. Eliane BECACHE. Remarque 3.4 : la condition de support dans t t0 est essentielle. Si on ram ene. l'origine des temps a t = t0, cela revient a dire qu'on consid ere des conditions initiales nulles ainsi que toutes les d eriv ees en temps initiales.. Remarque 3.5 : cette formule de repr esentation est la base de la m ethode des equa-. tions int egrales. La remarque importante est que le champ v peut être reconstitu e dans tout l'espace a partir uniquement de ses traces sur la fronti ere de l'obstacle. Le but est alors d'obtenir une equation (bien pos ee !) sur ces traces an de les d eterminer et de pouvoir calculer la solution partout.. Demonstration :. on de nit le prolongement de v a tout l'espace 8< v(x t) dans R e (i) v~(x t) = : 0 dans ce R 1e re etape : on montre que la distribution v~ veri e : e (ii) ; v~ = @v @n (x t); + ve(x t); 0. ou ; est la derivee normale de . Soit 2 D(RN R), on a : v~ = v~ = Z v(x t)( @ 2 ; )(x t)dxdt 0. e. @t2. R. On applique la formule de Green (avec n= normale entrante dans e ) :. v~ = Z ( @ 2v ; v)(x t)(x t)dxdt 2 e R @t Z @ @v 1 dx v @t ; @t ]+;1 Z e + (ve @@n ; @v @n )d xdt +. On en deduit que. e. ;. R. e (x t) + v (x t) ; v~ = ; v1e + @v ; e ; @n 0. ou la deuxieme distribution est de nie par. D. E. ve (x t); = ; 0. Z R. ;. ve (x t) @@n d xdt. Par consequent si v est solution de v = 0 dans e , on obtient l'identite (ii). 2e me etape : { La distribution v~ est a support compact en espace. On peut donc la convoler en espace avec la solution fondamentale. L'hypothese sur le support de v en temps permet de plus de veri er que G et v ont aussi des supports convolutifs en temps (car G est elle-même a support t > 0).. 10.

(14) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.11. { On calcule v~ G en rempla!cant v~ par son expression (ii) et on identi e : v~ G a v~ G ce qui donne le resultat annonce.. Application On utilise de nouveau les expressions sp eciques de la solution fondamentale dans chacun des cas 3D et 2D. Le point d elicat vient du calcul du terme contenant @G . Cette d eriv ee ainsi que le produit de convolution sont a prendre au sens des @ny distributions. On r earrange les termes de fa%con a obtenir des noyaux int egrables.. en dimension 3. 8> Z (x ; y) ny ve(y t; j x ; y j) v_e(y t; j x ; y j) ! 1 >> v(x t) = 4 j x ; y j d y j x ; y j2 + j x ; y j ; >> Z 1 @ve >> 1 ; 4 ; j x ; y j @n (y t; j x ; y j)d y < (16)> ! Z 1 v >> e (y t; j x ; y j) = 4 ny rx d y >> j x ; y j ; Z >> e : ; 41 ; j x ;1 y j @v @n (y t; j x ; y j)d y. en dimension 2. (17). 8> Z Z t;jx;yj 1 1 >< v(x t) = 2 ; 0 2 ((t ; ) ; j x ; y# j2)1=2 " ! >> (x ; y) ny ve(y ) + v_ (y ) ; @ve (y ) d d : j x ; y j t ; + j x ; y j e y @n. Le th eor eme 3.1 fait appara^"tre deux termes int egraux (deux potentiels) dans la repr esentation de v. Nous allons maintenant etudier plus pr ecis ement chacun de ces potentiels.. 3.4 De nition des potentiels retardes et deuxieme theoreme de representation Dans toute cette partie on suppose que les fonctions ont susamment de r egularit e, et on d enit les potentiels classiquement. Nous verrons par la suite les 11.

(15) VII.12. Eliane BECACHE. espaces fonctionnels de type Sobolev dans lesquels on peut se placer pour l'analyse math ematique. Pour p et

(16) assez r eguli eres, on appelle potentiels retard es de simple et double couche sur ; les fonctions d enies sur (RN n;) R par :. Potentiel de simple couche (18). 8> Z >< Lp(x t) = G(x ; y ) (t) p(y )d y Z; Z >> : = G(x ; y t ; )p(y )d y d. R. ;. Potentiel de double couche (19). 8 >> M

(17) (x t) = Z @G (x ; y ) (t)

(18) (y )d y < ; @ny Z Z @G >> = (x ; y t ; )

(19) (y )d y d. : R ; @ny. Le th eor eme de repr esentation peut alors se r e ecrire et être compl et e :. Theoreme 3.2 a) Une solution assez reguliere de (1) peut s'ecrire 8> D < u(x t) = uI (x t) + MuDe (x t) ; L @ue (x t) @n >: t 0 x 2 e. (20). ou uI est donnee par (10).. b) Si de plus uI est assez reguliere dans un voisinage de ; pour t > 0, on a (21). 8> < u(x t) = uI (x t) + Mue (x t) ; L @ue (x t) @n >: t 0 x 2 e. Demonstration : D. la partie a) du theoreme decoule directement du theoreme 3.1 applique a v = u H (t) (i.e., on prolonge uD par 0 pour t 0).. 12.

(20) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.13. Etant donnees les hypotheses sur les supports des donnees, l'onde incidente veri e le probleme interieur suivant :. 8> I >> u >< I. = 0 dans i R. u (x 0). = 0 dans i. >> I >> @u (x 0) = 0 dans i : @t. On applique le theoreme 3.1 a w = H (t)uI =i R d'ou : I i w = MuIi ; L @u @n. et pour x 2 e on a donc I. i 0 = MuIi ; L @u @n. On somme cette egalite avec l'identite du a) pour obtenir le b), sous reserve que uI I I veri e uIe = uIi et @ui = @ue ce qui est en particulier vrai lorsque les donnees f u0 et u1 @n @n sont de classe C 2.. On peut en fait etablir d'autres repr esentations int egrales de la solution en lui associant un prolongement particulier dans le domaine int erieur :. Corollaire 3.1 Si v est une solution classique de v = 0 dans (e i) support dans t t0 et possedant des traces regulieres sur ; R, on a : (22). R a. " # @v ; M v] dans ( ) R v = L @n e i. Demonstration :. ce resultat est une consequence immediate du theoreme de representation 3.1 applique successivement a v=e et a v=i .. Remarque 3.6 : d'apr es le corollaire 3.1, on peut choisir a priori de repr esenter la solution par exemple : { par un potentiel de simple couche de densit e p, ce qui implique que le prolongement choisi est tel que v est continue a travers ; et p co)"ncide alors avec le saut de la d eriv ee normale de v. 13.

(21) VII.14. Eliane BECACHE. { par un potentiel de double couche de densit e ', ce qui implique que le prolon@v est continue a travers ; et ' co)"ncide alors avec le gement choisi est tel que @n saut de v. Il faut cependant être prudent au moment du choix du prolongement (ou de mani ere. equivalente du choix de la repr esentation int egrale) car chacun m ene a une equation int egrale di erente et un mauvais choix pourrait conduire a un probl eme mal pos e. An d' etablir les equations int egrales, on doit passer a la limite sur ; dans les expressions int egrales (20), (21)... de la solution, c'est a dire en prendre les traces.. 3.5 Traces des potentiels retardes 3.5.1 Traces d'un potentiel de simple couche Pour p assez r eguli ere, on pose (23). Z 8 >< v(x t) Lp(x t) = G(x ; y t ; )p(y )d y d. ;R >: x 2 RN n; t 2 R. v est alors solution classique de l' equation des ondes homog ene dans e R et i R et poss ede les traces suivantes pour (x t) 2 ; R :. (24). Z 8> v ( x t ) = v ( x t ) = G(x ; y t ; )p(y )d y d. ; >> + ;R >> >< @v+ (x t) = ; 1 p(x t) + Z @G (x ; y t ; )p(y )d y d. @n 2 ;R @nx >> @v; Z 1 p(x t) + @G (x ; y t ; )p(y )d d. >> ( x t ) = y 2 ;R @nx >> @n :. Remarque 3.7 : le noyau G est faiblement singulier donc l'int egrale dans (24) est bien d enie pour x 2 ;. Dans le cas des ondes acoustiques, la limite quand x0 ! x 2 ; de rv(x0 t) nx ne pose pas de probl eme non plus car, grâce au terme nx (x ; y) = O(j x ; y j2) si x y 2 ;, le noyau est encore faiblement singulier. C'est une di erence importante avec l' elasticit e, car dans ce cas, on n'a plus nx (x ; y) en facteur et @G devient singulier. L'int egrale dans (24) est cependant encore d enie le noyau @n y au sens d'une valeur principale de Cauchy. Rappelons bri evement que par d enition, 14.

(22) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.15. l'int egrale sur ; en valeur principale de Cauchy d'une fonction f (x y) singuli ere en y = x est (cf 39]) :. Z. Z f ( x y ) d = lim f (x y)d y y "!0 ; ;nfjx;yj"g. (25). Ces int egrales sont une dicult e en ce qui concerne la mise en oeuvre num erique et certains auteurs pr ef erent utiliser des techniques de r egularisation qui transforment ces int egrales en int egrales a noyaux faiblement singuliers (par des int egrations par parties, pour l' elastodynamique voir par exemple 11], 51] ...). On note S et K les op erateurs d enis sur ; R par (26). Z 8> Sp ( x t ) = G(x ; y t ; )p(y )d y d. <> ;R >> Kp(x t) = Z @G (x ; y t ; )p(y )d y d. : ;R @nx On a donc pour v = Lp. 8> >> v+ = v; = Sp >>< @v+ 1 I + K )p = ( ; 2 >> @n >> @v; = ( 12 I + K )p >: @n. (27) et v est solution de. (28). 8> v = 0 dans ( ) R e i + >> >< v] = 0 >> " # >> @v = p : @n. 3.5.2 Traces d'un potentiel de double couche Pour ' assez r eguli ere, on pose. (29). 8 >< v(x t) = ;M'(x t) = ; Z @G (x ; y t ; )'(y )d d. y ;R @ny >: x 2 RN n; t 2 R 15.

(23) VII.16. Eliane BECACHE. v est alors solution classique de l' equation des ondes homog ene dans e R et R et poss ede les traces suivantes pour (x t) 2 ; R :. i. (30). 8 >> v (x t) = ; 1 '(x t) ; Z @G (x ; y t ; )'(y )d d. y >< + 2 ;R @ny >> v (x t) = 1 '(x t) ; Z @G (x ; y t ; )'(y )d d. y : ; 2 ;R @n y. et. 8> @v+ ; >< @n (x t) = @v rx v(x0 t) nx @n (x t) = x0 = lim x + "nx (31) >> " > 0 " ! 0 : D'(x t) On note K 0 l' op erateur d eni sur ; R par Z @G 0 (32) K '(x t) = (x ; y t ; )'(y )d y d. ;R @ny 0. L'op erateur K 0 est en quelque sorte le dual de l'op erateur K d eni pr ec edemment (pas tout a fait vrai en hyperbolique car t et ne jouent pas le même rôle). Encore une fois, l'int egrale d enissant K 0 a un noyau faiblement singulier dans le cas de l' equation des ondes acoustiques, mais est d enie au sens d'une valeur principale de Cauchy pour l' elastodynamique. L'op erateur D d eni en (31) comme la d eriv ee normale du potentiel de double couche n'est pas connu explicitement en fonction de ' car le noyau rx ( @G ) est @ny hypersingulier. On peut cependant lui donner un sens, au sens des distributions (voir 29] pour le 3D harmonique, 22] pour le 3D temporel, 6] pour le 2D temporel). Soit

(24) 2 D(;), on a : { en dimension 3 0. Z n x ny 1 hD'( t)

(25) i = 4 ;; j x ; y j ')(y t; j x ; y j)

(26) (x)d xd y (33) Z rot ~ ;'(y t; j x ; y j) rot ~ ;

(27) (x) 1 d xd y + 4 j x;y j ;; ~ ; d esigne le rotationnel surfacique. o u rot. { en dimension 2. Z Z t;jx;yj 1 1 hD'( t)

(28) i = 2 ;; 0 2 ((t ; ) ; j x ; y j2)1=2 ! (34) d' d

(29) nx ny ')(y )

(30) (x) + ds (y ) ds (x) d d x d y 16.

(31) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.17. On a donc pour v = ;M'. (35). 8> >> v+ = (; 12 I ; K 0)' >> <v = ( 12 I ; K 0)' ; >> >> @v+ @v; >: @n = @n = D'. et v est solution de. (36). 8> v = 0 dans ( ) R e i + >> >< v] = ' >> " # >> @v = 0 : @n. Remarque 3.8 : des formules analogues a (33), (34) peuvent être etablies dans le. cas des ondes elastiques, mais cela demande un peu plus de sueur !... Pour les ondes acoustiques, elles s'obtiennent facilement a partir des formules etablies pour Helmholtz, en prenant une transform ee de Fourier inverse (en temps). Pour l' elasticit e, on proc ede de la même mani ere, mais la formulation en fr equences n'est pas unique et il s'agit de choisir la bonne formulation pour le passage en temps, i.e., celle qui conserve a la formulation son caract ere causal. Cette formulation repose sur une d ecomposition d'une fonction de Green en deux termes et cette d ecomposition doit être faite de telle sorte que les deux noyaux v erient la causalit e (voir 9],8]).. Remarque 3.9 : on peut aussi donner un sens a D' \directement" (sans passer par. les distributions), en utilisant des m ethodes de r egularisation. Plusieurs techniques existent et il existe une litt erature tr es fournie dans ce domaine (notamment en elasticit e fr equentielle, voir par exemple 11], 38],49]...).. 4 Quelques exemples d'equations integrales Nous disposons maintenant des outils n ecessaires pour pouvoir ecrire les. equations int egrales a r esoudre. Nous allons voir qu'il existe en fait plusieurs equations int egrales associ ees a un même probl eme. D'apr es le th eor eme 3.2 et le corollaire 3.1, on peut utiliser plusieurs repr esentations int egrales, que nous notons ici : D + (i) uD = MuD+ ; L @u @n 17.

(32) VII.18. Eliane BECACHE. + (ii) u = uI + Mu+ ; L @u @n. " D# h i (iii) uD = ;M uD + L @u @n. 4.1 Probleme de Dirichlet La condition aux limites s' ecrit alors. BuD = uD+ = g sur ; R+. (37). avec g = ;uI =;R+ , ou encore. Bu = u+ = 0 sur ; R+. (38). Equations integrales de premiere espece ? Representation (i) La formule de repr esentation de l'onde diract ee (i) nous donne D + uD = Mg ; L @u @n dans e R+. (39). On exprime la condition aux limites (37) en prenant la trace de (39), ce qui, compte tenu des r esultats pr ec edents sur les traces des potentiels, donne l' equation int egrale de premi ere esp ece suivante : (40) SpD = (; 21 I + K 0)g avec pD = @u+ . @n D. ? Representation (ii) Si on ecrit cette fois la formule de repr esentation de l'onde totale (ii), on obtient, compte tenu de la condition aux limites (38), une repr esentation de la solution comme somme de l'onde incidente et d'un potentiel de simple couche: + (41) u = uI ; L @u @n dans e R+ 18.

(33) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.19. On exprime la condition aux limites (38) en prenant la trace de (41), et on + obtient l' equation int egrale de premi ere esp ece d'inconnue p = @u @n suivante:. Sp = ;g. (42). Les equations int egrales (42) et (40) ont la même structure, elles reviennent toutes les deux a inverser l'op erateur S .. ? Representation (iii) Les equations pr ec edentes proviennent d'une repr esentation de la solution a l'aide de ses traces sur ;, c'est a dire en consid erant un prolongement par 0 a l'int erieur. Il est egalement possible de choisir le type de repr esentation que l'on veut, en utilisant (iii). Si, par exemple, on veut l'onde diract ee a priori sous forme d'un potentiel de simple couche de densit e q :. uD = Lq. dans (i e) R+. ceci revient a prolonger l'onde diract ee a l'int erieur de telle sorte que uD soit continue a" la travers. # ee de ;. La densit e repr esente alors le saut de la d eriv ee normale, q = D @u , et est solution d'une equation de premi ere esp ece de même type que les @n pr ec edentes : (43) Sq = g. Equations integrales de deuxieme espece Cherchons la solution uD sous forme d'un potentiel de double couche de densit e. ': (44) uD = ;M' dans (i e) R+ D'apr es (iii), ceci revient a prolonger l'onde diract ee a l'int erieur de telle sorte que D @uD; , et la densit e + = sa d eriv ee normale soit continue a la travers ee de ;, i.e., @u @n @n h Di D repr esente alors le saut de u , ' = u . En prenant la trace de (44), on obtient l' equation int egrale de deuxi eme esp ece d'inconnue ' : (45) ( 21 I + K 0)' = ;g 19.

(34) VII.20. Eliane BECACHE. 4.2 Probleme de Neumann On proc ede exactement de la même mani ere que pour le probl eme de Dirichlet. La condition aux limites s' ecrit ici D + BuD = @u (46) @n = g sur ; R+ I @u avec g = ; @n+ , ou encore + (47) Bu = @u @n = 0 sur ; R+. Equations integrales de premiere espece ? Representation (ii) La formule de repr esentation de l'onde totale (ii) nous donne (48). u = uI + Mu+. dans e R+. On exprime la condition aux limites (47) en prenant la d eriv ee normale de (48), ce qui donne l' equation int egrale de premi ere esp ece, d'inconnue u+, suivante :. Du+ = ;g. (49). Remarque 4.1 : on peut v erier que la repr esentation (48) sur l'onde totale revient a chercher l'onde diract ee soush la iforme d'un potentiel de double couche de densit e ', uD = ;M'. On a" alors#' = uD = u] = ;u+, ce qui signie que le prolongement. D int erieur uDi tel que @u @n = 0 correspond a un prolongement par 0 sur l'onde totale.. ? Representation (i) Si on proc ede de la même mani ere avec la repr esentation (i) de l'onde diract ee : (50) uD = MuD+ ; Lg dans e R+ on obtient l' equation de premi ere esp ece d'inconnue uD+ : (51). DuD+ = ( 12 I + K )g 20.

(35) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.21. Les equations int egrales (49) et (51) ont la même structure, elles reviennent toutes les deux a inverser l'op erateur D. Le second membre de (51) etant plus compliqu e a evaluer, elle n'est pas utilis ee en pratique.. Equations integrales de deuxieme espece ? Representation (ii) On peut prendre la trace de (48) au lieu de sa d eriv ee normale et on obtient alors l' equation de deuxi eme esp ece d'inconnue u+ ( 21 I ; K 0)u+ = uI+ (52). ? Representation (iii) Cherchons la solution uD sous forme d'un potentiel de simple couche de. densit e p : (53) uD = Lp dans (i e ) R+ D'apr es (iii), ceci revient a prolonger l'onde diract ee a l'int erieur de telle sorte que uD soit continue a la travers ee "de ;, #i.e.,uD+ = uD; , et la densit e repr esente alors le D saut de la d eriv ee normale, p = @u @n . La d eriv ee normale de (53) donne l' equation (54) en quelque sorte duale de (52).. ( 12 I ; K )p = ;g. Remarque 4.2 : on utilise la d enomination abusive \premi ere esp ece" et \deuxi eme. esp ece" par analogie avec les equations int egrales obtenues pour les probl emes elliptiques. Dans ces cas-l a, ce sont des equations de premi ere et deuxi eme esp ece au sens de Fredholm, mais ce n'est plus vrai pour les potentiels retard es. Ce n'est donc pas a l'aide de la th eorie de Fredholm qu'on va les etudier. Avant d'aller plus loin, faisons quelques remarques sur les equations int egrales de premi ere esp ece et deuxi eme esp ece "habituelles", c'est a dire celles qui entrent dans le cadre d' etude de la th eorie de Fredholm. Traditionnellement, les equations de deuxi eme esp ece sont les plus utilis ees num eriquement, celles de premi ere esp ece ayant mauvaise r eputation. Ceci provient du fait qu'on dispose de la th eorie de Fredholm pour analyser une equation du type (I + N )f = g lorsque N est un op erateur compact. Examinons la situation en ce qui concerne l'op erateur de Laplace. Les op erateurs K et K 0 sont alors compacts dans L2 et on peut montrer que les equations de deuxi eme esp ece associ ees sont bien 21.

(36) VII.22. Eliane BECACHE. pos ees dans L2. Ces equations sont en pratique approch ees par collocation et une analyse num erique permet d'obtenir des r esultats de stabilit e et de montrer que les matrices a inverser ont un conditionnement en O(h). Cette th eorie ne s'applique plus aux equations de premi ere esp ece. De plus, ces equations reviennent a inverser une convolution, ce qui est en g en eral tr es instable car l'int egration est une op eration r egularisante. Cependant ces raisonnements ne sont plus vrais en ce qui concerne les. equations int egrales car les noyaux poss edent une singularit e en x = y ce qui gomme le lissage de l'int egration et on comprend intuitivement que cela va permettre de les inverser. D'un point de vue math ematique, les op erateurs S et D ne sont pas bijectifs dans L2. Cependant, on peut montrer par d'autres techniques que les equations int egrales de premi ere esp ece sont bien pos ees lorsqu'on cherche a les r esoudre dans le bon cadre fonctionnel (voir par exemple 28], 32], 45]). Pour l'op erateur de Laplace, par exemple, l'op erateur S est bijectif de H s dans H s+1 et l'op erateur D de H s dans H s;1 . L'analyse est faite par des techniques variationnelles et conduit donc a des approximations par des sch emas de Galerkin. La perte ou le gain d'un cran de r egularit e de l'op erateur se traduit par un conditionnement des matrices en O(1=h), ce qui est a priori moins bon que pour les equations de seconde esp ece. En fait, les sch emas num eriques ont de tr es bonnes propri et es : en eet, la formulation variationnelle d ecoule directement de celle du probl eme volumique associ e et pr eserve donc la coercivit e et la sym etrie. En pratique, ces m ethodes ont et e mises en oeuvre dans de nombreuses situations (ondes acoustiques, electromagn etiques, elastiques, : : : ) et se sont r ev el ees tr es stables et performantes. Il est a noter que les m ethodes de collocation approchant les equations de seconde esp ece n ecessitent en moyenne dix points par longueur d'onde pour obtenir de bons r esultats, alors que les m ethodes variationnelles approchant les. equations de premi ere esp ece n'en n ecessitent que cinq. Il semble donc que la pr ef erence pour l'utilisation syst ematique des equations de deuxi eme esp ece, d'un point de vue num erique, plutôt que celles de premi ere esp ece ne se justie pas vraiment. En ce qui concerne les potentiels retard es, les equations int egrales appel ees ici de deuxi eme esp ece n'entrent plus dans le cadre de la th eorie de Fredholm et en particulier, Ha Duong a montr e (cf 22]) que dans des espaces de Sobolev naturels (li es a l' energie) les op erateurs K et K 0 ne sont pas compacts. L'analyse qui va être men ee dans la suite, montre comment obtenir des r esultats sur ces equations dans des espaces fonctionnels appropri es.. Conclusion : on a vu 4 types d' equations int egrales, avec des seconds membres plus ou moins compliqu es a evaluer : { l' equation int egrale de premi ere esp ece 1 (Dirichlet simple couche) Sp = g { l' equation int egrale de premi ere esp ece 2 (Neumann double couche) D' = g { les equations de deuxi eme esp ece ( 12 I K )p = g et ( 12 I K 0)' = g 22.

(37) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.23. Pour chacune de ces equations, il est possible de d eterminer un cadre fonctionnel (de type espaces de Sobolev) dans lequel une analyse math ematique peut être men ee (existence, unicit e, stabilit e ...). La plus utilis ee num eriquement est l' equation de deuxi eme esp ece. Cependant, ce choix ne se justie pas ici, car comme nous allons le voir, les equations de premi ere esp ece conduisent a des probl emes bien pos es. Nous allons etudier dans le paragraphe suivant l'une de ces equations en d etail.. 5 Analyse mathematique d'un probleme modele : le probleme de Neumann double couche Nous avons choisi de traiter ici l' equation int egrale de premi ere esp ece associ ee au probl eme de Neumann double couche. La d emarche pour le probl eme de Dirichlet simple couche est analogue. Pour plus de d etails sur ce sujet, ou pour voir comment traiter un autre cas, on peut se r ef erer a Ha Duong, 22]. Rappelons d'abord le probl eme. On cherche la solution uD du probl eme diract e :. 8> D = 0 dans e R+ >> u >< D u (x t 0) = 0 dans e (55) >> >>: @uD+ = g sur ; R+ @n sous forme d'un potentiel de double couche de densit e ' (56). uD = ;M'. h i. La densit e repr esente alors le saut du champ a travers ;, ' = uD , et le champ a et e prolong e a l'int erieur par la solution du probl eme suivant :. (57). 8 D >> u = 0 dans i R+ >> < uD (x t 0) = 0 dans i >> D >: @u; = g sur ; R+ @n. Le champ uD est donc d eni dans = i e et sa d eriv ee normale est continue a la travers ee de ;. La condition de Neumann conduit alors a r esoudre l' equation int egrale de premi ere esp ece suivante : (58) D' = g sur ; R+ 23.

(38) VII.24. Eliane BECACHE. Rappelons que l' energie de l'onde a pour expression : D 1 2 D 2 E (t) = 12 k @u (59) k 0 + k ru k0 @t 2 On se place dans RN avec N = 2 ou 3. Nous allons pr esenter l' etude de l'op erateur D et de l' equation (58) en passant par une transform ee de Fourier-Laplace en temps, ce qui est possible car on travaille avec des fonctions causales. Le probl eme (55), (57) est alors transform e en un probl eme de Helmholtz avec une fr equence ! complexe et on peut etudier l' equation int egrale associ ee. La forme bilin eaire de la formulation variationnelle associ ee a cette equation int egrale v erie une in egalit e de coercivit e, ce qui permet d'obtenir l'existence et l'unicit e de la solution ainsi que des estimations par rapport aux donn ees. Pour pouvoir transposer ces r esultats en temps, il faut conna^"tre les d ependances par rapport a !, ce qui n'est pas classique pour l' etude de l' equation de Helmholtz. On peut alors faire une transform ee de FourierLaplace inverse et obtenir des r esultats sur l' equation espace-temps (58). L'analyse du probl eme en fr equence peut être faite dans deux types d'espaces : les espaces de Sobolev munis des normes usuelles et les espaces de Sobolev munis de normes li ees a l' energie. Ils conduisent a deux types d'espaces en temps, et on indiquera les di erences entre les r esultats obtenus dans chacun des cas. Les espaces li es a l' energie permettront d'avoir des estimations plus nes et de perdre moins de r egularit e en temps sur la solution. Cependant, ils ont l'inconv enient de coupler les variables d'espace et de temps, ce qui rend plus d elicate leur approximation. Pour l'analyse num erique, on se placera donc dans les espaces d ecoupl es (c'est a dire ceux qui sont li es aux normes usuelles).. 5.1 Transformation de Fourier-Laplace du probleme Denition Faisons d'abord quelques rappels. Si E est un espace de Banach, on peut d enir la transform ee de Fourier sur l'ensemble S 0(E ) des distributions temp er ees de R a valeurs dans E . On etend alors cette transform ee a un demi-plan complexe pour des distributions causales. On consid ere une distribution f de R a valeurs dans E , causale - i.e. supp (f ) R+ - o u supp (f ) repr esente le support de f en temps et telle que 9!I0(f ) > 0 tel que e;!I0tf (t) 2 S 0(E ): La distribution e;!I tf (t) est alors encore dans S 0(E ) pour tout !I > !I0 > 0 et on d enit la transform ee de Fourier-Laplace de f comme etant la transform ee de Fourier de e;!I tf (t), c'est a dire par :. f^(!) =. Z. R. f (t)ei!tdt = F(t)(e;!I tf (t))(!R) 24.

(39) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.25. avec ! 2 C , ! = !R + i!I . On note L0(E ) l'ensemble form e de telles distributions, c'est a dire des distributions Fourier-Laplace transformables de R a valeurs dans E : n o L0(E ) = f 2 D0(E ) supp (f ) R+ 9!I0(f ) tel que e;!I0 tf (t) 2 S 0(E ) j. Theoreme de Paley-Wiener Rappelons le th eor eme de Paley-Wiener donnant des conditions n ecessaires et susantes pour qu'une distribution soit la transform ee de Fourier-Laplace d'une distribution de L0(E ). D'apr es le th eor eme de Paley-Wiener, on a l' equivalence entre les assertions (i) et (ii) suivantes : (i) h(!) = f^(!) avec f 2 L0(E ) (ii) (a) h est holomorphe dans un demi-plan complexe f=m(!) > !I0g a valeurs dans E et. (b). 91 > !I0 C > 0 et k 0 tels que k h(!) kE C (1+ j ! j)k 8! tel que =m(!) 1. Plan de travail A quoi va nous servir le th eor eme de Paley-Wiener ? au risque de nous r ep eter (!...), donnons les etapes de l'analyse ( etapes qui reviendront d'ailleurs dans les d emonstrations qui vont suivre) : rappelons que le but de cette partie est l' etude de l' equation int egrale (58) (ou encore de l'op erateur D) associ ee a un probl eme volumique de Neumann transitoire. Des m ethodes classiques ne permettent pas de l' etudier directement. Moyennant des hypoth eses de r egularit e sur la donn ee g et en cherchant la solution dans un espace appropri e, on peut grâce a l'implication (i) =) (ii) d enir la transform ee de Fourier-Laplace de cette equation pour toute fr equence appartenant a un demi-plan complexe. L' etude a fr equence ! x ee permet d'obtenir l'existence et l'unicit e d'une solution +(!) de l' equation int egrale transform ee.. L'implication inverse (ii) =) (i) va nous servir pour revenir au probl eme transitoire: en eet, si on peut v erier que +(!) satisfait les conditions (ii) (a) et (b) on pourra en d eduire l'existence d'une distribution ' = F ;1(+) dans un espace appropri e. On v eriera que cette distribution est bien solution de l' equation int egrale en temps (58). En fait, l'analyse du probl eme en fr equences va fournir des estimations sur + plus pr ecises que (ii), (b) demand ee par Paley-Wiener. On va exploiter ces estimations et être amen es a d eterminer des espaces fonctionnels plus ns que L(H 1=2(;)), ce qui donnera le bon cadre fonctionnel pour chercher une solution de l' equation en temps 25.

(40) VII.26. Eliane BECACHE. (58). L'analyse de l' equation int egrale en fr equences va d ecouler de celle du probl eme volumique associ e. On peut r ecapituler cela par le diagramme formel suivant : F c+ = g^ ' solution de D' = g ;! +(!) solution de D 1 F ' = u] + = U (!)] ; ;. #". u solution de (55) (57) u = ;M'. F ;! F1 ; ;. #". d (57) d U (!) solution de (55) c+ U = ;M. Transformation de Fourier-Laplace du probleme On suppose que g est une distribution Fourier-Laplace transformable a valeurs dans H ;1=2(;) (i.e., g 2 L0(H ;1=2(;))) et on suppose que le probl eme (55), (57) admet une solution uD dans L0(H 1()). La transform ee de Fourier-Laplace de la solution, u^D , v erie alors le probl eme transform e suivant :. (60). 8 (; ; !2)ûD = 0 dans >> >< @ u^D = g^ sur ; >> @n >: D 1 u^ 2 H (). o u ! 2 =m(!) > !I0 > 0. La derni ere condition exprime le fait qu'on cherche les solutions d' energie nie et grâce a la partie imaginaire de ! cela sut a d enir un probl eme bien pos e, sans avoir besoin de condition de radiation a l'inni. De même que pour le probl eme en temps, on peut d enir les potentiels de simple et double couche et montrer qu'ils correspondent aux transform ees de Fourier-Laplace de ceux d enis en temps (le produit de convolution est remplac e par un simple produit). Potentiel de simple couche (61). L! p^(x !) =. Z. ;. G^ (x ; y !)^p(y !)d y x 2 RN n ;. c (x !) = Lp. Potentiel de double couche (62). Z @ G^ (x ; y !)

(41) ^(y !)d y x 2 RN n ; @n ; y d = M

(42) (x !). M!

(43) ^(x !) =. 26.

(44) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.27. ainsi que leurs traces.. c ou encore formellement L! = Lb exprime que le Remarque 5.1 : l' egalit e L! p^ = Lp. potentiel en fr equences est simplement la transform ee de Fourier-Laplace du potentiel correspondant en temps. Ceci est une cons equence du fait que la solution fondamentale du probl eme transform e en fr equences co)"ncide avec la transform ee de Fourier-Laplace de la solution fondamentale du probl eme en temps (ce qui est clair car d (t) = 1). Cette propri et e est donc v eri ee par tous les potentiels et leurs traces. On peut alors montrer que le probl eme (60) est bien pos e d es que g^ 2 L0(H ;1=2(;)). La solution de (60) peut se repr esenter sous forme d'un potentiel de double couche de densit e '^ = ûD] solution de l' equation int egrale. D! '^ = g^. (63). sur ;. o u l'op erateur D! est d eni par. 8 D '^(x !) = 0 ! ) nx lim r ( ; M ' ^ )( x >>< ! x ! x0 = x + "nx (64) " > 0 " ! 0 >>: = D'(x :)(!) c. et encore une fois, on remarque que l'op erateur D! co)"ncide avec D. \. 0. Nous allons montrer un certain nombre de propri et es de D! ce qui permettra d'analyser l'op erateur en temps D. Donnons d'abord quelques d enitions. L' energie transform ee s'exprime par : (65) E^ (ûD !) = 12 k !u^D k20 + 12 k ru^D k20 On remarque que pour ! 2 f=m(!) > !I0g, l' energie d enit sur H 1() une norme equivalente a la norme usuelle. Nous la noterons : (66) k u k21!=k !u k20 + k ru k20= 2E^ (u !) On peut de même d enir une norme li ee a l' energie sur les espaces H s (;). Consid erons le cas particulier o u ; est soit l'axe R si N = 2, soit le plan R2 si N = 3 (i.e. ; = RN ;1 ). Les normes usuelles sur H s (;), pour s > 0, peuvent alors être d enies a partir de la transform ee de Fourier :. k ' k2s;=. Z. RN 1 ;. (1+ j j2)s j '~ j2 ()d 27.

(45) VII.28. Eliane BECACHE. o u '~ d esigne la transform ee de Fourier par rapport a la variable d'espace (x1 : : : xN ;1). Les normes li ees a l' energie sont alors d enies par :. k ' ks!;= 2. Z. RN 1 ;. (j ! j2 + j j2)s j '~ j2 ()d. Pour s < 0, on d enit la norme par dualit e. Dans le cas g en eral d'un obstacle born e quelconque, on proc ede de la même mani ere en d enissant des cartes locales. Les equivalences entre les normes usuelles et les normes li ees a l' energie s'expriment par les in egalit es suivantes : Pour tout u 2 H 1() (67) Cm(!I0) k u k1 k u k1! CM (!) k u k1 C~M (!I0) k !u k1 avec 8> C (!0) = min(1 !0) = C m I > m I (68). >> >< CM (!) = max(1 j ! j) = CM >> >> ~ 0 1 + !I02 !1=2 ~ = CM : CM (!I ) = !02 I. Pour tout s > 0 et tout ' 2 H s (;) (69) Cms k ' ks; k ' ks!; CMs k ' ks; C~Ms j ! js k ' ks; L'analyse du probl eme sera pr esent ee dans les espaces de Sobolev munis des normes usuelles. Nous donnerons a titre indicatif les r esultats obtenus dans les espaces li es a l' energie, ces r esultats s'obtenant de la même fa%con. Avant d' etudier le probl eme (60) ainsi que l' equation int egrale (63) qui lui est associ ee, donnons quelques r esultats pr eliminaires.. Lemme 5.1 (de trace). L'application = :] est une application lineaire continue et surjective de H 1 () dans H 1=2(;). Il existe donc une constante C = C (;) telle que (70) k v k1=2; C k v k1 8v 2 H 1(). Demonstration :. ce lemme est une consequence immediate du lemme de trace habituel applique successivement dans i et dans e .. Lemme 5.2 (de relevement). Pour tout 2 H 1=2(;) on peut trouver un \relevement", - dans H 1(), i.e. une fonction v = - 2 H 1 () telle que v = , qui verie : 28.

(46) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.29. k v k21! CC j ! jk k21=2;= Cmax(1 !10 ) j ! jk k21=2;. (71). m. I. ou C = C (;) ne depend pas de !.. Demonstration :. voir 4].. 5.2 Analyse du probleme transforme L'analyse de l'op erateur D! (et de l' equation (63)) d ecoule de celle du probl eme volumique :. 8> (; ; !2)U = 0 dans >> < @U ! = g^(!) sur ; >> @n >: U 2 H 1(). (72). Chercher une solution du probl eme (72) , U 2 H 1(), revient a chercher la solution du probl eme variationnel suivant :. 8> Trouver U 2 H 1() telle que < >: a(U v) = L(v) 8v 2 H 1(). (73) avec : (74). 8 >>< a(u v) = Z (ru:rv ; !2uv)dx >:> L(v) = Z g^ v] d ;. le :. Nous regroupons un certain nombre de r esultats concernant ce probl eme dans. Theoreme 5.1 a) La forme bilineaire a(: :) verie l'inegalite de coercivite suivante : 8 >>< <e(a(v ;i!v)) = !I k v k21!= 2!I E^ (v !) (75) >>:. !I0Cm2 k v k21 8v 2 H 1() 29.

(47) VII.30. Eliane BECACHE. b) Si g^ 2 H ;1=2(;), le probleme (73) admet une unique solution U dans H 1().. Cette solution est continue par rapport a la donnee g^ :. !I0Cm2 k U k1 C j ! jk g^ k;1=2;. (76). c) L'operateur : g^ 2 H ;1=2(;) ;! U 2 H 1() solution de (73) est un isomorphisme et la constante de continuite de son inverse est donnee par : k g^ k;1=2; C j ! j1=2 max(1 q1 0 ) k U k1! (77). !I. Remarque 5.2 : notons X! l'espace : @v ] = 0g X! = fv 2 H 1()# (; ; !2)v = 0 dans # @n On peut montrer que X! est un sous-espace ferm e de H 1(). Pour tout v 2 X! , on peut d enir sa d eriv ee normale @v=@n par le crochet de dualit e entre H ;1=2(;) et H 1=2(;) (formule de Green) :. *. + @v @n ;1=21=2; = a(v -). 8 2 H 1=2(;). o u - est l'op erateur de rel evement d eni au lemme 5.2. Il est alors facile de montrer que U est solution du probl eme (73) si et seulement si U 2 X! et @U @n = g^.. Demonstration : (du th eor eme 5.1) a) On a : Z. a(v ;i!v) = (j rv j2 i!" ; i! j !v j2) . et en prenant la partie reelle, on obtient (75).. b) La forme lineaire L veri e : (78) j L(v) jk g^ k;1=2;k v k1=2; Le terme de droite peut être majore grâce a l'estimation (70) du lemme de trace, ce qui montre la continuite de L sur H 1 : (79). j L(v) jk g^ k;1=2;k v k1 30.

(48) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.31. En appliquant Cauchy-Schwartz, on obtient aussi la continuite de la forme bilineaire a(: :): (80) j a(u v) jk u k1!k v k1! C~M2 j ! j2k u k1k v k1 Encore une fois, dans l'estimation (80), on voit que les normes naturelles sont les normes liees a l'energie. Etant donnee la coercivite de a(: :) etablie dans le a), on peut appliquer Lax-Milgram et en deduire l'existence et l'unicite de la solution de (73). L'estimation de stabilite (76) provient de la coercivite de a(: :) et de la continuite de L(:). En e#et, pour v = ;i!U , on a. j a(U ;i!U ) j=j L(;i!U ) j On utilise (75) pour minorer le terme de gauche et (78) pour majorer celui de droite. !I0 k U k21! j ! jk g^ k;1=2;k U k1=2;. (81). et en utilisant a nouveau le theoreme de trace, on obtient. !I0 k U k21! C j ! jk g^ k;1=2;k U k1 Le terme de gauche de l'inegalite (67) permet nalement d'obtenir (76).. c) Pour montrer l'estimation de continuite de l'operateur inverse, on utilise le lemme de relevement : pour tout 2 H 1=2(;), on de nit v = % tel que v ] = et et pour tout on a. 1=2 k v k1! CC j ! j k k1=2; m hg^ i;1=21=2 = hg^ v]i;1=21=2 = a(U v). D'apres la continuite (80) de a(: :), on a donc. j hg^ i;1=21=2 jk U k1!k v k1! On utilise la majoration de k v k en fonction de la norme de :. 1=2 j hg^ i;1=21=2 jk U k1! CC j ! j k k1=2; m 31.

(49) VII.32. Eliane BECACHE. ce qui, par de nition de la norme dans H ;1=2, donne (77).. De même que pour le probl eme en temps, il est facile de montrer, a l'aide des th eor emes de repr esentation, que la solution U de (73) peut se repr esenter sous forme d'un potentiel de double couche de densit e +,. U = ;M! +. (82) o u, par d enition (83). + = U ]. Les estimations (81) et (77) donnent alors une majoration de la solution en fonction de son saut, i.e. du potentiel de double couche en fonction de sa densit e : (84) k U k1! !C0 max(1 011=2 ) j ! j3=2k + k1=2; !I I ou encore, en utilisant (75), (85). k U k1 C5=2 j ! j3=2k + k1=2;. (86). 8> U + !2U = 0 dans >> < " @U # >> @n = 0 >: U ] = +. Cm En d enissant l'op erateur D! par (64), on en d eduit que + est solution de (63). En particulier, l'existence d'une solution du probl eme variationnel (73) entraine donc l'existence d'une solution de l' equation int egrale (63). R eciproquement, pour + donn ee dans H 1=2(;), si on d enit U (+) dans H 1() comme le potentiel de double couche de densit e +, d'apr es les propri et es du potentiel de double couche, U (+) v erie :. c'est a dire que U (+) 2 X! et U ] = +. Si + v erie l' equation (63), on en d eduit, par d enition de D! , que U (+) v erie la condition aux limites @U (+) = g^ sur ; @n ce qui signie que U (+) est solution de (73). En particulier, si + v erie l' equation (63) homog ene, on en d eduit que U (+) est solution de (73) homog ene, ce qui implique d'apr es l'unicit e de la solution de (73) que U (+) 0 d'o u + = U (+)] 0. On a donc unicit e de la solution de (63). 32.

(50) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.33. L' equivalence entre (73) et (63) peut être r esum ee dans le :. Lemme 5.3 a) Les deux assertions suivantes sont equivalentes : (i) U 2 H 1() est solution de (73) et + = U ]. (ii) + 2 H 1=2(;) est solution de (63) et U = ;M! +. b) Pour tout g^ 2 H ;1=2(;), l'equation (63) admet une unique solution + 2 H 1=2(;).. An d' etudier l'op erateur D! , on introduit la formulation variationnelle int egrale de (63), qui grâce a la formule de Green est reli ee a la formulation variationnelle volumique (73):. 8 >> Trouver + 2 H 1=2(;) telle que >< >> hD! + i;1=21=2; = hg^ i;1=21=2; >: 8 2 H 1=2(;). (87). Par la suite, on notera. b! (+ ) = hD! + i;1=21=2;. Donnons une \formule de passage" entre la formulation variationnelle volumique et la formulation variationnelle int egrale. On se donne + 2 H 1=2(;) et on pose U (+) = ;M! + 2 H 1(). Pour tout 2 H 1=2(;), d'apr es la surjectivit e du saut, on peut d enir v() 2 H 1() tel que v] = . Et pour tout 2 H 1=2(;), on a par d enition de D! : * + @U (+) b! (+ ) = @n v] ;1=21=2; En appliquant la formule de Green, on en d eduit que, 8+ 2 H 1=2(;) et 8 2 H 1=2(;), on a : (88) b!(+ ) = a(U (+) v()) o u U (+) = ;M! + et v() est n'importe quel rel evement de dans H 1(). On a l' equivalence, entre les formulations variationnelles volumiques et int egrales, analogue a celle etablie au lemme 5.3 :. Lemme 5.4. Les deux assertions suivantes sont equivalentes : (i) U 2 H 1() est solution de (73) et + = U ].. 33.

(51) VII.34. Eliane BECACHE. (ii) + 2 H 1=2(;) est solution de (87) et U = ;M! +. Demonstration : (i) ) (ii) Si U 2 H 1() est solution de (73) et = U ], d'apres le lemme 5.3, 2 H 1=2(;) est solution de (63) et U = ;M! . Il est clair que alors veri e aussi (87). (ii) ) (i) Si 2 H 1=2(;) est solution de (87) et U = ;M! on a pour tout 2 H 1=2(;): b! ( ) = hg^ i;1=21=2; Soit v 2 H 1(), posons = v ]. La formule de passage (88) permet de conclure que U veri e a(U v) = b! ( ) = hg^ v ]i donc (73).. Theoreme 5.2 a) Pour ! 2 f=m(!) > !I0g, l'operateur D! est un isomorphisme entre H 1=2(;) et H ;1=2 (;) et sa norme verie la majoration suivante. (89). k D! + k;1=2; !0CC j ! j2k + k1=2; 8+ 2 H 1=2(;) I m. b)Pour ! 2 f=m(!) > !I0g, la forme bilineaire de (87) verie l'inegalite de. coercivite suivante : (90) <e(b!(+ ;i!+)) Cm2 !I0 k + k21=2; 8+ 2 H 1=2(;). c) Pour tout g^ 2 H ;1=2(;), le probleme (87) admet une unique solution + 2. H 1=2(;), egalement unique solution de (63) et veriant : (91) Cm2 !I0 k + k1=2; j ! jk g^ k;1=2;. Demonstration : Pour montrer l'estimation de continuite de D! , on utilise la formule 1=2. de passage. Soient et dans H (;). On pose u() = ;M! et v ( ) le relevement de de ni par le lemme 5.2. La formule de passage 88 et la continuite de la forme bilineaire a(: :) donnent alors j hD! i j=j a(u() v( )) jk u k1! k v k1!. On utilise l'estimation (84) majorant la norme du potentiel de double couche en fonction de la norme de sa densite et l'estimation (71) du lemme de relevement, ce qui donne :. j hD! i j !0CC j ! j2k k1=2;k k1=2; I m. 34.

(52) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.35. L'operateur D! est donc continu et sa norme veri e (89).. Si on utilise de nouveau 88 appliquee a v = ;i!u, on obtient l'inegalite de coercivite sur b! (: :) a partir de celle de a(: :) et du lemme de trace. La forme lineaire 2 H 1=2(;) ;! hg^ i;1=21=2; est bien sûr continue sur H 1=2(;). On peut donc appliquer Lax-Milgram et en deduire le theoreme. An de faire une transformation de Fourier-Laplace des r esultats en fr equence et d'obtenir ainsi des r esultats analogues sur le probl eme en temps, montrons le. Lemme 5.5 (i) L'operateur D! est holomorphe dans C . (ii) Si g 2 L0(H ;1=2(;)), les distributions U (!) et +(1=!2 ) denies comme les solutions j. des problemes (72) et (63) dans H 1() et H (;) sont holomorphes dans le demi-plan complexe f=m(!) > !I0g. (iii) Si g 2 L0(H ;1=2(;)), il existe une0 distribution uD 2 L0(H 1()) telle que U (!) = u^D (!) et une distribution ' 2 L (H 1=2(;)) telle que +(!) = '^(!).. Demonstration :. (i) L'analycite de la solution fondamentale G sur C implique l'analycite de la forme bilineaire b! ( ) =< D! >. Or l'analycite \faible" implique l'analycite \forte" (cf Kato, 36]) donc le resultat est encore vrai pour D! . j. (ii) La distribution (!) 2 H 1=2(;) est solution de l'equation integrale D! = g^ Or l'operateur D! est un isomorphisme pour tout ! tel que =m(! ) > 0. On en deduit que D!;1 est holomorphe dans f! ( =m(! ) > 0g ( voir 36]). On a suppose que g 2 L0(H ;1=2(;)), ce qui signi e en particulier que il existe !I0 tel que g^ est holomorphe dans f=m(!) > !I0g et = D!;1 g^ donc veri e la même propriete. La solution U (! ) est obtenue comme potentiel de double couche de densite , U (! ) = ;M! , et toujours grâce a l'analycite de la solution fondamentale, on peut montrer l'analycite de l'operateur M! .. (iii) Pour montrer ce dernier point, on utilise la caracterisation donnee par le theoreme de Paley-Wiener. On a suppose que g 2 L0 (H ;1=2(;)) ce qui implique l'existence d'une valeur !I0(g) telle que g^ est holomorphe dans f=m(!) > !I0g et telle que 91(g) > !I0(g) C (g) > 0 et k(g)

(53) 0 t. q. k g^(!) k;1=2; C (1+ j ! j)k 8! t. q. =m(!)

(54) 1 35.

(55) VII.36. Eliane BECACHE. L'estimation (91) montre alors que. Cm2 !I0 k k1=2;j ! jk g^ k;1=2; C (1+ j ! j)k+1 ce qui montre le resultat pour . De même, l'estimation (76) permet de conclure pour U .. Avant de revenir au probl eme en temps, nous donnons un tableau indiquant une comparaison entre les r esultats obtenus avec les normes usuelles et les normes li ees a l' energie :. 36.

(56) 37. Coercivit e de b!. Continuit e de D!. Continuit e du potentiel de double couche U = ;M! +. Continuit e de l'op erateur : g^ 2 H ;1=2(;) ;! + 2 H 1=2(;). Continuit e de l'op erateur inverse. Continuit e de l'op erateur : g^ 2 H ;1=2(;) ;! U 2 H 1(). !1=2. k U k1!. <e hD!

(57) ;i!

(58) i;1=21=2 !I0Cm2 k

(59) k21=2; <e hD!

(60) ;i!

(61) i;1=21=2! C!I0 k

(62) k21=2!;. I. k D!

(63) k;1=2!; !C0 j ! jk

(64) k1=2!;. k D!

(65) k;1=2; !0CC j ! j2k

(66) k1=2; I m. k U k1! !C0 j ! jk + k1=2!; I. !I0 k + k1=2!; C j ! jk g^ k;1=2!;. k g^ k;1=2!; C k U k1!. !I0 k U k1! C j ! jk g^ k;1=2!;. Normes de l' energie. k U k1! 0 C 1=2 j ! j3=2k + k1=2; !I Cm. !I0Cm2 (!I0) k + k1=2; C j ! jk g^ k;1=2;. k g^ k;1=2; CCj ! j m. . !I0Cm2 (!I0) k U k1 C j ! jk g^ k;1=2;. Normes usuelles. Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes VII.37.

(67) VII.38. Eliane BECACHE. On remarque en particulier que les puissances de j ! j ne sont pas les mêmes, dans l'estimation de continuit e de l'op erateur D! , ce qui se traduit par une perte de r egularit e en temps si on utilise les normes usuelles.. 5.3 Retour en temps Les r esultats en temps sont obtenus en appliquant une transform ee de Fourier-Laplace inverse aux r esultats en fr equence. Rappelons l' egalit e de Parseval, pour deux distributions de L0(E ) :. Z 1Z ;2! t ^ ( f ( ! ) g ^ ( ! )) E d! = e I (f (t) g (t))E dt 2 R+i!I R. (92). Revenons maintenant a l'analyse de l' equation int egrale espace-temps (58). Si la donn ee g est dans L0(H ;1=2(;)), d'apr es l'implication (i) =) (ii) du th eor eme de Paley-Wiener, sa transform ee g^ v erie (ii) (a) et (b). L' etude pr ec edente montre que pour tout ! x e dans un demi-plan complexe (f=m(!) > !I0g), il existe une unique distribution +(!) 2 H 1=2(;) solution de l' equation int egrale en fr equences (63). De plus le lemme 5.5 montre que +(!) v erie les conditions (ii) (a) et (b) du th eor eme de Paley-Wiener. L'implication inverse (ii) =) (i) permet alors de d enir une distribution ' = F ;1(+) 2 L0(H 1=2(;)) et, d'apr es la remarque 5.1, ' est solution de (58). Etant donn e le type d'estimations obtenues entre U (!), +(!) et g^(!), on introduit des espaces fonctionnels indiquant un peu plus pr ecis ement le comportement par rapport a ! des solutions. On va supposer non seulement que g 2 L0(H ;1=2(;)) mais qu'elle v erie en plus. Z. (93). R+i!I. j ! j2sk g^(!) k2;1=2; d! < +1. De mani ere plus g en erale, pour un espace de Hilbert E , on introduit les espaces. Hs!I (R+ E ) = ff. 2 L0(E )#. Z R+i!I. j ! j2sk f^(!)) k2E d! < 1g. et on note. k f k2sE!I =. Z R+i!I. j ! j2sk f^(!) k2E d!. la norme dans ces espaces. Dans le cas particulier o u E est un espace de Sobolev E = H r (;), on notera k f k2sr!I cette norme. 38.

(68) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.39. On peut remarquer que pour s = k 2 N , le terme j ! j2k repr esente alors une d erivation en temps d'ordre k et d'apr es Parseval on a :. Z 1 Z 2k ^ 2 j ! j k f ( ! )) k d! = e;2!I t k f (k) (t) k2E dt E 2 R+i!I R. ce qui signie qu'on peut caract eriser cet espace par :. Hk!I (R+ E ) = ff 2 L0(E )# e;!I tf (k)(t) 2 L2(R E )g On introduit la formulation variationnelle espace-temps, obtenue en int egrant celle en fr equence : (94) avec. (95). 8> >>< Trouver ' dans un espace a pr eciser, telle que >> b(' ) = L() >: pour tout appartenant au même espace Z 8 >> b(' ) = 1 ^ ;i!^ > d! >> 2Z R+i!I < D! ' >> = e;2!I t < D' _ > dt >< R >> 1 Z L ( ) = < g^ ;i!^ > d! >> 2 R +i!I >> Z >: = e;2!I t < g _ > dt R. On pr ecise le cadre fonctionnel dans lequel est pos ee cette formulation variationnelle dans le. Theoreme 5.3 a) L'operateur D est lineaire, continu de Hs!I (R+ H 1=2(;)) dans Hs!;I 2 (R+ H ;1=2(;)) et sa norme verie la majoration suivante. (96). k D' ks;2;1=2!I C (!I0) k ' ks1=2!I 8' 2 Hs!I (R+ H 1=2(;)). b) La forme bilineaire du probleme variationnel espace-temps verie l'inegalite. de coercivite suivante :. (97). b(' ') C (!I0) k ' k201=2!I 8' 2 H2!I (R+ H 1=2(;)) 39.

(69) VII.40. Eliane BECACHE. Demonstration :. a) Soit ' 2 Hs!I (R+ H 1=2(;)). Par de nition '^ est holomorphe dans un demi-plan complexe f=m(! ) > !I0 g et veri e Z (i) j ! j2sk '^ k21=2; d! < 1 et d'apres le lemme 5.5, D! est holomorphe dans C . On en deduit que D! '^ est holomorphe dans f=m(! ) > !I0g. De plus, l'estimation (89) nous donne j. k D! '^ k;1=2; !0CC j ! j2k '^ k1=2; I m. ce qui permet de conclure que d'une part D! '^ est bien la transformee de Fourier-Laplace d') de L0(H ;1=2(;)), et d'autre part que d'une distribution (D! '^ = D. Z. . j ! j ; k D! '^ k2;1=2; d! !0CC I m 2(s 2). !2 Z. j ! j2sk '^ k21=2; d! < 1. l'inegalite de droite provenant de (i). Ceci montre que D' 2 H(!sI;2) (R+ H ;1=2(;)) et qu'on a l'estimation (96 ) avec C (!I0) = 0C .. !I Cm. b) Pour ' 2 H2!I (R+ H 1=2(;)), on a : Z b(' ') = e;2!I t < D' '_ > dt R Z 1 < D! ' ^ ;i! '^ > d! = 2 R+i! I. On utilise l'inegalite de coercivite sur b! , (90): Z b(' ')

(70) 21 Cm2 !I0 k '^ k21=2; d! R+i!I.

(71) Cm2 !I0 k ' k201=2!I. Remarque 5.3 : on peut remarquer que l'in egalit e (97) n'est pas r eellement une in egalit e de coercivit e car le terme de droite est seulement une semi-norme sur H2!I (R+ H 1=2(;)). Ces r esultats permettent d'obtenir le. Theoreme 5.4 Si g 2 H3!I (R+ H ;1=2 (;)) alors a) le probleme (94) admet une unique solution ' 2 H2!I (R+ H 1=2(;)) egalement. unique solution de (58)et veriant : Cm2 !I0 k ' k21=2!I k g k3;1=2!I (98). 40.

(72) Equations Intégrales pour l’Equation des Ondes. VII.41. b) Le probleme (55), (57) admet une unique solution uD 2 H2!I (R+ H 1()) qui. verie (99). Cm2 !I0 k uD k2H 1()!I C k g k3;1=2!I. et qui s'exprime par (100). uD = ;M'. ou ' est la solution denie au a).. Demonstration : a) On part de g 2 H3!I (R+ H ;1=2(;)). On peut donc prendre sa transformee de Fourier-Laplace et de nir la solution du probleme en frequence associe. D'apres le lemme (5.5), est la transformee de Fourier-Laplace d'une distribution ' 2 L0 (H 1=2(;)). On a. même un peu plus, grâce a l'estimation (91) :. Cm2 !I0 k k1=2;j ! jk g^ k;1=2; On en deduit que ' 2 H2!I (R+ H 1=2(;)) et veri e (98). Il est en n immediat de veri er que ' est solution de (58) puisque est solution de l'equation integrale en frequence. On a donc montre l'existence d'une solution de l'equation integrale ainsi que de sa formulation variationnelle. L'unicite decoule tres clairement de l'unicite de la solution du probleme en frequence.. b) On de nit de nouveau uD a partir de U (!), solution du probleme en frequence. On de nit ainsi une solution de (55), (57) dans H2!I (R+ H 1()) grâce a l'estimation (76). L' etude en fr equence men ee avec les normes li ees a l' energie conduit aux espaces fonctionnels suivants :. H ss0 !I (; +. R) = ff t. q.. Z. R+i!I. j ! j2s0 k f^(!)) k2s!; d! < +1g. On peut retrouver tous les r esultats enonc es dans ces espaces en utilisant le tableau de comparaison donn e en n de partie 5.2. En particulier, l'op erateur D est alors continu de H+1=2s0!I (; R) dans H+;1=2s0;1!I (; R), ce qui constitue une di erence essentielle avec les espaces usuels car on remarque qu'on ne perd qu'un cran de r egularit e en temps au lieu de deux. 41.

(73) VII.42. Eliane BECACHE. 6 Mise en oeuvre et resultats numeriques 6.1 Discretisation Nous traitons ici le probl eme mod ele etudi e pr ec edemment, c'est a dire le probl eme de Neumann. La formulation variationnelle de ce probl eme s' ecrit : 8 3 ;1=2 2 1=2 > > Pour g 2 H!I (R+ H (;)) trouver ' 2 H!I (R+ H (;)) telle que. > Z <Z (101) > e;2!I t < D' _ > dt = e;2!I t < g _ > dt R R > > : 8 2 H2! (R+ H 1=2(;)) I. On approche alors cette formulation en utilisant des el ements nis fronti eres, suivant la d emarche propos ee par N ed elec (45]). Cette d emarche etant classique, on se contente de la rappeler bri evement et on se limite au cas o u ; est un domaine poly edrique. Dans le cas g en eral, il faudrait d enir une application transformant chaque morceau en un domaine poly edrique et tenir compte de l'erreur d'approximation de la surface. On d ecoupe la surface ; en p morceaux ferm es (;i)i=1:::p tels que (a) pi=1;i = ; (b) ;i \ ;j = ou est une courbe port ee par ; (en 3D).. Semi-discretisation en espace On introduit un espace Vh de dimension nie construit a l'aide d' el ements nis approchant H 1=2(;). Le probl eme semi-discr etis e consiste a (102). 8 >< trouver 'h 2 H2!I (R+ Vh) telle que >: b('h h) = Lh(h) 8h 2 H2 (R+ Vh ) !I. o u Z (103) Lh(h) = e;2!I t < gh _h > dt R et gh est une approximation de g. La construction de Vh est d ecrite par N ed elec dans 45]. L'espace Vh est constitu e de fonctions continues et polynômiales par morceaux de degr e m1 1 ce qui assure l'appartenance a H 1=2(;) . Le choix le plus simple est celui de l' el ement ni P1 constitu e de fonctions anes par el ement et continues sur ;. Soit ('jh)j=1:::Nh une base de Vh . La solution approch ee 'h (t) se d ecompose sur cette base : (104). 'h(x t) =. Nh X j =1. j (t)'jh(x) 8x 2 ; 42.