Chapitre 4 Th´eor`eme de Stokes

Chapitre 4

Th´eor`eme de Stokes

Formes diff´ erentielles

D´efinition. Soit E un R-espace vectoriel de dimensionn≥1 et 1≤k≤n un entier. Unek-forme lin´eaire altern´eeα est une application multilin´eaire

α:E^k→R

altern´ee, c’est-`a-dire que pour toute permutationσ de [1,· · ·, k],

∀(v₁,· · ·, v_k)∈E^k, α(v_σ(1),· · ·, v_σ(k)) = (−1)^σα(v₁,· · · , v_k).

1. Le R-espace vectoriel desk-formes altern´ees est not´e Λ^kE^∗. 2. Il est pratique de d´efinir Λ⁰E^∗ :=R.

Exemples.

1. Une forme lin´eaire est une 1−forme lin´eaire.

2. Sif est unen−forme altern´ee et (e₁,· · ·, e_n) est une base de E, alors

f(v₁,· · ·, v_n) = det(v_ij)_i,jf(e₁,· · ·, e_n), o`u v_ij laj-´eme coordonn´ee de v_i.

Produit ext´erieur. Soit

∧: (⊕ⁿ_k=0Λ^kE^∗)² → ⊕ⁿ_k=0Λ^kE^∗ d´efini par lin´earit´e,

∧: Λ^kE^∗×Λ^jE^∗→Λ^k+jE^∗ par∀α∈Λ^kE^∗ et toutβ ∈Λ^jE^∗,α∧β ∈Λ^k+jE^∗ et

∀v₁,· · ·v_k+j ∈E, α∧β(v1,· · ·, v_k+j) :=

1 j!k!

X

σ∈S_j+k

(−1)^σα(v_σ(1),· · ·v_σ(j))β(v_σ(j+1),· · ·v_σ(j+k)).

Exemple.Siα, β ∈E^∗, alors

∀v, w∈E, α∧β(v, w) =α(v)β(w)−α(w)β(v).

Remarques.

1. ∧ est associative.

2. ∀α∈Λ^kE^n∗, β∈Λ^jE^n∗,

β∧α= (−1)^kjα∧β.

3. Si (ei)i est une base de E, on a une base canonique de Λ^kR^n∗ form´ee par les

dxi1∧dxi2 ∧ · · · ∧dxi_k

avec 1≤i1<· · ·< ik≤n.

4. En particulier, dim Λ^kE^∗= _n^k . 5. En particulier, ΛⁿE^∗ est engendr´e par

dx1∧dx2∧ · · · ∧dxn. 6. Λ^kE^∗ = 0 pour k≥n+ 1.

D´efinition. Soit n≥1 et 1≤k≤n. Un ´el´ement

α∈C^∞(Rⁿ,Λ^kR^n∗) est appel´e k-forme diff´erentiellelisse. On note Ω^k(Rⁿ) cet espace (ou Ω^k(U) si on se restreint `a un ouvert U ⊂Rⁿ).

Remarques.

1. Une 0-forme est une fonction lisse !

2. Toute k-forme diff´erentielleα s’´ecrit de fa¸con unique

α= X

1≤i1<···<i_k≤n

fi1,···,ikdxi1∧ · · · ∧dxik.

avec

f_i1,···,ik ∈C^∞(Rⁿ,R).

Exemples.

1. Sik= 1,∀x∈Rⁿ, α(x) =P_n

i=1f_j(x)dx_j. 2. Sik=n,α(x) =f(x)dx1∧ · · · ∧dxn. 3. Sig∈C^∞(U),

dg=

n

X

j=1

∂g

∂x_jdxj ∈Ω¹(U).

Int´ egration de formes

D´efinition. Soitα =f dx₁∧ · · · ∧dx_n∈Ωⁿ(U).L’int´egrale de α surU est

Z

U

α= Z

U

f(x)dx₁· · ·dx_n. Exemple SiR

Udx₁· · · ∧dx_n=V ol(U).

D´efinition. Soitφ:U ⊂Rⁿ→V ⊂Rⁿ lisse, etα∈Ω^k(V).Le tir´e en arri`ere deα par φest la formeφ^∗α∈Ω^k(U) d´efinie par

∀v₁,· · ·, vk ∈Rⁿ,∀x∈U, φ^∗α(x)(v1,· · ·, vk) =α(φ(x)) dφ(x)v1,· · ·, dφ(x)vk

. Exemple Siα=f ∈Ω⁰(U),φ^∗α=α◦φ.

Proposition :

1. φ^∗(α∧β) =φ^∗α∧φ^∗β.

2. (f◦g)^∗α=g^∗(f^∗α).

3. φ^∗dxi(x) =dφi(x)

4. Siα=f dx₁∧ · · · ∧dx_n∈Ωⁿ,

φ^∗α(x) = detdφ(x)f(φ(x))dx₁∧ · · · ∧dx_n.

D´emonstration.

1. Exercice.

2. Utilise d(f◦g) =df ◦dg.

3. On a

∀v∈Rⁿ, φ^∗dxi(x)(v) = dxi(dφ(x)v)

= dx_i(X

j

∂_jφv_j)

= X

j

∂φivj =dφi(v).

4. Exercice.

Exemples.

1. Sia∈R,α∈Ω^k etφ(x) =ax,

φ^∗α(x) =a^kα(ax).

2. Siφ(r, θ) = (rcosθ, rsinθ), alors

φ^∗dx = cosθdr−rsinθdθ φ^∗dy = sinθdr+rcosθdθ.

Donc si α=dx∧dy, alors

φ^∗α=φ^∗dx∧φ^∗dy=rdr∧dθ.

3. Siα= ¹₂(xdy−ydx), φ^∗α= 1

2(x(r, θ)φ^∗dy−y(r, θ)φ^∗dx) =1 2r²dθ.

Th´eor`eme SoitU un ouvert connexe,φ:U →V un hom´eomorphisme lisse etα ∈Ωⁿ(V). Alors

Z

U

φ^∗α= signe(detdφ) Z

V

α.

(Notons quex7→detdφ(x) ne s’annule pas surU, donc est de signe constant.)

D´emonstration. On a Z

U

φ^∗α = Z

U

f◦φdetdφdx1· · ·dxn

= signe(detdφ) Z

U

f◦φ|detdφ|dx₁· · ·dxn

= signe(detdφ) Z

V

f dx1· · ·dxn.

PropositionSoit U ⊂Rⁿ un ouvert. Il existe une unique application lin´eaire :d: Ω(U)→Ω(U), telle que

1. d: Ω^k(U)→Ω^k+1(U) pour tout k.

2. d◦d= 0

3. d: Ω⁰(U) est la diff´erentielle.

4. Siα∈Ω^k(U) et β∈Ω(U),

d(α∧β) =dα∧β+ (−1)^kα∧dβ.

On appellediff´erentielle ext´erieurecette application.

Propri´et´e

d(f^∗α) =f^∗dα.

Exemples.

I Pour f ∈Ω⁰(U) et i∈ {1,· · ·n},

d(f dx₁∧ · · · ∧dxi−1∧dx_i+1∧ · · · ∧dx_n) = (−1)ⁱ⁺¹∂if dx1∧ · · · ∧dxn

I Soit

div(f₁,· · · , f_n) :=

n

X

i=1

∂_if_i et

α =X

(−1)ⁱ⁺¹f_idxˆ_i ∈Ωⁿ⁻¹, alors

dα=div(f₁,· · ·, f_n)dx₁∧ · · · ∧dx_n.

Exemples.

I Soit

rot(f~ 1, f2, f3) :=∇f~ ∧f =





∂2f3−∂3f2

∂3f1−∂1f3

∂₁f₂−∂₂f₁





etβ =f1dx1+f2dx2+f3dx3, alors

dβ = (∂1f2−∂2f1)dx1∧dx2+ (∂₂f₃−∂₃f₂)dx₂∧dx₃+ (∂₃f₁−∂₁f₃)dx₃∧dx₁.

Formes sur les vari´ et´ es

SoitM une vari´et´e lisse de dimensionn≥1 et (Ui)i un atlas de la vari´et´e.

D´efinition. L’ensemble (qui est unfibr´e vectoriel) T^∗M =∪_x∈M(T_xM)^∗

est appel´el’espace cotangent de M.

On peut alors d´efinir pour toutk∈Nl’espace Λ^kT_x^∗M et ΛT_x^∗M.

Proposition et d´efinition Soit (U, φ= (φ1,· · · , φn)) une carte localeC^∞ de M lisse de dimension n, etx∈U.

I Alors l’alg`ebre ext´erieure ΛT_x^∗M est engendr´ee par les 1-formes (dφ_i(x))_i=1ⁿ ∈T_xM^∗.

I Unep−forme homog`eneC^∞ sur U est une application α:U →ΛT^∗M, telle que ∀x∈U, α_x∈Λ_xT^∗M, et

α = X

i1<···<i_k

αi1···ik(x)dφi1∧ · · · ∧dφik

avec α_i1···i_k ∈C^∞(U,R).

I Il existe une unique diff´erentielle : d: Ω(M)→Ω(M) satisfaisant les axiomes ci-dessus.

Int´ egration sur les vari´ et´ es

On aimerait bien d´efinir sur une carte (U, φ), pourα∈Ωⁿ(U), Z

U

α = Z

φ(U)

φ^(−1)∗α.

Mais siψest une autre carte, la d´efinition donne : Z

ψ(U)

ψ^(−1)∗α = sgn detφ◦ψ⁻¹ Z

φ◦ψ⁻¹◦ψ(U)

(φ◦ψ⁻¹)^−1∗(ψ^(−1)∗α)

= sgn detφ◦ψ⁻¹ Z

φ(U)

φ^(−1)∗α.

D´efinition. Une vari´et´e diff´erentielle est diteorientable si l’on peut trouver un atlas tel que les changements de cartes

pr´eservent l’orientation. Uneorientation est un tel choix de cartes.

Proposition. SiM est une vari´et´e `a bord (`a d´efinir) orient´ee, son bord h´erite d’un orientation.

On peut alors d´efinir Z

U

α= Z

φ(U)

φ^(−1)∗α.

Th´eor`eme de Stokes. Soit M une vari´et´e orient´ee de dimensionn,α une n−1-forme lisse sur M,Dun domaine r´egulier de M de bord∂D (qui peut ˆetre vide). Alors

Z

∂D

α= Z

D

dα, o`u∂D est orient´ee selon l’orientation deD.

Exemples

I Soit I = [a, b], α=f(x), dα= f⁰(x)dx,I orient´e de gauche

`

a droite, donc

f(b)−f(a) = Z

{a,b}

f = Z

[a,b]

f⁰(x)dx.

I Soit D⊂R²,

α=P(x, y)dy−Q(x, y)dx.

On a

dα= (∂_xP +∂_yQ)dx∧dy, donc (Th´eor`eme de Green)

Z

D

(∂_xP+∂_yQ)dx∧dy= Z

∂D

P(x, y)dy−Q(x, y)dx.

I Sous-exemple α= ¹₂(xdy−ydx) donne l’aire de D.

I Sous-sous-exemple :x=rcosθ ety=rsinθ. Avec φ(r, θ) = (x, y), on a φ^∗α= ¹₂r²dθ donc

Z

RS¹

α= 1

2R²2π = Z

D(0,R)

daire.