MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 25 (du lundi 13 au vendredi 17 mai)
lyc´ee Chaptal
Espaces vectoriels euclidiens
I. Produit scalaire
D´efinition d’un produit scalaire surE. Norme surE, norme euclidienne (associ´ee
`
a un produit scalaire). Distance associ´ee.
Matrice repr´esentative d’une forme bilin´eaire. ´Ecriture en produit matriciel d’un produit scalaire. Expression du changement de bases.
Exemples de produits scalaires : canonique deRn, surC0([a, b];R), surR[X].
In´egalit´e de Cauchy-Schwarz ; cas d’´egalit´e.
Liens entre norme et produit scalaire : identit´es de polarisation, du parall`elo- gramme.
II. Orthogonalit´ e
Vecteurs norm´es (ou unitaires) ; vecteurs orthogonaux. Parties orthogonales, or- thogonal d’une partie de E, propri´et´es. existence de b.o.n.
Familles orthogonales et orthonorm´ees ( par convention, le vecteur nul ne fait pas par- tie d’une famille orthogonale). Une famille orthogonale est libre. Bases orthonorm´ees (b.o.n.) et orthogonales (b.o.g.). Expression d’un vecteur dans une b.o.n.
Proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Existence de b.o.n. de E et th´eor`eme de la base o.n. incompl`ete.
Orthogonal d’un s.e.v.F deE, existence et unicit´e du suppl´ementaire orthogonal, cons´equence sur les dimensions de ces s.e.v.
III. Projections et sym´ etrie orthogonales
D´efinition, propri´et´es d’un projecteur orthogonal. Expressions dans une b.o.n.
Exemples.
Applications au calcul de la distance d’un vecteur `a un sous-espace vectoriel.
D´efinition, propri´et´es d’une sym´etrie orthogonale. R´eflexion.
Questions de cours
Q.1 D´efinir (et le d´emontrer) un produit scalaire sur C0([a, b],R). Justifier que c’est encore un produit scalaire surR[X].
Q.2 Enoncer et d´´ emontrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz (pour un produit scalaire quelconque).
Q.3 SoientF etGdeux s.e.v. d’un espace euclidienE. Montrer que (F+G)⊥=F⊥∩G⊥ et (F∩G)⊥=F⊥+G⊥.
Q.4 [facultatif] Etant donn´´ ee une base orthonorm´ee B de E, d´emontrer, `a l’aide d’un changement de base sur les matrices repr´esentant le produit sca- laire ϕdeE, une C.N.S. sur la matrice deP de passage deB `aU pour que U soit une base orthonorm´ee deE.
Q.5 Montrer (rapidement) que (f|g) = 1πR2π
0 f(t)g(t) dt d´efinit un produit sca- laire surE={f ∈ C0(R,R)|f est 2π-p´eriodique}.
Montrer que la famille constitu´ee des x 7→ cos(nx) pour n ∈ N∗ et des x7→sin(nx) pourn∈N∗ est orthonorm´ee.
Q.6 Enonc´´ e et d´emonstration du proc´ed´e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
Q.7 D´eterminer l’orthonormalis´ee de la base canonique deR2[X] pour le produit scalaire (P |Q) =
2
P
k=0
P(k)Q(k).
Q.8 D´eterminer la matrice repr´esentative dans la base canonique de R3 de la projection orthogonale sur le planP d’´equationx+y+z= 0.
[facultatif ]Proposer deux m´ethodes diff´erentes.
Q.9 D´eterminer inf
(a,b)∈R2
Z 1
0
(t2+at+b)2dt
. (`a l’aide d’un produit scalaire !) Q.10 [facultatif] Soitpun projecteur vectoriel deE. D´emontrer l’´equivalence
entre les ´enonc´es :
(i) pest un projecteur orthogonal ; (ii) ∀(x, y)∈E2, (p(x)|y) = (x|p(y)) ; (iii) ∀x∈E, ||p(x)||6||x||.
A venir : automorphismes orthogonaux.`
