CPBX MPC Alg`ebre II 2020-2021
TD8 - Projection orthogonale et distance
Exercice 1
SoitF le sous-espace vectoriel deR3 d´efini par l’´equationx−y+z= 0.
1. Chercher une base orthonorm´ee deF et de F⊥. En d´eduire une BON de R3 adapt´ee `aF.
2. Soitp1etp2les projections orthogonales surF etF⊥. Calculerp1(v) +p2(v) pour toutv∈R3, et donner les matrices de p1 et dep2 dans la base canonique deR3.
3. Soitu= (1,1,1)∈R3. Calculerd1= dist(u, F) etd2= dist(u, F⊥). V´erifier la relation : d21+d22=kuk2
Exercice 2 D´eterminer
inf
(a,b)∈R2
Z 1
0
(x2−ax−b)2dx
Exercice 3
Soit E l’espace des polynˆomes `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. On munit E du produit scalaire
hP, Qi= Z 1
−1
P(t)Q(t)dt
1. D´eterminer une BON (P0, P1, P2) `a partir de la base canonique (1, X, X2). En d´eduire l’orthogonal du sous-espace vectorielF engendr´ee par (1, X).
2. D´eterminer la projection orthogonale du polynˆomeQ(X) = 1 +X+X2sur le sous-espace vectoriel F
3. Calculer
min
(a,b,c)∈R3
Z 1
−1
(sin (t)−a−bt−ct2)2dt
1
