Projecteur orthogonal, symétrie orthogonale

(1)

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_endoeveucl.pdf

TD 14 : Endomorphismes des espaces euclidiens

Dans tous les exercices, E est un espace euclidien de dimension n et l’espaceRⁿest muni de sa structure euclidienne canonique.

Le théorème spectral

Exercice 1(Oral CCP, PC, 2016, Exercice secondaire). SoitM∈M2n+1(R) dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de lan-ième colonne et lan-ième ligne qui sont égaux à 1.

(1) Déterminer tr(M),M²et tr(M²).

(2) Montrer queMdiagonalisable et déterminer son spectre.

Exercice 2.Déterminer les matricesA∈Sn(R) qui vérifientA³= −In. Exercice 3(Oral CCP, PSI, 2018).

(a) Montrer que siX∈Mn(R^{) vérifie}^{X X}^>^X=In, elle est inversible et symétrique.

(b) Trouver toutes les matricesX∈Mn(R) vérifiantX X^>X=In. Réponse.

(a) On supposeX X^>X=In. On a alors :

det(X)³=det(X X^>X)=det(In)=1 donc det(X)6=0 doncXest inversible.

(b) On supposeX X^>X=In. D’après la question précédente,Xest inversible et on a : X⁻¹=X^>X

et on en déduit :

X=¡

X^>X¢−1

=X⁻¹(X^>)⁻¹ Or (X^>)⁻¹=(X⁻¹)^>, en effet :

(X⁻¹)^>X^>=(X X⁻¹)^>=In

Par conséquent :

X=¡

X^>X¢−1

=X⁻¹(X⁻¹)^>

PosonsY =X⁻¹, on aX=Y Y^>et cette matrice est symétrique puisque : X^>=(Y^>)^>Y^>=Y Y^>=X

On a donc X³=In. La matriceX est symétrique réelle donc diagonalisable odonc il existe P∈GLn(R^{) et}λ1, . . . ,λn∈R^{tels que}^X=P DP⁻¹avecD=diag(λ1, . . . ,λn). Alors :

X³=P D³P⁻¹=In

D³=P⁻¹InP=In

doncλ³₁= · · · =λ³n=1 et commeλ1, . . . ,λn∈R^{on a}λ1= · · · =λn=1 doncX=In. Réciproque- ment,X=Inest bien solution deX X^>X=Indonc la seule solution est In.

(2)

Exercice 4.

(a) Soitf un endomorphisme symétrique deE. Existe-t-il un endomorphismegsymétrique deE tel queg³=f?

(b) Démontrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme symétriquegdeEtel queg²= −idE.

Exercice 5(Oral CCP, PC, 2017, Exercice secondaire). Aest une matrice symétrique réelle telle que A⁵+A⁴+A³+A²+A=0

(1) Montrer queAest diagonalisable.

(2) Soitλune valeur propre deA. Montrer queλ⁵+λ⁴+λ³+λ²+λ=0.

(3) En déduire queA=0.

Exercice 6(Oral Centrale, PC, 2017). SoitX∈Mn,1(R) non nul. On poseA=X X^>. (a) Trouver le rang deA, ses valeurs propres, ses vecteurs propres.

(b) La matriceAest-elle diagonalisable ? Réponse. On notex₁, . . . ,x_nles coefficients deX.

(a) On noteA=(ai j), en effectuant le produit on trouveai j=xixjdonc laj-ième colonne deA est égale àx_jX et on en déduit que rg(A)É1. De plus,X 6=0 donc il existe j∈ 1,ntel que xj6=0 et la j-ième colonne deAest non nulle doncA6=0 et ainsi rgA=1. On en déduit (en supposantnÊ2) que 0∈Sp(A) et d’après le théorème du rang, dimE0(A)=1. On a de plus :

AX=X X^>X= kXk²X

Posonsµ= kXk²=x²₁+ · · · +x_n²=tr(A). On aAX=µXetX6=0 doncµ∈Sp(A). CommeX6=0, on aµ6=0 et comme dimE₀(A)=n−1 on a nécessairement dimE_µ(A)=1 et Sp(A)={0,µ}.

(b) La matriceAest diagonalisable puisqueµ6=0 et dimE0(A)+dimE_µ(A)=n(ou alors :Aest symétrique réelle donc diagonalisable).

Exercice 7. Démontrer que sif etgsont deux endomorphismes symétriques d’un espace euclidien Equi commutent alors il existeBbase deEconstituée de vecteurs propres à la fois pourf etg. Réponse. L’endomorphisme f est symétrique donc diagonalisable. On noteλ1, . . . ,λples valeurs propres distinctes def, on a alors :

E=E_λ₁(f)⊕ · · ·E_λ_p(f)

Considéronsi∈ 1,pet posonsEi=E_λ_i(f) (pour simplifier), c’est un sous-espace propre def et par hypothèsef etgcommutent, on sait donc que dans ce cas,Eiest stable parg. On notegil’endomorphisme deEiinduit parg. On peut considérer surEile produit scalaire deE. L’endomorphismeg étant symétrique, on a alors :

∀x,y∈Ei,

gi(x),y®

=

g(x),y®

=

x,g(y)®

=

x,gi(y)®

On en déduit quegi est un endomorphisme symétrique deEi. Il existe doncBibase deEidont les éléments sont des vecteurs propres pourg_i. Les éléments deBisont donc des vecteurs non nulsde Ei=E_λ_i(f), ce sont donc également des vecteurs propres pourf. Par concaténation des bases, la réunionB=B1∪ · ∪Bpest une base deEet d’après ce qui précède elle est constituée de vecteurs propres à la fois pourf et pourg.

(3)

Exercice 8. Soitf ∈L(E) un endomorphisme symétrique. On noteλ1, . . . ,λnles valeurs propres de f (comptées avec multiplicité) rangées dans l’ordre croissantλ1É · · · Éλn. Démontrer que :

max

½ f(x),x®

kxk² |x∈E\ {0}

¾

=λn

Proposer une formulation analogue pourλ1.

Réponse. L’endomorphismef est symétrique donc il existeB=(e1, . . . ,en) une base orthonormée de vecteurs propres pour f, associés aux valeurs propresλ1, . . . ,λnen supposant les vecteurs de la base ordonnés de sorte queλ1É. . .Éλn. On a ainsi min Sp(f)=λ1et max Sp(f)=λn. Soitx∈Enoté :

x=x1e1+ · · · +xnen

On a alorsf(x)=λ1x1+ · · · +λnxnet comme la baseBest orthonormée :

f(x),x®

=λ1x²₁+ · · · +λnx_n²Éλn(x₁²+ · · · +x²_n) et de même :

f(x),x®

=λ1x²₁+ · · · +λnx_n²Êλ1(x₁²+ · · · +x²_n) Supposonsx6=0 de sorte quex₁²+ · · · +x²_n>0, on a alors :

λ1É

f(x),x® kxk² Éλn

On définit l’ensemble :

A=

½ f(x),x®

kxk² |x∈\{0}

¾

D’après ce qui précède,Aest minorée parλ1et majorée parλnde sorte queλ1ÉinfAet supAÉλn. Par ailleurs :

λ1=

f(e1),e1® ke₁k² ∈A λn=

f(en),en® ke_nk² ∈A et ainsiλ1=infAet supA=λn.

Endomorphismes symétriques usuels

Exercice 9(Oral Centrale, PC, 2019). Soitaetbdeux éléments deEnon colinéaires. On pose, pour x∈E,f(x)= 〈a,x〉b+ 〈b,x〉a. Montrer que f est un endomorphisme symétrique deE. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.

Exercice 10.On considèreE=Rn[X] ainsi que les applications ϕ: (P,Q)∈E²7→

Z _+∞

−∞

e⁻^t²^/2P(t)Q(t) dt et f :P∈E7→X P⁰−P⁰⁰

Démontrer queϕest un produit scalaire surEpuis démontrer que l’applicationf est un endomorphisme deE, symétrique relativement au produit scalaire précédent.

(4)

Projecteur orthogonal, symétrie orthogonale

Exercice 11.On considère un vecteur unitaireu=(a1,a2,a3)∈R³. Déterminer la matrice dans la base canonique deR³de la projection orthogonale sur Vect(u) puis celle de la symétrie orthogonale par rapport à Vect(u)^⊥.

Exercice 12.On considèreu:R³→R³canoniquement associé àA=1 7





−6 2 3

2 −3 6

3 6 2



.

(1) L’endomorphismeuest-il symétrique ? Déterminer rg(u+id).

(2) L’endomorphismeuest-il une symétrie orthogonale ?

(3) Déterminer une base orthonormée de vecteurs propres pouru.

Exercice 13. Démontrer que l’application linéaire canoniquement associée à la matrice

A=2 n







1−ⁿ₂ (1)

. . .

(1) 1−ⁿ₂





∈Mn(R⁾

est une symétrie orthogonale et préciser la dimension des sous-espaces caractéristiques.

Réponse. On notef l’application linéaire canoniquement associée àA. La matriceAest symétrique réelle doncAetf sont diagonalisables et leurs sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux.

On trouve que :

A+In= 2 n

µ₁_···₁

... ... 1···1

¶

donc rg(A+In)=1. En supposantnÊ2, on a alors−1∈Sp(A)=Sp(f) et dimE₋₁(A)=n−1. Comme Aest diagonalisable, il existeλ∈R^{tel que}λ6= −1 et Sp(A)={λ,−1} etλest valeur propre deAde multiplicité 1. On a :

tr(A)= 2 n×³

1−n 2

´

×n=2−n=(n−1)(−1)+λ= −n+1+λ doncλ=1 etE1(A)=E1(f) sont de dimension 1. Commef est diagonalisable, on a :

E=E1(f)⊕E₋1(f)=Ker(f−id)⊕Ker(f +id)

doncf est une symétrie et commeE1(f) etE₋1(f) sont orthogonaux,f est une symétrie orthogonale.

Remarque :on peut aussi calculer A²pour obtenirA²=Inpuis utiliser l’orthogonalité des sous- espaces propres.

Isométries vectorielles et matrices orthogonales

Exercice 14. SoitV ∈Rⁿ\ {0}. On définit la matriceH=In− 2

kVk²V V^>. (a) Démontrer queHest une matrice symétrique et orthogonale.

(b) Démontrer que l’application linéairehcanoniquement associée àHest une symétrie.

(c) Démontrerhest la symétrie orthogonale par rapport au sous-espaceV^⊥. Réponse. On montre facilement queHest symétrique. Ensuite :

H^>H=H²=In− 4

kVk²V V^>+ 4

kVk⁴V V^>V

=kVk²

V^>=In− 4

kVk²V V^>+ 4

kVk²V V^>=In

(5)

DoncHest orthogonale. On a doncH²=Indonch²=id et ainsihest une symétrie. Commehest symétrique, ses sous-espaces propresE1(h)=Ker(h−id) etE₋1(h)=Ker(h+id) sont orthogonaux entre eux donchest une symétrie orthogonale. Ensuite pourx∈Rⁿ:

h(x)=x ≺===Â H x=x ≺===Â V V^>x=0 ≺===Â 〈V,x〉V =0 ≺===Â x⊥V ≺===Â x∈V^⊥

On a donc Ker(h−id)=V^⊥et Ker(h+id)=Ker(h−id)^⊥=Vect(V). Ainsi,hest la symétrie orthogonale par rapport àV^⊥.

Exercice 15. On considère deux vecteursuetvdeEtels queu6=0,v6=0 etu6=v. (a) Démontrer que sisest une symétrie orthogonale deEtelle quev=s(u) alorskuk = kvk. (b) Démontrer que sikuk = kvk, alors il existe un sous-espace vectorielHde dimensionn−1 deEtel ques(u)=ven notantsla symétrie orthogonale par rapport àH.

Réponse.

(a) Soitsune symétrie orthogonale telle ques(u)=v. Une symétrie orthogonale est un automor- phisme orthogonal donc :

kvk = ks(u)k = kuk

(b) Considéronsw=v−u, on aw6=0 caru6=v. ConsidéronsH=w^⊥=Vect(w)^⊥, alors dimH= dimE−dim Vect(w)=n−1. Considéronssla symétrie orthogonale par rapport àH. On a :

u=1

2(u+v)+1 2(u−v) or :

〈u+v,u−v〉 = kuk²− kvk²=0 doncu+v⊥u−vet ainsiu+v∈H. On en déduit que :

s(u)=1

2(u+v)−1

2(u−v)=v

Exercice 16(Oral Mines-Ponts, PC, 2016). SoitAn(R) l’ensemble des matrices antisymétriques de Mn(R^).

(a) SoitA∈An(R). Montrer que le spectre deAest inclus dans iR.

(b) Montrer que l’applicationΦ:M∈An(R⁾7→(M+In)(M−In)⁻¹réalise une bijection deAn(R⁾ sur l’ensemble des matrices de On(R) qui n’ont pas pour valeur propre 1.

Réponse.

(a) On considèreλ∈Sp_C(A) etX= µz₁

... zn

¶

∈Cⁿun vecteur propre associé. On a alorsAX =λXet : X^>X= |z1|²+ · · · + |zn|²>0

(AX)^>X=(λX)^>X=λ¡

|z1|²+ · · · + |zn|²¢

=X^>A^>X= −X^>AX= −X^>AX carAest antisymétrique réelle

= −X^>λX= −λ¡

|z1|²+ · · · + |zn|²¢

On en déduit queλ= −λdoncλ∈iR. Par conséquent Sp_C(A)⊂iR^.

(6)

(b) On procède en plusieurs étapes.

L’applicationΦest bien définie.ConsidéronsM∈An(R), alors d’après la question précédente 1∉Sp(M), doncM−Inest inversible etΦ(M) est bien définie.

L’applicationΦest à valeurs dansOn(R^).On considère toujoursM∈An(R) et on démontre queΦ(M)∈On(R^{) :}

Φ(M)^>Φ(M)=(M−In)^>−¹(M+In)^>(M+In)(M−In)⁻¹ (notons que pour une matriceAinversible,¡

A^>¢−1

=¡ A⁻¹¢>

). Ensuite : Φ(M)^>Φ(M)=(−M−In)⁻¹(−M+In)(M+In)(M−In)⁻¹

=(M+In)⁻¹(M−In)(M+In)(M−In)⁻¹ Les matricesM+InetM−Incommutent donc :

Φ(M)^>Φ(M)=(M+In)⁻¹(M+In)(M−In)(M−In)⁻¹=In

doncΦ(M)∈On(R). On en déduit queΦest une application deAn(R^{) dans O}n(R^).

Le nombre1n’est pas valeur propre deΦ(M).On conserve les notations précédentes, on a : χΦ(M)(1)=det(Φ(M)−In)=det((M+In)(M−In)⁻¹−In)=det¡

((M+In)−(M−In)) (M−In)⁻¹¢

=det(2(M−In)⁻¹)6=0

On en déduit que 1 n’est pas valeur propre deΦ(M). Jusqu’à présent, on a obtenu queΦest une application définie surAn(R) et à valeurs dans l’ensemble des matrices appartenant à On(R⁾ et qui n’admettent pas 1 comme valeur propre.

Caractère bijectif.ConsidéronsA∈On(R) telle que 1∉Sp(A). On considèreM∈An(R), on a alors :

Φ(M)=A ≺===Â (M+In)(M−In)⁻¹=A

≺===Â M+In=A(M−In)

≺===Â M+In=AM−A

≺===Â (A−In)M=A+In

Rappelons queA−Inest inversible, ainsi :

Φ(M)=A ≺===Â M=(A−In)⁻¹(A+In)

Ceci montre queApossède au plus un antécédant parΦ, c’est la matriceM=(A−In)⁻¹(A+In).

Réciproquement, considérons une telle matriceM. On a : M^>=(A+In)^>¡

(A−In)^>¢−1

=¡

A^>+In¢ ¡

A^>−In¢−1

=¡

A⁻¹+In¢ ¡

A⁻¹−In¢−1

=¡

A⁻¹+I_n¢ A A⁻¹¡

A⁻¹−I_n¢−1

=(In+A)A¡¡

A⁻¹−In¢ A¢−1

= −M

La matrice M est bien antisymétrique. Les équivalences précédentes montrent queM est l’unique antécédant deAparΦ. L’applicationΦest donc bijective.

(7)

Matrices et endomorphismes symétriques positifs

Exercice 17(Oral CCP, PC, 2013).

(a) SoientD∈Mn(R) diagonale à coefficient positifs etH∈On(R). Montrer que tr(H D)Étr(D).

(b) SoientM∈Sn(R) telle que Sp(M)⊂R⁺^et^P∈On(R). Montrer que tr(P M)ÉtrM. Réponse. NotonsH=(hi j),D=(di j) etH D=(ai j). On a alors :

∀i∈ 1,n, ai i=

n

X

k=1

hi kdki=hi idi i

tr(H D)=

n

X

i=1

hi idi i

La matriceHest orthogonale, donchi iÉ1 pour touti∈ 1,n. Commedi iÊ0, on ahi idi iÉdi iet ainsi :

tr(H D)É

n

X

i=1

di i=tr(D)

SupposonsM∈Sn+(R). Il existe alorsQ∈On(R^{) et}^Ddiagonale à coefficients positifs telles que M=QDQ⁻¹. Ainsi :

tr(P M)=tr(PQDQ⁻¹)=tr(Q⁻¹PQD)

Comme On(R) est un groupe, on aQ⁻¹PQ∈On(R) et d’après la question précédente : tr(P M)=tr(Q⁻¹PQD)Étr(D)=tr(M)

Exercice 18(Oral Mines-Ponts, PC, 2013).

(a) SoitA∈Sn(R). Montrer que :∀X∈Rⁿ^,^X^>^AXÊ0 si, et seulement si, le spectre deAest inclus dansR⁺. Montrer sous cette condition queAX =0 si, et seulement si,X^>AX=0.

(b) SoitA∈Mn(R). On suppose queA^>+A∈Sn+(R). Montrer que KerA=KerA^>. Réponse. SoitA∈Sn(R) et notonsλ∈Sp(A) eteun vecteur propre unitaire associé. On a :

e^>Ae= 〈e,Ae〉 =λ Par conséquent :

∀X∈Rⁿ^, ^X^>^AX Ê0 ===Â Sp(A)⊂R⁺

Réciproquement, supposons Sp(A)⊂R⁺et considérons (e1, . . . ,en) base orthonormée de vecteurs propres pourAassociés aux valeurs propresλ1, . . . ,λn. SoitX∈Rⁿdécomposé sous la forme :

X=x₁e₁+ · · · +xnen

On a alors :

X^>AX=λ1x²₁+ · · · +λnx_n²Ê0 mais également :

X^>AX=0 ≺===Â ∀i∈ 1,nλix_i=0 ≺===Â AX =0

On suppose maintenantA∈Mn(R^{) et}^A^>+A∈Sn+(R^{). Soit}^X∈KerA, on aAX=0 doncX^>A^>=0.

Ainsi :

X^>(A^>+A)X=0

et d’après ce qui précède (A^>+A)X=0. OrAX =0 doncA^>X=0. Ceci montre que KerA⊂KerA^>. En appliquant avecA^>on obtient l’inclusion réciproque donc KerA=KerA^>. Remarque : on peut aussi utiliser rgA=rgA^>pour en déduire que les deux noyaux ont même dimension et conclure.

(8)

(9)

TD 14 : Endomorphismes des espaces euclidiens

Indications

Ex 1. tr(A) est la somme des valeurs propres deA, tr(A²) est la somme des valeurs propres deA²et les valeurs propres deA²se déduisent de celles deA.

Ex 2. DiagonaliserAet remplacerAdans l’équation.

Ex 3. (a) Utiliser le déterminant. DéduireX⁻¹de l’équation, justifier queX⁻¹est symétrique. (b) DiagonaliserXet remplacer dans l’équation.

Ex 4. (a) Diagonaliserf puis proposer une applicationget vérifier qu’elle convient. (b) Diagonaliser get obtenir une contradiction.

Ex 5. Méthodes usuelles.

Ex 6. (a) Justifier que rg(A)=1. Vérifier queAX est proportionnel àX.

Ex 7. Justifier que les sous-espaces propres def sont supplémentaires, stables parget les endomorphismes induits pargsont symétriques.

Ex 8. Considérer une base orthonormée de vecteurs propres pour f. Démontrer que〈f(x),x〉 É λnkxk². Que peut-on en déduire ? Conclure.

Ex 9. Méthode usuelle pour endomorphisme symétrique. Prendre la matrice dans une base (bien choisie) pour obtenir les valeurs propres. Vecteurs propres : plus délicat.

Ex 10. Méthodes usuelles pour le produit scalaire. Utiliser une intégration par parties pour montrer queuest symétrique en reconnaissant une dérivée.

Ex 11. Formule pour la projection orthogonale à partir d’une base orthonormée puis lien entre la symétrie et la projection.

Ex 12. Méthodes usuelles. Plusieurs moyens pour obtenir les réponses.

Ex 13. Méthodes usuelles.

Ex 14. Méthodes usuelles pour symétrique, orthogonale et symétrie. Déterminer les sous-espaces caractéristiques de la symétrie.

Ex 15. (a) Utiliser les propriétés des symétries orthogonales. (b) Considérerw=v−uet la symétrie orthogonale par rapport àF=w^⊥.

Ex 16. (a) Considérerλ∈Sp_C(A) etXvecteur propre associé. Calculer (AX)^>X de deux manières différentes. (b) Question plus difficile. Montrer déjà que l’application est bien définie et queΦ(M)∈ On(R).

Ex 17. (a) Écrire les matrices avec des coefficients. La matrice H est orthogonale donc on peut encadrer ses coefficients. (b) DiagonaliserM.

Ex 18. (a) DiagonaliserA, méthode vue en classe. (b) En utilisant la question précédente, montrer que KerA⊂KerA^>.