Nous procédons par induction sur ϕ pour montrer que le langage L(ϕ) :={w|T,{xi7→wi}16i6nϕ} est régulier

Décidabilité de l’arithmétique de Presburger

Théorème 1. L’arithmétique de PresburgerT:= Th(N,0,1,+,=)est décidable.

Démonstration. Soit ϕune formule du premier ordre sur le langage{0,1,+,=}. Posons Σ :={0,1} et notons x₁, . . . , x_n les variables libres apparaissant dansϕ:ϕ=ϕ(x1, . . . , x_n). À tout mot w:= (w₁, . . . , w_n)∈(Σⁿ)^⋆ on associe len-uplet w := (w1, . . . , w_n)∈ Nⁿ tel que pour tout 1 6i 6n, w_i est une représentation binaire de w_i avec le bit de poids faible à droite. Nous procédons par induction sur ϕ pour montrer que le langage L(ϕ) :={w|T,{xi7→w_i}16i6nϕ} est régulier.

1. ϕ est une formule atomique, c’est-à-dire ϕ :=x_i+x_j =x_k ou ϕ:= x_i = x_j. Les automates ci-dessous reconnaissent l’addition et l’égalité binaires :

r r

(1,1,0)

(0,0,1) (1,1,1)

(1,0,0) (0,1,0)

(0,0,0) (0,1,1) (1,0,1)

(a)x_i+x_j=x_k,

s

(0,0) (1,1)

(b)x_i=x_j.

2. ϕ est une négation, une conjonction ou une disjonction. L’effectivité de la clôture des langages réguliers par opérations booléennes permet de construire un automate reconnaissantL(ϕ).

3. ϕ:=∃x ψ(x). SoitAψ := (Σⁿ⁺¹, Q, δ, I, F) reconnaissant L(ψ), avecx1, . . . , x_n, xn+1 =xles variables libres de ψ. Soit π la projection de Σⁿ⁺¹ sur Σⁿ. Nous construisons alors l’automate A_ϕ := (Σⁿ, Q⊎ {d}, δ^′, d, F)de la façon suivante : soitAl’ensemble des états deA_ψaccessibles depuis un état initial avec des transitions étiquetées dans [0ⁿ(0 + 1)]^⋆. On pose

δ^′ := ({d} × {ε} ×A)∪ {(p, π(w), q)|(p, w, q)∈δ}.

Si T,{xi7→wi}16i6nϕalors il existewn+1 ∈Σ^∗ tel queT,{xi 7→wi}16i6n+1 ψ, ce qui signifie que w:= (w₁, . . . , w_k, w_n+1)∈L(ψ)par hypothèse d’induction :I∋i−^w→A_ψ f ∈F, alorsd−→^ε A_ϕi−−−→^π(w) A_ϕ f, doncAϕreconnaît(w1, . . . , w_n). Réciproquement siAϕreconnaît(w1, . . . , w_n):d−→^εA_ϕp−−−→^π(w) A_ϕ f ∈F avecp∈A, doncI∋i−→^v A_ψ p−^w→A_ψ f oùv:= (v₁, . . . , v_n, v_n+1)est tel quev₁, . . . , v_n∈0^∗. Par hypothèse d’induction T,{xi 7→ vw_i}16i6n+1 ψ, donc T,{xi 7→ w_i}16i6n ϕ (puisque pour tout 1 6 i 6 n, vw_i=w_i). AinsiAϕreconnaîtL(ϕ).

4. ϕ:=∀x ψ(x). Il suffit d’écrireϕ=¬(∃x¬ψ(x))et on conclut grâce aux deux points précédents.

Références. [Car, Sip]

909 Langages rationnels. Exemples et applications.

914 Décidabilité et indécidabilité. Exemples.

917 Logique du premier ordre : syntaxe et sémantique.

922 Ensembles récursifs, récursivement énumérables. Exemples.

924 Théories et modèles en logique du premier ordre. Exemples.

[Car] OlivierCarton: Langages formels, calculabilité et complexité.

[Sip] MichaelSipser: Introduction to the Theory of Computation.

benjamin.dadoun@ens-cachan.fr – v20140910 1/1