Td corrigé Sans utilisation des TICE pdf

(1)

Sans utilisation des TICE

TYPE D’ACTIVITÉ PÉDAGOGIQUE :

Exercices d’entraînement.

THÈME :

Nombres complexes.

NIVEAU :

Terminale scientifique.

CE DOSSIER COMPREND : 6 pages d'exercices.

TRAVAIL DEMANDÉ :

1. À partir de la liste d’exercices proposés, dégager les notions, les résultats et les méthodes utilisées.

2. Retenir 4 exercices (pris, ou non, dans la liste proposée) et justifier leur choix. Proposer une correction détaillée et commentée de l’un de ces 4 exercices.

SUR LA FICHE D’EXPOSÉ, ON INDIQUERA :

1. Donner les énoncés des 4 exercices retenus et la rédaction commentée de la résolution de l’un d’entre eux.

Q1.

A. Les exercices 42 à 62 sont centrés sur les notions de module et d’argument d’un nombre complexe.

Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :

 Les définitions du module et de l’argument d’un complexe (non nul) ;

 La définition de la « forme trigonométrique » d’un complexe ;

 La définition de la « forme exponentielle » d’un complexe ;

 | . ' | | | | ' |z z = z ´ z ; ^{arg( . ')}^{z z} ⁼^{arg( )}^z ⁺^{arg( ')( )}^z ²^p ; 1

arg( ) arg( )( )z 2

z = - p ;

( ') '

i i i

e ^{q q}⁺ = e^q´ e^q .

(2)

La principale méthode utilisée est celle qui consiste à passer d’une forme d’écriture à une autre, en utilisant les règles usuelles de calcul dans £.

Une méthode auxiliaire – mise en œuvre dans l’exercice 51 – consiste à utiliser les fonctions inverses des fonctions cosinus et sinus, à partir d’une calculatrice. Cela, afin de donner des valeurs approchées des arguments de certains nombres complexes.

Dans l’exercice 53, ce sont les valeurs exactes des cosinus et sinus de l’argument de z qui sont cherchées à partir de celles de_z².

Trois exercices sont en marge de la classification précédente. Ce sont les exercices 48, 62 et 54. Les deux premiers visent à démontrer ou redémontrer des propriétés qui sont à connaître.

Dans l’exercice 48, on démontre l’inégalité triangulaire relative à la somme de deux complexes à partir de l’inégalité triangulaire relative à la distance entre points du plan euclidien.

Dans l’exercice 62, il s’agit de retrouver les formules trigonométriques d’addition à partir des propriétés de l’exponentielle, étendues aux complexes de la forme ia où a Î R.

L’exercice 54 est plus original, il crée une interrelation – nouvelle pour des élèves – entre le produit de deux complexes et certaines transformations du plan (les similitudes directes de centreO).

B. Les exercices suivants (63 à 95) sont centrés sur les notions d’interprétation-traduction géométrique puis d’utilisation des nombres complexes en géométrie euclidienne plane.

Les principaux résultats nécessaires à la résolution de ces exercices sont :

 L’interprétation géométrique du module d’un complexe ;

 L’interprétation géométrique de l’argument/des arguments d’un complexe non nul ;

 La traduction complexe de l’alignement de 3 points ; de l’orthogonalité de deux vecteurs ;

 Les caractérisations d’un cercle : ^{| |}^z ⁼ ^cte ; d’une droite ^{arg( )}^z ⁼^cte ; de la médiatrice du segment ^[^AB^] : MA 1

MB =

 Les définitions analytiques complexes des transformations usuelles (i.e. figurant dans les P.O.) du plan ;

Les exercices 92 - … - 95 sont consacrés à la fonctionnalisation des outils complexes à l’étude de configurations du plan. Dans ces exercices, les détails des calculs permettant d’établir la propriété géométrique visée, ne sont pas toujours pris en charge par l’énoncé et parfois laissés à l’initiative des élèves (ex. 92).

Plusieurs méthodes (ensemble de techniques ayant une certaine généralité) sont mises en œuvre. En particulier, la méthode de recherche de lieux géométriques associés aux deux lieux classiques précédemment évoqués.

La méthode « du passage en cordonnées cartésiennes » est aussi mobilisée pour identifier certains lieux.

Pour la question 2, voici deux réponses possibles.

Q2. Choix de quatre exercices :

53-57-71-92 (choix personnel) ou bien : VRAI-FAUX + 48+78+93 Justifications du choix personnel :

(3)

L’exercice 52 est déconcertant (pour un élève) car l’expression algébrique de ^z conduit à une forme trigonométrique « inexploitable », les valeurs des cosinus et sinus n’étant pas des valeurs remarquables.

On trouve 3 1 3 1

2 2( 2 2 2 2 )

z = + +i - et l’argument q vérifie :

3 1 3 1

2 2 2 2

cosq= + ,sinq= - .

On peut remarquer que l’utilisation d’une calculatrice donne une va de q égale à 0,261799…

rd ; valeur quasiment impossible à « interpréter » par un élève. Une « inspiration » consisterait à conjecturer une fraction de p et à diviser le résultat par p … pour trouver 0,0833333333333…

Résolution rapide :

En suivant l’énoncé : z² = 4 3( +i) = 3 1 ⁶

8 8

2 2

( +i )= eⁱ^p. On en déduit que

2 2 8

|z | | |= z = et arg( )z² = p6. Puis que ^{| |}^z ⁼ ^{2 2} et q=arg z( )=12p( )p . Mais, cosq est positif et 2

12p( ) q= p .

On en déduit que 6 2

12 4

cosp = + et 6 2

12 4

sinp = - .

(Question « jury : l’angle 12p

est-il constructible à la règle et au compas ? Le savait-on déjà ?).

L’exercice 57, plus élémentaire que le précédent, offre néanmoins l’intérêt de comparer plusieurs techniques de résolution.

Technique 1 : on développe et on cherche la forme trigonométrique ensuite.

Technique 2 : on cherche la forme trigonométrique avant de calculer la puissance et on utilise la propriété : arg(zⁿ) = n.arg( )( )z ²p .

Comparons les deux techniques :

( )

2 2

1

3 i 1 3

z i

i æ - ÷ö

=çççè ÷÷ø = - - =

4 2

2eⁱ3^p

æ ö÷

ç ÷

çè ø= 4eⁱ⁸3^p =4eⁱ²3^p.

1 2 2 3

z = - + i = 1 3

4(-2 +i 2 ) = 4eⁱ²3^p.

( )

³ ³

3 4 4

2 (1 ) 2 ⁱ 8 ⁱ

z i e e

p p

= + = = .

3 2 4

1 1

2 2 8 8

2 2

( ) ⁱ

z = - + i = - +i = e ^p.

Remarque : si z3 =(1+i)⁷, la difficulté objective du développement renforce l’intérêt de la technique 1.

Exercice 71 :

(4)

Ici, la nature de l’expression de z' en fonction de, ne permet pas de retrouver l’une des transformations classiques du plan. (En fait, z' est ce qu’on appelle une transformation homographique de ^z dont l’étude n’est pas au programme des classes de lycée.)

Le module de z', est égal à _iz^z⁺₊²₁ ⁼ ^z_{i z}^{- -}_. ⁽_- ²_i⁾ ⁼ ^z^{- -}_z_-⁽ _i²⁾ . Sous cette forme, on reconnaît le quotient des distances MA

MB. Le lieu cherché est donc la médiatrice du segment

[AB].

Pour avoir l’équation cartésienne de cette médiatrice, il est commode de conduire les calculs dans £ : | ' |z = Û1 z z' '= Û1 (z+2)(z+2)=(iz+1)(- iz+1). Soit encore,

2(z+z)+ =4 i z( - z)+1.

Et c’est seulement à ce stade qu’il convient de remplacer : z + =z 2x et ^z^- ^z ⁼²^iy. L’équation s’écrit : ⁴^x^{+ = -}⁴ ²^y^{+ Û}¹ ²^y⁺⁴^x^{+ =}³ ⁰.

Remarque : si on note F l’application de £ \ ^{{ }}i dans £ \ ^{- i^}qui à ^z associe z' et ^j l’application du plan épointé qui lui est associée, alors ^j transforme une droite en un cercle.

L’exercice 92 est un bon exemple de fonctionnalisation de l’outil complexe. L’absence d’indication de l’énoncé rend cette utilisation problématique (mais formatrice évidemment).

Le placement des 4 points donne :

1 A 1

B

C D

Il est facile de conjecturer que le quadrilatère est un carré dont le centre est l’isobarycentre des 4 points, soit le point W d’affixe 1 1

4(zA +zB +zC +zD)= 2.

La rotation de centre W et d’angle 2- p a pour expression analytique dans £ :

1 1 1

2 2 2 1

' ( ) ' ( ) ( )

z - = - i z- Û z = f z = - iz+ +i . Il est alors facile de vérifier que l’image de 3

2i est 1

2+2i, ce qui traduit que l’image du point A est le point B. Ensuite,

1 3

2 1

2 2

( )

f + i = - i + et 3 1

1 1

2 2

( )

f - i = - - i. Autrement dit, les sommets consécutifs du quadrilatère ABCD se déduisent les uns des autres par la rotation de centre W et d’angle 2- p . le quadrilatère est donc un carré.

Correction détaillée de l’exercice 78

(5)

On désigne par A B, et M les points d’affixes :

A 2

z = - , z_B = - +1 i et z. Pour z ¹ - 2, on pose 1

2 iz i

Z z

= + +

+ .

1°) Interpréter géométriquement le module et l’argument de Z.

1 1 1

2 2 2

( ) ( )

( )

iz i i z i i z i

Z z z z

+ + + - - -

= = =

+ + - - = 1

2 ( )

( ) z i

z - -

- - = MB MA.

1 2 2

arg( )Z =arg( )i +arg(z- (i- ))- arg(z- -( ))( )p = · 2 2 (MA MB, ) ( ) p+ uuur uuur p

. 2°) Déterminer et tracer l’ensemble E des pointsM tels que ^Z ⁼¹.

Cet ensemble est constitué des points du plan tels que MB

MA=1, c’est-à-dire de la médiatrice du segment ^[^AB^].

3°) Déterminer et tracer l’ensemble F des points M tels que Zait pour argument 2p .

· 0 2

arg( )Z = p2 Û (MA MBuuur uuur, ) = ( )p

[ ]

( ) \

M AB AB

Û Î .

Questions possibles :

1. Comment définir £ à partir de R ?

2. £ est-il un corps ordonné (i.e. muni d’un ordre total compatible avec les opérations et qui prolonge l’ordre de R) ?

Rép. Non, dans le sens suivant. On peut définir un ordre total sur £ mais il n’est pas compatible avec la multiplication dans £. Supposons le contraire et notons pcet ordre.

Si 0 p i, alors en multipliant par i les deux membres de cette inégalité, on obtient une inégalité de même sens : 0´ =i 0 p i i´ = - 1. Ce qui n’est pas cohérent avec l’ordre naturel de R.

Si i p 0, en multipliant par i, on obtient, en inversant cette fois le sens de l’inégalité : 1 0

- f .

3. Quelles sont les transformations du plan associées à : z a az+b ? 4. Équation d’un cercle dans £ ? D’une droite ?

5. Un nombre complexe a-t-il toujours une racine carrée ? Expliquer. Une racine cubique ? Une racine n-ième ?