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I = [0,+∞[et (f(x) =xln(x) si x >0 f(0

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(1)

ECE1 Année 2018-2019

Fiche d’exercices : CONTINUITE

Exercice 1 : (∗∗)

Etudier dans les cas suivants la continuité de la fonctionf définie surI par : 1. I =R et

(f(x) = exx−12 si x6= 0 f(0) = 0

2. I = [0,+∞[et

(f(x) =xln(x) si x >0

f(0) = 0 (Lyon 2012)

3. I = [0,+∞[et

f(x) =x2 si x>1 f(x) = ln(x)1 si0< x <1 f(0) = 0

Exercice 2 : (∗∗) Edhec 2009

On pose f(0) = 1et pour tout x∈]− ∞,0[∪]0,1[:f(x) = −x

(1−x) ln(1−x). Montrer que f est continue sur ]− ∞,1[.

Exercice 3 : (∗)

f est définie sur ]−2,2[∪]2,+∞[parf(x) =

√2 +x−2

√x+ 7−3.

Montrer quef est continue sur]−2,2[∪]2,+∞[. Etudier l’existence d’un prolongement par continuité à droite en 2.

Exercice 4 : (∗∗)

On considère la fonction f définie sur ]−1,0[∪]0,+∞[par :f(x) = (x+ 1)x1. 1. Montrer que f est continue sur son domaine de définition.

2. f est-elle prolongeable par continuité en 0 ? à droite en -1 ? 3. Calculer lim

x→+∞f(x)

Exercice 5 : (∗ ∗ ∗)

Soit f la fonction définie sur Rpar : f(x) =bxc+»x− bxc. Etudier la continuité de f. Exercice 6 : (∗∗)

1. Montrer que pour tout n∈N, l’équationex+x−n= 0 admet une unique solution notéeun. (On pourra considérer la fonction fn:x→ex+x−n)

2. Montrer que (un) est une suite croissante.(On pourra comparerfn(un) et fn(un+1).

3. Montrer que (un) tend vers+∞.

Exercice 7 : (∗∗)

1. Montrer que pour toutn∈N, l’équationln(x) =x−n admet une unique solution notéexn. 2. Montrer que (xn) est minorée par 1.

3. Montrer que (xn) est décroissante. Qu’en déduit-on ?

4. En raisonnant par l’absurde, à l’aide de la définition dexnmontrer que(xn) converge vers 1.

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