Automatique : Introduction à l automatique des systèmes échantillonés Cours

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Automatique :

Introduction à l’automatique des systèmes échantillonés

Cours

Automatique Linéaire

Ce que l’on a vu :

la transformé de Laplace,

les systèmes du premier et second ordre, leurs caractéristiques en temporel et en fréquentiel,

le formalisme en schéma bloc,

choix et dimensionnement d’un correcteur (P, PI, PID), (la stabilité des systèmes asservis).

Bonne nouvelle : tout ça reste entièrement valable et valide Mauvaise nouvelle : nous avons réalisé les correcteurs avec AOP+résistances+capacités

TECHNOLOGIQUEMENT OBSOLETE

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Déploiement industriel : Automates programmables

En milieu industriel : asservissements généralement en armoires électrique avec des

Dispositif

différentes Entrées/Sorties

, MAIS,

F. Kölbl (Université de Cergy Pontoise) Automatique - SARII 3 / 14

Objectifs du module

Comprendre comment est numérisé un signal du point de vue de l’automatique,

Cours.

Modéliser des systèmes en numériques : automatique échantillonnée et transformée enz

cours, TD, TP

Dimensionner un correcteur en numérique, ou TP

Vous serez évalué sur deux TP + contrôle.

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Numérisation d’un signal

La conversion ou numérisation d’un signal repose sur sonéchantillonnage signal analogique : temps continu

définit quelque soit t

t s(t)

signal numérique : temps discret définit uniquement à

t s^∗

On parle de fréquence d’échantillonnagefe :

Théorème de Shannon

Problème : si la fréquence d’échantillonage il est

potentiellement le signal

s^∗

t

1 f =T

×

× ×

Te= ^T₄

signal reconstruit× × ×

Te= ^T₂

signal reconstruit

Théorème de Shannon

Pour numériser un signal ayant pour fréquence maximalefmax, il faut choisir une fréquence d’échantillonnagef_e telle que :

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Transformation des systèmes

Pour tenir compte de la discretisation, on note:

e(t) E(p)

Te

e^∗

E (z) ^G

s^∗ S(z)

Te s(t) S(p)

En temps discret

On définit une nouvelle transformée : : de variable

qui transforme un signale∗ en , ets∗ en

qui permet d’étendre la fonction de transfert d’un bloc échantillonné à

par la suite nous allons voir :

comment passer du domaine de Laplace au domaine dez,

comment relier l’entrée et la sortie d’un signal échantillonné à sa fonction de transfert enz.

Sens physique derrière la variable z

Définition théorique de la transformée en

z

Définition complexe (liée à celle de la transformée de Laplace) -non vue ici

MAIS définition basée en partie sur l’égalité suivante :

avecTe la période d’échantillonnage, pla variable de Laplace

Conséquences

Il est facile de passer de la transformée enz à un équivalent en p, mais dans l’autre sens moins...

Dans le domaine de Laplace,e^−Tp est un de valeurT (en seconde).

doncz⁻¹ est un :

c’est un blocage d’une valeur, ou pour une

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Bref rappel mathématique

pour rappel, l’exponentielle complexe est une fonction définie surC, et : e^x =

Formules d’Euler pour rappel, une formule intéressante en trigonométrie est :

=

Equivalence à la dérivation

t s

s_k

kTe

s_k−1

(k−1)Te

définition mathématique de la dérivée : df (t)

dt =

Mais en échatillonné, le pas le plus petit sur l’axe des temps est

On va donc approximer la dérivée par df (kTe)

dt ≈

Z

s_k −s_k₋₁ Te

=

Dans l’espace de Laplace, dériver revient à multiplier parp

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Appartée : que deviennent les systèmes en z

Pour rappel, les systèmes avec un signal d’entréee(t) et une sorties(t) étaient modélisés par une équation différentielle (cf Autom Linéaire cours 1), qui

ressemblait à : a_ndⁿs

dtⁿ +a_n−1dⁿ⁻¹s

dtⁿ⁻¹ +· · ·+a₁ds

dt +a₀s(t) = b_md^me

dt^m +· · ·+b₁de

dt +b₀e(t) avecan,· · ·a₀ et bn,· · · ,b₀ des coefficients,

En reprenant l’équivalence de la dérivée

On peut constater qu’on aura une équation caractéristique d’un système sous la forme:

en utilisant le fait que z⁻¹ est , on obtient :

Equivalence à l’intégration

De manière similaire à l’équivalence à la dérivation

t s

s_k

kTe

s_k−1

(k−1)Te

Intégrale :

Approximation possible : aire d’un trapèze (en bleu ici)

Aire= et Intégrale ) Aire=

Z kT_e (k−1)Te

d(t)dt =F (kTe)−F((k−1)Te)

Dans l’espace de Laplace, intégrer revient à p

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Table des équivalences

Les méthodes de passages dep versz sont basées sur des approximations Dans certains cas, possibilité d’utiliser des tables de correspondances.

Exemple:

fonction de transfert fonction de transfert en temps comptinu en temps discret

G(p) = ¹ p+a G(p) = ¹

(p+a) (p+b) G(p) = ¹

p(p+a)

Comportement fréquentiel des systèmes échantilllonnés

Une solution simple consiste à calculer laTransformé de Fourier en temps discretdes signaux d’entrée/sortie:

on substituez avec l’équation suivante : z =

oùfe est la fréquence d’échantillonnage.

E(z) e₁,e₂,· · · ,en

G(z)

S(z) s₁,s₂,· · · ,sn

on obtient alors G

e^ωT^e

=

avecσ ete les transformées de Fourier en temps discret en entrée/sortie.

Gain :G =

n’a de sens que sur l’interval (cf. Shannon)