Cours(2) Transformée en Z

(C2) Transformées en Z – Propriétés

Notation : Si

x(n)

est un signal causal discret, on note par majuscule

X

sa transformée en

Z

.

P1) Linéarité : Soit

x

et

y

deux signaux causaux discrets et

λ ∈ C

. On note leurs transformées en

Z

:

X = ( ) Zx ( z )

et

Y = ( ) Zy ( z )

. Alors

( )

( Z x + y ) ( z ) = X + Y

et

( Z ( ) λ x ) ( z ) = λ X

.

Dém:

( ( ) ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )

0 0

z Y z X z

n y z n x z

n y x z

y x Z

n

n n

n

n

= + = +

+

=

+ ∑ ∑

^+∞

=

− +∞ −

=

−

Exemple :

x ( n ) = n

²

− 3 n + U ( n )

( ) ( ) ( ) ( )

1 )

1 3 ( ) 1 (

) 1 ) (

( ) ( )

( 3 ) ( )

(

^{2 2} _{3 2}

+ −

− −

−

= + +

−

= z

z z

z z

z z z

n ZU z

Zn z

Zn z

Zx

P2) Multiplication par une exponentielle

a

ⁿ

Soit

x

un signal causal discret dont la transformée en

Z

est

X

.

Soit

y(n)

le signal causal discret donné par

y ( n ) = a

ⁿ

x ( n )

. Alors la transformée en

Z

de

y(n)

est :

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= c

X z z Zy

Y ( )

.

Démonstration :

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

= ∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

−

a X z a

n z x z

n x a z

Zy Y

n

n

n

n n

0 0

) ( )

( )

(

Exemple : Si

x ( n ) = n

alors pour

y ( n ) = a

ⁿ

n

on a :

( ) ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

=

= ∑ ∑

^∞

=

∞ −

=

−

a X z a

n z z

na z

Zy Y

n

n

n

n n

0 0

)

(

.

Comme

( )

₂

0

( 1 )

)

( = = −

= ∑

^∞

=

−

z nz z

z Zx X

n

n , alors on a _{2 2}

) ( ) 1 / (

/

a z

az a

z a z a

X z

Y = −

= −

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

.

P3) Théorème du retard (L’effet d’une translation de la variable)

Soit

x(n)

un signal causal discret et

U(n)

le signal échelon unité.

On appelle signal retardé de

n

₀unités le signal causal discret

y ( n ) = x ( n − n

₀

) U ( n − n

₀

)

où

n

₀

∈ N

et sa transformée en

Z

est :

( ) ( ) 1 ( )

) 1 (

) ( )

(

0 0

X z

z z z Zx

z Zy z

Y = =

_n

=

_n

Remarque : Le rôle de la multiplication par la fonction échelon U(n) est que le signal retardé reste causal.

Dém:

( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

( )

⁰

( )

0 0

0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

U n n z x n n z x n n z z z x p z z X z

n n x

Y

ⁿ

n n p

p n

n n

n n n n

n

n n

n ∞ −

=

−

=

− −

∞

=

−

−

∞ −

=

∞ −

=

−

∑ ∑ ∑

∑ ^{− − = − = − = =}

=

Exemple: Soit

x(n)

un signal causal discret et

y(n)

le signal défini par

y ( n ) = x ( n ) − 2 x ( n − 1 ) + x ( n − 2 )

Si

X

est la transformée en

Z

de

x(n)

alors la transformée de

y(n) est 1 ( )

1 1 2 1

) (

2

2

X z

X z X z X z z

Y ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

= +

−

=

P4) Théorème de l’avance

Soit

x(n)

un signal causal discret dont la transformée en

Z

est

X

. Alors pour le signal avancé

x(n+n

0

)on a

( ^{Zx ( n} + ^{1 )} ) ^{( z )} = ^z × ( ^{X ( z )} − ^{x ( 0 )} )

( ^{Zx ( n + 2 )} ) ^{( z ) = z}

²

^× ( ^{X ( z ) − x ( 0 ) − x ( 1 ) z}

⁻¹

)

( ) (

0 ^{( 1)}

)

2 1

0

0

0

( ) ( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) ... ( 1 )

) ( )

( n + n z = z

ⁿ

× X z − x − x z

⁻

− x z

⁻

− x n − z

^{−n −}

Zx