Cours de Traitement du Signal

Ecole Nationale Supérieure de l’Energie, l’Eau et L’Environnement

961 rue de la Houille Blanche • Domaine Universitaire • B.P. 96 • 38402 SAINT MARTIN D'HERES CEDEX •

Cours de Traitement du Signal

D. Baudois J. Chanussot

J. Mars

SOMMAIRE

PREAMBULE 5

INTRODUCTION 7

LE SIGNAL DETERMINISTE 7

I. AXIOMATIQUE 7

II. CHANGEMENT DE REPRESENTATION 8

III. ESPACE DES SIGNAUX D’ENERGIE FINIE : (L²) 9

IV. SIGNAUX DE PUISSANCE MOYENNE FINIE (NON NULLE) 13

FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES SIGNAUX DETERMINISTES 16

I. FILTRE L.H. (LINEAIRE HOMOGENE) 16

II. CAS DES SIGNAUX D’ENERGIE FINIE 16

III. CAS DES SIGNAUX DE PM FINIE 17

LES SIGNAUX BL² 20

I. DEFINITION 20

II. THEOREME DE BERNSTEIN 20

III. THEOREME DE SHANNON 21

LE SIGNAL ALEATOIRE 26

I. GENERALITES 26

II. SIGNAL ALEATOIRE 26

III. STATIONNARITE 26

A. EFFET DE LA STATIONNARITE STRICTE POUR N =1 : 27

B. EFFET DE LA STATIONNARITE STRICTE POUR N =2 : 27

IV. ETUDE CONJOINTE 28

V. INDEPENDANCE 29

VI. PROCESSUS GAUSSIEN 29

ETUDE FREQUENTIELLE DES FONCTIONS ALEATOIRES 30

I. DENSITE SPECTRALE DE PUISSANCE MOYENNE (DSPM) D’UN SIGNAL ALEATOIRE STATIONNAIRE X(T) 30

II. THEOREME DE WIENER-KHINCHINE 31

III. NOTION DE COHERENCE 31

FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES PROCESSUS ALEATOIRES ET STATIONNAIRES DU 2^ND

ORDRE 33

I. CARACTERISATION AU 1^ER ORDRE (FORMULE DE LA MOYENNE) 33

II. CARACTERISATION AU 2^ND ORDRE 33

A. DESCRIPTION DES RELATIONS ENTREE/SORTIE D’UN FILTRE 33

B. FORMULE DES INTERFERENCES 34

C. APPLICATION A L’ANALYSE SPECTRALE : ANALYSEUR DE SPECTRE F.Q.I. 36

SIGNAUX LARGE BANDE / BRUIT BLANC 39

I. SIGNAUX ‘‘LARGE-BANDE’’ (MODELE THEORIQUE) 39

II. TENDANCE VERS LE BRUIT BLANC 39

III. APPROCHE SYSTEMIQUE DES SIGNAUX 40

IV. IDENTIFICATION D’UN FILTRE LINEAIRE ET HOMOGENE 42

A. 1^ERE METHODE : APPROCHE DIRECTE 42

B. 2^EME METHODE : UTILISATION DE LA REPONSE INDICIELLE 42

C. 3^EME METHODE : IDENTIFICATION PAR INTERCORRELATION ENTREE / SORTIE 43

NOTION DE RAPPORT SIGNAL A BRUIT FILTRAGE ADAPTE 44

I. POSITION DU PROBLEME 44

II. APPLICATION : MESURE DE LA DATE D’ARRIVEE D’UN SIGNAL CERTAIN CONNU 48

PREAMBULE

Ce document est un extrait du cours de traitement du signal qui était dispensé en première année de l’ENSIEG (21 heures). Il était alors associé à des travaux dirigés (19 heures 30).

L’enseignement qui sera présenté à l’ENSE3 ne reprendra qu’une partie de ce cours et des travaux dirigés. Il nous a semblé judicieux de mettre à disposition l’ensemble de l’enseignement antérieurement présenté. Il constitue un ensemble de base qui peut servir de référence, en particulier pour ceux d’entre vous qui souhaiteraient approfondir cette discipline (modules électifs, filière SICOM ...filière commune avec l’école PHELMA).

Un polycopié constitué des notes de cours prises par un étudiant, relues et corrigées par Daniel Baudois, qui était alors en charge de ce cours doit être également disponible au cercle poly. Cette année le cours sera dispensé par Daniel Baudois, Jocelyn Chanussot et Jerome Mars. (prenom.nom@gipsa-lab.inpg.fr).

Pour plus d’information, vous pouvez les contacter au Laboratoire GIPSA-Lab, (www.gipsa- lab.inpg.fr) et plus précisément au Département Signal Images situé au bâtiment D. du site Ampère. (http://www.gipsa-lab.inpg.fr/index.php?id=333 )

Vous trouverez sur dokeos, l’ensemble des documents disponibles.

o Cours de Traitement de Signal

o Intégralité des énoncés d’exercices et de travaux dirigés.

Quelques liens….

Information générale sur la filière SICOM : www.gipsa-lab.inpg.fr/SICOM

Par ENSE3 : http://ense3.grenoble-inp.fr/29593296/0/fiche___pagelibre/&RH=E3Lesfilieres Par l’école PHELMA : www.phelma.grenoble-inp.fr

Info. sur le Département Images et Signal : http://www.gipsa-lab.inpg.fr/index.php?id=333 Blog de la filière SICOM http://intranet.phelma.fr/83605340/0/fiche___pagelibre/

INTRODUCTION

Pour transmettre de l’information, on utilise une quantité physique qui varie au cours du temps, appelée signal (exemple : un signal de parole peut être représenté par les variations temporelles d’une pression acoustique, une image est représentée par les variations de niveaux de gris de points appelés pixels, une message téléphonique est codé par les variations d’un signal électromagnétique, converti à la réception en signal électrique puis sonore…).

Le signal est engendré par un émetteur naturel (rayonnement d’une étoile, vibration de la glotte, secousse sismique…) ou artificielle (générateur de tension, vibrations de moteurs…). Il se propage dans un canal de transmission (fil, atmosphère, milieu marin…) puis est recueilli par un récepteur (antenne…). Lors de la propagation, le signal peut être altéré et à la réception, on enregistre en général du bruit additif provenant de l’environnement. Il est alors nécessaire de traiter le signal afin de récupérer l’information transmise.

L’étude des signaux se subdivise en deux parties :

le signal déterministe, qui sert de modèle d’études dont l’évolution temporelle est parfaitement connue (passé, présent et futur)

le signal aléatoire, qui sert de modèle lorsque la description déterministe est impossible (manque de connaissances du phénomène, paramètres imprédictibles…)

LE SIGNAL DETERMINISTE

I. Axiomatique

En général, on privilégie la représentation temporelle (qui est naturelle) du signal.

Le signal x(t) est une fonction réelle (voire complexe) de la variable réelle t.

- de module borné

- continue ou possédant un nombre fini (ou une infinité dénombrable) de discontinuités de première espèce (saut de hauteur finie).

L’ensemble des signaux ainsi défini a une structure d’espace vectoriel (stabilité par l’addition et la multiplication par un scalaire, par exemple la somme de deux tensions est une tension, ainsi que le produit d’une tension par un nombre) :

• dans cet espace, on définit un produit scalaire, noté x,y

• puis la norme associée à ce produit scalaire : x = x,x

• et la distance qui en découle : ^d

( )

^x,y = ^x−^y

• si l’espace est de dimension finie n, chaque vecteur signal peut s’écrire comme la combinaison linéaire des signaux formant une base de cet espace :

( ) ∑ ( )

=

⋅ λ

= ⁿ

1 i

i i e t t

x

• si l’espace est de dimension infinie de la puissance du dénombrable, on peut trouver une base infinie discrète e1(t), … , en(t), … ; telle que ^∀ε>0,∀x

( )

^{t ,}

∃ N fini ;

( )

⁻

∑

^{λ ⋅}

( )

^<ε

= N

1 i

i i e t t

x

et on écrit alors :

( ) ∑

^∞

( )

=

⋅ λ

=

1 i

i i e t t

x

par exemple, l’ensemble des signaux périodiques de période T forme un espace de dimension infinie de la puissance du dénombrable : tout signal de cet ensemble peut se décomposer sur la base infinie de Fourier (décomposition en série de Fourier)

• dans le cas contraire, l’espace est dit de dimension infinie de la puissance du continu.

II. Changement de représentation

La représentation temporelle n’est pas forcément toujours la plus adaptée pour décrire les signaux. Par exemple, on peut décrire simplement un signal sinusoïdal par sa fréquence, sa phase et son amplitude (3 paramètres).

On définit un espace axiomatique des signaux en tant qu’espace vectoriel normé qui sera observé dans diverses représentations, la représentation temporelle n’est que l’une d’entre elles. On passe d’une représentation à une autre par le biais de transformations bijectives.

ESPACE VECTORIEL

( )

^x,y

d x , y , x

x(t)

x(α)

x(β)

? ?

Le passage de la représentation temporelle x(t) à la représentation X(α) s’écrit de façon générale :

( ) ∫ ( ) ( )

∆

α

=

α K ,t x t dt X

noyau

3 2 1

on montre alors que la transformation inverse s’écrit :

( )

⁼

∫ ( ) ( )

^{α α α}

∆

− ,t X d K

t x

' 1

Les exemples les plus classiques sont les transformations de Laplace et Fourier.

Laplace ⇒

( ) [ [





= α

+∞

=

= ⁻ ∆

s ,

; 0 e t , s

K ^st

Fourier ⇒

( ) ] [

( )



 ν

= α

+∞

∞

−

=

= ∆ ν ^{− πν}

réel

; , e t ,

K ^{2j t}

Rappel : x(t) admet une transformée de Fourier (TF) si

L¹

L²

- ^x

( )

^{t L1}

∫

^x

( )

^{t dt CVG}

ℜ

⇔

∈ (Converge)

- ^x

( )

^{t L2}

∫

^x

( )

^{t 2dt CVG}

ℜ

⇔

∈

III. Espace des signaux d’énergie finie : (L

²

)

Définition : x(t) réel est d’énergie finie si il est de carré sommable, c’est à dire si

( )

∫∞ +

−∞x²t dt converge. On dit alors que x(t) ∈ L² . Il est possible d’interpréter la quantité

( )

=2∫ 1

12 ²

t t

dt t x

E comme l’énergie du signal emmagasinée (ou restituée) entre les instants t1 et t2. Par exemple, l’énergie Joule est proportionnelle à l’intégrale du carré de l’intensité, l’énergie cinétique est proportionnelle à l’intégrale du carré de la vitesse …

L’énergie intrinsèque du signal est définie par Ex=

( )

( )

+∞

∫

∞

−

dt t

x

ée tan tan ins puissanced'énergie densité

2

3 2 1

L’extension au cas d’un signal complexe est immédiate en utilisant le module carré.

Dans cet espace, on définit le produit scalaire entre les signaux x(t) et y(t) par

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

ℜ

= x t y t dt t

y , t x

Dans ce cas, l’énergie du signal est sa norme carrée :

( ) ( )

x 2

2 x t dt E

t

x =

∫

=

ℜ

Remarque : ceci définit une relation d’ordre sur les signaux : un signal « plus grand » qu’un autre si son énergie est plus grande.

La distance entre deux signaux est définie par :

( ) ∫ ( ) ( )

ℜ

−

= x t y t dt y

, x

d^{2 2}

On appelle fonction d’intercorrélation pour le retard τ entre x(t) et y(t) le produit scalaire yτ

,

x entre x(t) et y(t-τ), notée :

( ) ( ) ( ) ∫

ℜ

−

=

Γ^xyτ xt yt τ dt

τ est le décalage temporel entre les signaux et peut être interprété comme un retard.

Si x(t) = y(t), on obtient la fonction d’autocorrélation du signal x(t) :

( ) ( ) ( )

^+∞

∫

∞

−

−

=

Γ^xxτ xt xt τ dt

Propriétés de l’autocorrélation :

1.

( ) ( )

2 x

xx 0 = x t dt=E

Γ

∫

ℜ

: l’autocorrélation en 0 correspond à l’énergie du signal

2. si

( ) ∫ ( ) ( )

ℜ

⋅ τ +

= τ Γ

= ⇒ τ

− u xu xudu

t _xx ^{⇒ Γ}xx

( )

^{τ =Γ}xx

( )

^−τ : symétrie hermitienne.

3. En remarquant que

∫

^x

( ) ( )

^{t −x t−τ 2dt≥0}

ℜ

(intégrale de termes positifs)

En développant, il vient : ²Γxx

( )

⁰ −^2Re+∞

∫

^x

( ) ( )

^t ⋅^{x t}−τ^dt≥⁰

∞

−

D’où :

( )

^+∞

∫ ( ) ( )

∞

−

τ

−

⋅

≥

Γ_xx 0 Re x t xt dt

Et donc, pour tout τ : ^Γxx

( )

0 ^≥Re

[

^Γxx

( )

^τ

]

cas où x(t) est réel :

( )

x xx 0 =E Γ

( )

^τ

Γ_xx est paire

La corrélation est maximum en 0 : Γxx

( )

⁰ est un maximum global.

4. Pour l’intercorrélation, on a : ^Γxy

( )

^{τ =Γ}yx

( )

^−τ

Représentation fréquentielle :

Les signaux de L² admettent une représentation fréquentielle par transformée de Fourier :

( )

^{t ∈L ⇒ X}

( )

^ν

x ² existe et est définie par :

( )

⁺

∫

^λ

( )

λ

−

ν π

−

∞

→

=λ

ν lim x t e dt

X ^{2 j t}

Note : on conservera dans la suite ces notations classiques x(t) et X(ν)

Propriétés :

1. Théorème de Parseval :

( ) ( )

^∫

( ) ( )

=ℜ

ℜ∫^{xt yt dt X}ν ^Yν ^dν

En particulier, avec x(t)=y(t), on obtient

( )

2

( )

2 X E d X dt t

x = ν ν =

⇒

∫ ∫

ℜ ℜ

L’énergie du signal est la même, que l’on considère le signal dans sa représentation temporelle ou fréquentielle.

( )

²

Xν , qui est réel et positif, s’appelle la densité spectrale d’énergie (D.S.E.) si x(t) est réel, ^X

( )

^{ν 2} est paire.

En effet :

( ) ∫ ( )

ℜ

ν π

= −

ν x t e dt

X ^{2 j t}

( )

^{ν =}

∫ ( )

⁼

( )

^−ν

ℜ

ν π

+ dt X e

t x

X ^{2 j t}

la fonction ^X

( )

^{ν 2 = X}

( ) ( )

^{ν ⋅X −ν} est donc paire

2. Théorème de Plancherel : un produit de convolution se transforme en un produit simple (et réciproquement).

( )( )

[

^{a∗b t}

]

^=A

( ) ( )

^{ν ⋅Bν}

TF

En appliquant cette formule au cas particulier :

( ) ( ) ( ) ( )

^{νν ==Y νν}

B

X A

On obtient alors :

( ) ( ) ( )

⁺

∫

^∞

( )

∞

−

ν π

+ ν

ν

=

=

d e

Y t

b

t x t a

t j 2

Soit : ^b

( )

^{t =+}

∫

^∞Y

( )

^{νe 2 j}

^{( )}

^tdν=y

( )

^−t

∞

−

− ν π +

Le produit de convolution devient :

( ) ( )

∫^}

( )

ℜ

−

−

=

∗



 



 



 





dt t b

t y t a

t x b a

8 7 6τ

τ τ

Ce qui entraîne : ^TF

[

^Γxy

( )

^τ

]

^=X

^{( ) ( )}

^{ν Yν}

3. En prenant x=y dans l’expression précédente, on retrouve la densité spectrale d’énergie, qui est la transformée de Fourier de l’autocorrélation :TF

[

Γxx

( )

τ

]

= X

( )

ν ² . 4. Calcul de l’énergie de ^y

( )

^t =^x1

( )

^t +^x2

( )

^t :

Ey =

∫ ( )

^+∞

∫ ( ) ( )

∞

− ℜ

⋅ + +

=E E 2 Re x t x t dt dt

t

y ² _{x1 x2 1 2}

Ey =

( )

2 x x 1 2

x , x Re 2 E E dt t

y = ₁+ ₂ + ⋅

∫

ℜ

On constate que : E_y =E_x1+E_x2 si x₁,x₂ =0 , lorsque x1 et x2 sont orthogonaux, il n’y a pas d’échange d’énergie entre les deux signaux. Cette énergie d’interaction est définie, respectivement en temporel ou en fréquentiel (Parseval) par :

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

∫

^+∞

∞

− +∞

∞

−

ν ν

⋅ ν

=

⋅

= x t x t dt X Y d

E

eraction int ' d spectrale densité dsi eraction

int '

d instantanée puissance

2 1

12 14243 14243

_

Le produit X(ν).Y(ν) s’appelle la densité spectrale d’énergie d’interaction (D.S.I.).

Remarque :

x(t) et x(t-τ) ont même densité spectrale d’énergie (d.s.e.)

( )

^TF

[ ]

^x

( )

^{t dse X}

( )

²

Xν = → ν

( )

{

^{x t}

} ( )

^{X e 2 j dse X}

( )

^{e 2 j 2 X}

( )

²

TF −τ = ν ^{− πντ} → ν ^{− πντ} = ν

IV. Signaux de puissance moyenne finie (non nulle)

Définition : lorsque le signal n’est pas d’énergie finie,

∫

^x

( )

^{t 2dt} n’existe pas.

On définit alors

( ) ( ) [ ]

[ ]





−

∉

−

= ∈

2 T , 2 T t si 0

2 T , 2 T t si t t x x_T

Dans ces conditions, ^x

( )

^{t ∈L2}et représente l’observation du signal x(t) sur la durée T.

On définit la puissance moyenne PT de x(t) sur [-T/2, T/2] par :

( ) ( )

T dt t x T

dt t x T P E

T

T T T T

∫ ∫

+

−

∞ +

∞

− =

=

=

2

2 2 2

on note que ^PT≤A_T^{2T,∀tpuisque x(t)≤A}

(

^x

( )

^{t borné}

)

, et donc PT ne peut pas diverger lorsque T tend vers l’infini.

Par la suite, on s’intéressera aux signaux pour lesquels Px = _T

Tlim P

∞

→ est finie, cette limite sera appelée puissance moyenne du signal x(t).

Représentation fréquentielle :

xT(t) étant d’énergie finie, il admet une TF :

( ) ∫ ( )

ℜ

ν π

= −

ν x te dt

X_{T T} ^{2 j t}

( ) ∫ ( )

+

−

ν π

= −

ν ²

T

T2

t j

T x te 2 dt

X

En procédant de même avec un autre signal y

( )

t ^∉L2 ^⇒yT

( )

t ^↔YT

( )

^ν , en utilisant la formule de Parseval il vient :

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

ℜ ℜ

ν ν ν

= X Y d

dt t y t

x_{T T T T}

soit :

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

ℜ +

−

ν ν ν

= X Y d

dt t y t

x _{T T}

T2

T2

- densité spectrale de puissance moyenne (dspm) :

dans l’expression précédente, avec x=y, et en divisant par T, il vient :

( ) ( )

∫

∫

ℜ

+

−

= ν ν

T d dt X t T x

T T

T 2 2

2

1 2

Lorsque T tend vers l’infini, la première intégrale s’interprète comme la puissance moyenne de x(t). On en déduit que

( )

T X_T ν ²

est une densité de puissance. On définit

alors

( ) ( )

T lim X

2 T xx T

= ν ν

γ →∞ qui est la densité spectrale de puissance moyenne (dspm) de x(t).

- densité spectrale de puissance croisée (dspc) :

En cherchant la puissance moyenne d’une somme de deux signaux x1(t) et x2(t) de puissance moyenne finie:

( ) ( )

∫

+

∞ −

+ = → ² +

T

T2

2 2 T 1

X X

M x t x t dt

T lim 1

P _{1 2}

( ) ( )

4 4

4 3

4 4

4 2

1

2 1 2

1 2

1

x , x T2

T2

2 T 1

X M X M X X

M x t x t dt

T lim 1 Re 2 P

P

P

∫

+

∞ −

+ = + + → ,

il apparaît le terme suivant : ^{lim1 2}₁

( ) ( )

_{2 1}^, ₂

2

x x dt t x t T x

T

T

T

∫

=

+

∞ −

→

qui représente la puissance d’interaction entre x1 et x2. Elle s’interprète comme le produit scalaire des deux signaux. Dans ces conditions, la norme carrée de x est la puissance moyenne :

Px x²=

Avec la relation de Parseval, on peut écrire l’expression analogue dans le domaine fréquentiel :

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

ℜ ℜ

+

−

ν ν

= ν

= d

T Y dt X

T t y t dt x

T t y t

x _{T T T T}

T2

T2

On peut alors définir la densité spectrale de puissance croisée (dspc) par

( ) ( )

^{ν ν}

∞

→ T T

T X Y

T

lim 1 .

Fonctions de corrélation :

On appelle fonction d’intercorrélation :

( )

( ) ∫ ( ) ( )

+

∞ −

→ τ

τ

−

= τ Γ

= τ Γ

T2

T2 xy T

xy

dt t y t T x lim 1

y , x

On appelle fonction d’autocorrélation :

( ) ∫ ( ) ( )

+

∞ −

→ −τ

= τ

Γ ²

T

T2

xx T x t x t dt

T lim 1

Propriétés de la fonction d’autocorrélation : 1. Γ^xx

( )

0=Px

2. ^Γxx

( )

^{τ =Γ}xx

( )

^−τ

3. ^Γxx

( )

^{0 ≥Re}

[

^Γxx

( )

^τ

]

^{, ∀τ}

4. ^TF

[

Γxx

( )

τ

]

=^dspm

[ ( ) ]

^dspc

TFΓ_xy τ = pour l’intercorrélation.

FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES SIGNAUX DETERMINISTES

I. Filtre L.H. (Linéaire Homogène)

F.L.H.

x(t) y(t)

La sortie y(t) d’un filtre linéaire homogène excité par un signal x(t) en entrée est régie par une équation différentielle de la forme :

∑ ( ) ∑ ( )

=

=

= ^m 0

r r

r r n

0

q q

q

q dt

t x b d dt

t y a d

Le filtre est dit homogène lorsque les coefficients aq et br sont indépendants de t.

n est l’ordre du filtre.

II. Cas des signaux d’énergie finie

Si x(t) est d’énergie finie alors X(ν) existe.

En utilisant les propriétés de la transformée de Fourier, on a :

( ) ( ) (

^{t = 2πjν}

) ( )

^Xν

x^{n n} et ^y

( )

^q

( ) (

^{t = 2πjν}

) ( )

^{qY ν}

L’équation du filtre devient alors :

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )

=

=

ν π ν

= ν π

ν ^m

0 r

r r n

0 q

q 2 j q X b 2 j a

Y et peut s’écrire sous

la forme suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

∑

∑

=

=

ν π

ν π

= ν ν

ν

=

ν n

0 q

q q m

0 r

r r

j 2 a

j 2 b G

; X G Y

avec G(ν) le gain complexe.

La sortie y(t) du filtre peut également s’écrire comme le produit de convolution entre l’entrée x(t) et la réponse impulsionnelle h(t) :

( ) (

^{t = h∗x}

)

⁼

∫

_ℜ^h

( ) ( )

^{τ xt−τdτ}

y

h(t), transformée de Fourier inverse du gain complexe G(ν) est la réponse impulsionnelle du système :

( )

^{t =TF−}

{ }

^G

( )

^ν

h ¹

Il découle les relations suivantes :

•

( )

( )

( ) ( )

( )

³ 2 1 3

2

1γ ν γ ν

ν

⋅ ν

= ν

XX YY

2 2

2 G X

Y : la dspm de sortie est égale au produit de la dspm d’entrée par le module carré du gain complexe. Ainsi un filtrage linéaire ne peut qu’appauvrir le spectre du signal d’entrée : γxx(ν)=0 entraîne γyy(ν)=0.

• ^ArgY

( )

^{ν =ArgG}

( )

^{ν +ArgX}

( )

^ν : le filtrage introduit un déphasage par canal de fréquence

Calcul de l’énergie de y :

( )

^{ν ν}

=

∫

ℜ

d Y

E_Y ²

( ) ( )

ℜ

∫

ν ν ν

= G X d

E_Y ^{2 2}

⇒ si ^G

( )

^{ν 2 <A2, alors} 2 X

Y A E

E <

si x(t) est d’énergie infinie alors la sortie y(t) est également d’énergie finie.

III. Cas des signaux de PM finie

La relation Y(ν)=G(ν).X(ν) reste valable, même si X(ν) n’est défini qu’au sens des distributions. En particulier, on constate que :

( ) ( )

^{ν =Gν}

Y si ^X

( )

^{ν =1} soit : ^y

( ) ( )

^{t =h t si x}

( )

^{t =δ}

ce qui justifie l’appellation de réponse impulsionnelle pour h(t) (sortie du filtre excité par une impulsion en entrée).

• Fonctions propres des FLH:

Les signaux harmoniques de la forme ^x

( )

^{t =e2πjν0t} sont les fonctions propres des F.L.H.

h(t)↔G(ν)

x(t) y(t) y(t) = Fh[x(t)]

en effet, on a alors :

( )

₀

(

0

)

Xν =δ_ν =δν−ν

( ) ( ) ( )

^{ν =Gν X ν}

Y

et donc

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

0 0

)

0 G

Y

G Y

ν

− ν δ

⋅ ν

= ν

ν

− ν δ

⋅ ν

= ν

( ) ( )

t G 0 e^{2 j 0t}

y = ν ⋅ ^πν

[ ]

^x

( )

^{t G}

( ) ( )

^{x t}

F_h = ν₀ où Fh désigne la transformée par le filtre.

La filtrée est proportionnelle à l’entrée, ce qui est la définition d’une fonction propre.

• Cas d’un filtre et d’un signal réel : application à l’analyse harmonique On a h(t) et x(t) réels.

( )

^{t Acos}

(

^{2 0t}

)

^{;onpose 2 0t0}

x = ⋅ πν +ϕ ϕ= πν

on a donc : ^x

( )

^{t =A⋅cos}

(

²πν⁰

( )

^t+t0

)

dont la transformée de Fourier est :

( ) [ (

0

) (

0

) ]

e^{2 j t0} 2

Xν = A δν−ν +δν+ν ^πν

G(ν) = K(ν) e ^jψ(ν) étant le gain d’un filtre réel, son module K(ν)= |G(ν)| est paire Et son argument ψ(ν) = Arg G(ν) est impaire.

La transformée de Fourier de la sortie est : ^Y

( ) ( ) ( )

^{ν =Xν Gν , soit :}

( ) [ ( ) ( ) ] ( )

^{( )}

( )4 84 4

4 7 6 ^ν

ν ν ψ

π ⋅ ν

ν + ν δ + ν

− ν δ

= ν

F t j j 2 0

0 e K e

2

Y A ⁰

( ) ( ) ( )

^{( )}

( ) ( )

( )

( )

( ) 











ν

− ν + ν δ + ν

ν

− ν δ

=

ν ^{ψ−ν −ϕ}

ν ϕ

ν ψ

ν ψ

−

j e

j K

0 0

j j 0

0 K e e K e e

2 Y A

j 0 0

0

0 123123

( ) [ (

0

) ( ) (

F 0 0

) (

F 0

) ]

2

Y ν = A δν−ν ν +δν+ν −ν

( ) ( ) ( )

^{[ ( ) ]}

( )

^{[ ( ) ]}

















ν + ν δ + ν

− ν δ ν

=

ν ^{ψν +ϕ − ψν +ϕ}

ν π

− ν

π

0

0t j 2 0

0t j 2

j

e 0 j

e 0

0 e e

2K

Y A 14243 14243

c c

( ) ( ) [ ( ) ]

( )

^{t ==A⋅⋅cosν}

(

^{2πν t+πνϕ}

)

^{+ϕ+ψ ν}

x

t 2 cos K

A t y

0

0 0

0

On constate que la sortie reste une sinusoïde de même fréquence dont l’amplitude est multipliée par K(ν0) ayant subi un déphasage de Ψ(ν0). Il est alors possible de tracer l’évolution du module et de la phase du gain en faisant varier la fréquence d’entrée ν0 : c’est l’analyse harmonique (diagramme de Bode), ce qui permet d’identifier le système linéaire.

• Relation entrée / sortie

On se propose de déterminer l’expression de la dspm de la sortie y(t).

h↔ ↔ ↔G ↔

x(t) y(t)

Le produit de convolution s’écrit :

( ) ∫ ( ) ( )

ℜ

−

= hu x t udu t

y

De même :

( ) ∫ ( ) ( )

ℜ

− θ

−

= θ

− hu x t udu t

y

d’où l’expression de la fonction d’autocorrélation de y(t) :

( ) ( ) ( )

( ) ∫

^−θ

= θ

Γyy T→∞ Ty t y t dt T

lim 1 et celle de sa densité spectrale :

( ) ( )

_{

( )

_{

( ) ( )

∫ ∫ ∫ ∫

( )

ℜ

νθ π

−

ℜ ℜ τ τ−α

∞

→ν = − −θ− θ

γ huh v x t ux t v dudvdte d T

1 2 j

T u v

Txx

1 1

43 42 1 3 2 1

On calcule cette intégrale à l’aide du changement de variable de dimension 4 suivant : u

t−

=

τ u=u₁

v t−θ−

= α

−

τ v=v₁

u

u₁= t=u₁+τ v

v₁=

α +

−

= θ

α + τ

−

−

= θ

1 1 v u

v t

Le Jacobien de la matrice obtenue vaut : 1 1 0 1 1

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

j =

−

=

Et l’intégrale devient : _{

( ) ( ) ( ) ( )

^{( )}

∫ ∫ ∫ ∫

( )

ℜ ℜ ℜ

α +

− ν π

− τ α

α

− τ

τx e du dv d d

x v h u T h

1

1 T

1 v u j 2 1

1

1

43 1

42 1 3 2 1 Elle est à variables séparables.

Lorsque T^{→∞ γ}YY

( )

^{ν =}G

( ) ( ) ( )

^ν G^{ν γ}XX ^ν

( ) ( )

ν ν γ

( )

ν γ^YY =^{G 2 XX}

Remarque : on retrouve la même formule de filtrage que dans le cas des signaux d’énergie finie.

LES SIGNAUX BL

²

I. Définition

Un signal x(t) est dit BL² si il répond aux deux conditions suivantes :

• x(t) est d’énergie finie

• ^X

( )

^{ν 2 =0 pour}

2

≥ β

ν : X(ν) est à support borné. ^{→ X}

( )

^{ν =0 pour}

2

≥β ν

( ) ²

X ν

2 β 2

−β ^ν

II. Théorème de Bernstein

Par transformée de Fourier inverse, on a ^{⇒ x}

( )

^{t =}

∫

₋⁺_β^β₂^2X

( )

^{ν e2πjνtdν}

On peut alors dériver sous le signe somme : ^x&

( )

^{t =2πj}

∫

₋⁺_β^β₂^2νX

( )

^{ν e2πjνtdν}

De même : ^x

( )

ⁿ

( ) ( )

^{t = 2πjn}

∫

₋⁺_β^β₂^2νnX

( )

^{ν e2πjνtdν}

En majorant le module de la dérivée, il vient :

( ) ( ) ( )

4 4 3 4

4 2 1

&

M 2 2 2

2 X d

2 2 d X 2

t

x ^{≤ π}

∫

₋⁺_β^{β ν ν ν≤ πβ}

∫

₋⁺_β^{β ν ν}

et

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4 3 4

4 2 1

M 2 2 2 n

2 n n

n X d

2 2 d X 2

t

x ^{≤ π}

∫

₋⁺_β^{β ν ν ν≤}_^{ πβ}_^

∫

₋⁺_β^{β ν ν}

Ce qui peut s’écrire sous la forme : ^x&

( )

^{t ≤πβM et x}

^{( )}

ⁿ

( ) ( )

^{t ≤ πβ nM}

Le théorème indique que la variation maximum du signal donné par la valeur de la dérivée est bornée. Cette borne est proportionnelle à la bande β du signal. Lorsque la bande est faible, les variations sont lentes et lorsque la bande est grande, les variations peuvent être très rapides (« hautes fréquences »).

Remarque : Ce théorème est vrai pour les signaux de Puissance Moyenne finie.

Exemple: ^x

( )

^t =^Asin

(

²πν0^t

)

; A > 0

( )

^{t A2 cos}

(

^{2 t}

)

x& = πν₀⋅ πν₀

( )

t A 2 0

x& ≤ ⋅ πν

La valeur maximum de la dérivée est atteinte à l’origine.

x(t)

t

III. Théorème de Shannon

Le stockage d’un signal analogique nécessitant une importante place mémoire, nous allons montrer que sous certaines conditions, il est possible de ne conserver que quelques points convenablement choisis du signal sans perte d’information. Cette étape d’échantillonnage est la base de tous les traitements numériques effectués sur DSP, par ordinateur etc…

Soit ^x

( )

^{t ∈BL2}

On appelle signal échantillonné xe(t) la distribution ^xe

( ) ( ) ( )

^t =^{x t} δT ^t

( ) ²

X ν

2 β 2

−β ^ν

où

( ) ∑

^+∞

( )

−∞

=

− δ

= δ

k T

T t t kT représente le peigne de Dirac, dont la transformée de Fourier est proportionnelle à un peigne de Dirac de pas inverse (1/T).

T Peigne de Dirac

On se propose de déterminer la transformée de Fourier du signal échantillonné.

( ) ( ) ∑

^+∞

( )

−∞

=

− δ

=

k T

e t x t t kT

x

( ) ∑

^+∞

( ) ( )

−∞

=

− δ

=

k

T

e t x t t kT

x ; et, en utilisant la propriété F

( ) (

t δt−t0

) ( ) (

=Ft0 δt−t0

)

On obtient :

( ) ∑

^+∞

( ) ( )

−∞

=

− δ

=

k

T

e t xkT t kT

x

soit, par application de la transformée de Fourier :

( ) ( )

1T

e T

X 1

X ν = ν ∗ δ

( ) ( ) ∑

^+∞

−∞

=



 



ν− δ

∗ ν

= ν

p

e T

p T

X 1 X

( ) ∑

^+∞

( )

−∞

=



 



ν− δ

∗ ν

= ν

p

e T

X p T

X 1 ; et, en utilisant la propriété F

( ) (

t ∗δt−t0

) (

=Ft−t0

)

on obtient :

( ) ∑

^+∞

−∞

=



 



ν−

= ν

p

e T

X p T

X 1

Le spectre du signal échantillonné est obtenu en périodisant le spectre du signal initial.

Pour 1/T > β, les motifs X(ν-p/T) sont disjoints, il est donc possible de reconstruire le signal continu x(t) en isolant le motif X(ν) (p=0) par filtrage passe bas.

Ech.

Ordinateur 1/T

x(t) xe(t) 1/2T x(t)

filtrage passe-bas

donc, si on prend pour G(ν) la fonction T. Π1/T(ν) définie par G(ν)=0 si ν >1/2T et G(ν)=T ailleurs, on a alors :

( )

^{.G(v) X} _T^{p 1}

( )

^X(v)

X ^T

p

e Π =



 



 −

=

∑

^+∞

−∞

= ν ν

ν

1/2T 0 1/T

2 T 1−β

2 T 1+β 2

−β

2 +β

Reconstitution temporelle du signal (formule d’interpolation de Shannon) :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t Tsin

t x t x X

G X

e e e

e πν

∗ πν

=

→ ν

= ν ν

( )

^{ν =T⋅Π}

( )

^{ν =T⋅Π}_νe

( )

^ν

G _1T

( ) ( ) ∑ ( ) ∑

^+∞

( ) ( )

−∞

= +∞

−∞

=

− δ

=

− δ

=

k k

e t x t t kT xkT t kT

x

( ) ( )

t t Tsin

t x t x

e

e πν e

∗ πν

=

( ) ( ) ( )

( )

∑

+∞

−∞

= πν −

−

= πν

k e

e

kT t

kT t kT sin

x t

x

0 T

-2T -T 2T

La reconstitution est parfaite si on connaît tous les échantillons, en particulier les échantillons futurs : cette reconstitution n’est pas causale.

Le théorème de Shannon est vrai pour les signaux de Puissance Moyenne finie et de densité spectrale de puissance moyenne

( )

, 2

XX ν =0 ν > β γ

Lorsque le signal n’est plus de bande finie, pour éviter le phénomène de repliement (superposition des différents motifs spectraux lors de la périodisation induite par l’échantillonnage), on filtre le signal initial à l’aide d’un filtre passe bas (filtre « anti- repliement ») qui limite sa bande et permet de se placer dans les conditions

Exemple : échantillonnage d’une sinusoïde ^x

( )

^t =^A⋅^cos

(

²πν0^t

)

.

0 ν0

-ν0 νe

-νe

Spectre de la sinusoïde échantillonnée

IV. Modulation d’amplitude

Les signaux basses fréquences (exemple : musique) se propagent très mal dans les milieux naturels. Afin de transmettre de l’information sur de longues distances, il est donc nécessaire de les adapter au canal de transmission.

La transmission d’un signal par modulation d’amplitude consiste à engendrer :

( ) ( )

^{t x t cos}

(

^{2 t}

)

x_am = ⋅ πν₀

dont la transformée de Fourier est : am

( ) [

X

(

0

) (

X 0

) ]

2

X ν = 1 ν−ν + ν+ν

( )

²

X ν

2 β 2

−β

ν > β

et la dspm du signal modulé :

( )

^{ν =} _^

(

^ν−ν

)

2⁺

(

^ν+ν0

)

^2_

0 2

am X X

4 X 1

( )

²

Xam ν

+ν0

-ν⁰

(¼)

0 (¼)

L ‘effet de la modulation est de transporter le spectre du signal initial autour de la fréquence ν0, appelée fréquence porteuse.

L’énergie du signal x(t) étant :

∫ ( )

ℜ

ν ν

= X d

E_x ²

Celle du signal modulé est :

( )

2 d E X

E_xam =

∫

_am ν ² ν = ^x

ℜ

: lors d’une modulation d’amplitude, on n’engendre que la moitié de l’énergie du signal initial.

On retrouve ce résultat dans la représentation temporelle :

∫ ( )

ℜ

= x t dt

E 2am

x_am

( ) ( )

∫

ℜ

πν

⋅

= x t cos 2 t dt

E_xam ^{2 2} ₀

( ) ( ( ) )

∫

ℜ

πν +

⋅

= x t 1 cos4 t dt 2

E_xam 1 ² ₀

d’où

∫ ( ) ( )

ℜ

πν

⋅ +

= x t cos4 t dt

2 1 2

E_xam E^{x 2} ₀ dont le deuxième terme est nul (théorème de la phase stationnaire).

Calcul de la fonction d’autocorrélation du signal modulé :

( )

¹

{

^am

( )

²

}

x_am τ =TF X ν

Γ ⁻

( )

^{τ = Γ}

( )

^{τ ×}

(

^{πν τ}

)

Γ_{x xx} 2cos2 ₀

4 1

am

( )

^{τ = Γ}

( )

^{τ ⋅}

(

^{πν τ}

)

Γ_{x xx} cos2 ₀

2 1

am

L’enveloppe de la fonction d’autocorrélation du signal modulé est la fonction d’autocorrélation du signal initial.

LE SIGNAL ALEATOIRE

I. Généralités

Certains phénomènes complexes ne peuvent être décrits par des équations déterministes.

On a alors recours à une modélisation aléatoire qui pourra permettre d’exploiter, de manière statistique, l’information du signal.

La notion d’aléatoire est basée sur le concept de non-reproductibilité du phénomène étudié : deux expériences faites dans les mêmes conditions ne conduisent pas strictement au même résultat, mais on observe néanmoins certaines similitudes (tendances et évolutions analogues, fluctuations analogues etc.). De tels signaux sont aussi appelés non prédictibles : la connaissance du passé ne permet de prédire sans erreur l’avenir, même si la modélisation aléatoire permet d’effectuer des prévisions assorties d’une erreur calculable en moyenne (prédiction de température…).

II. Signal aléatoire

Un signal est dit aléatoire si son observation aux instants (ti)i=1…n, x(t1), x(t2), …, x(tn) est une variable aléatoire n-dimensionnelle ∀ ti, ∀ n (fini ou infini dénombrable).

Un tel signal a une fonction de répartition du type :

) ) ( )

( )

( ( ) ,

;

; ,

; ,

(^{1 1 2 2 1 1 2 2}

2n t x t x tn xn P X t x X t x X tn xn

F K = < ∩ < ∩K∩ <

Lorsque cette fonction de répartition existe ∀ ti et ∀ n, le signal aléatoire est dit à loi temporelle.

III. Stationnarité

On dit que x(t) est stationnaire au sens strict si la fonction de répartition F2n est invariante lors d’une translation du temps :

) ,

;

; ,

; , ( ) ,

;

; ,

; ,

(^{1 1 2 2 2 1 1 2 2}

2n t x t x tn xn Fn t x t x tn xn

F K = +λ +λ K +λ

ceci doit être valable ∀ n, ∀ ti, ∀ λ.

•••• Etude à un instant d’observation :

Pour n = 1, x(t1) est une variable aléatoire unidimensionnelle, ∀ t1 :

(

1 1

) { ( )

1 1

}

2 x ,t P x t x

F = < s’appelle la fonction de répartition première du processus.