E c o l e P o l y t e c h n i q u e U n i v e r s i t a i r e d e P a r i s
S p é c i a l i t é E l e c t r o n i q u e I n f o r m a t i q u e E L I , 3
è m eA n n é e
Cours de traitement du
signal
P R E M I E R E P A R T I E
Z A R A D E R J . L 2 0 0 8 / 2 0 0 9
S O M M A I R E
B I B L I O G R A P H I E . . . 3
I G E N E R A L I T E S . . . 4
1 ° ) - DE F I N I T I O N S. . . 4
2 ° ) - CL A S S I F I C A T I O N D E S S I G N A U X. . . 5
3 ° ) - QU E L Q U E S S I G N A U X I M P O R T A N T S. . . 7 I I S E R I E S E T T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R . . . 1 0 1 ° ) - SE R I E S D E F O U R I E R . . . 1 0 2 ° ) - DI S T R I B U T I O N S. . . 1 3 3 ° ) - TR A N S F O R M E E D E F O U R I E R ( T F ) . . . 1 6 I I I C O N V O L U T I O N E T C O R R E L A T I O N . . . 2 1 1 ° ) - CO N V O L U T I O N. . . 2 1 2 ° ) - CO R R E L A T I O N. . . 2 6 3 ° ) - CA S D E S S I G N A U X A P U I S S A N C E M O Y E N N E F I N I E. . . 2 9 4 ° ) - AN A L Y S E S P E C T R A L E. . . 3 0 5 ° ) - FI L T R A G E. . . 3 6 I V E C H A N T I L L O N N A G E . . . 3 9 1 ° ) - EC H A N T I L L O N N A G E I D E A L. . . 3 9 2 ° ) - RE C O N S T R U C T I O N D U S I G N A L. . . 4 2 3 ° ) - SO U S-E C H A N T I L L O N N A G E. . . 4 3 4 ° ) - EC H A N T I L L O N N A G E P R A T I Q U E. . . 4 5 V T R A N S F O R M E E D E F O U R I E R D I S C R E T E ( T . F . D ) . . . 5 0 1 ° ) - TR A N S F O R M E E D E FO U R I E R D'U N S I G N A L P E R I O D I Q U E E T D I S C R E T. . . 5 0 2 ° ) - TR A N S F O R M E E D E FO U R I E R DI S C R E T E ( T F D ) . . . 5 1 3 ° ) - CO N V O L U T I O N D I S C R E T E. . . 5 6 4 ° ) - CO R R E L A T I O N. . . 5 9
B i b l i o g r a p h i e
L . S c h w a r t z : " T h é o r i e d e s d i s t r i b u t i o n s " ; E d . H e r m a n n E . R o u b i n e : " D i s t r i b u t i o n s S i g n a l " ; E d . E y r o l l e s
J . M a x : " M é t h o d e s e t t e c h n i q u e s d u t r a i t e m e n t d u s i g n a l " ; 2 T o m e s ; E d . M a s s o n
F . d e C o u l o n : " T h é o r i e e t t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x " ; E d . D u n o d A . S p a t a r ü : " T h é o r i e d e l a t r a n s m i s s i o n d e l ' i n f o r m a t i o n " ; E d . M a s s o n
M . B e l l a n g e r : " T r a i t e m e n t n u m é r i q u e d u s i g n a l " ; E d . M a s s o n M . K u n t : " T r a i t e m e n t n u m é r i q u e d e s s i g n a u x " ; E d . D u n o d
I G é n é r a l i t é s
1 ° ) - D é f i n i t i o n s .
L e s i g n a l e s t l a r e p r é s e n t a t i o n p h y s i q u e d ' u n p h é n o m è n e q u i é v o l u e d a n s l e t e m p s o u d a n s l ' e s p a c e .
L e t r a i t e m e n t d u s i g n a l ( T . S ) e s t u n e d i s c i p l i n e t e c h n i q u e q u i a p o u r o b j e t l ' é l a b o r a t i o n , l a d é t e c t i o n e t l ' i n t e r p r é t a t i o n d e s s i g n a u x p o r t e u r s d ' i n f o r m a t i o n s .
C e t t e d i s c i p l i n e s ' a p p u i e s u r l a t h é o r i e d u s i g n a l q u i d o n n e u n e d e s c r i p t i o n m a t h é m a t i q u e d e s s i g n a u x . C e t t e t h é o r i e f a i t e s s e n t i e l l e m e n t a p p e l à l ' a l g è b r e l i n é a i r e , l ' a n a l y s e f o n c t i o n n e l l e , l ' é l e c t r i c i t é e t l ' é t u d e d e s p r o c e s s u s a l é a t o i r e s .
H i s t o r i q u e m e n t , l e t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x a p p a r a î t a u d é b u t d u XXième s i è c l e , e n m ê m e t e m p s q u e l ' é l e c t r o n i q u e ( F L E M I N G , 1 9 0 5 , d é t e c t i o n e t a m p l i f i c a t i o n d e s i g n a u x f a i b l e s ) . O n p e u t c e p e n d a n t n o t e r d e s p r e m i e r s t r a v a u x a u XIXième a v e c l ' i n v e n t i o n d u t é l é g r a p h e é l e c t r i q u e ( M O R S E , C O O K E , W H E A T S T O N E , 1 8 3 0 ) , d u t é l é p h o n e ( B E L L , 1 8 7 6 ) e t d e l a r a d i o ( M A R C O N I , P O P O V , 1 8 9 5 ) .
H o r m i s l a c o n t r i b u t i o n a p p o r t é e p a r F O U R I E R ( 1 8 2 2 , T r a v a u x s u r l a p r o p a g a t i o n d e l a c h a l e u r ) , l a t h é o r i e d u s i g n a l a p p a r a î t e n 1 9 3 0 a v e c l e s p r e m i e r s t r a v a u x d e W I E N E R e t K I N T C H I N E s u r l e s p r o c e s s u s a l é a t o i r e s , e t c e u x d e N Y Q U I S T e t H A R T L E Y s u r l a q u a n t i t é d ' i n f o r m a t i o n s t r a n s m i s e s u r u n e v o i e t é l é g r a p h i q u e .
L e s c o n t r i b u t i o n s e s s e n t i e l l e s , a u t r a i t e m e n t d u s i g n a l e t à l a t h é o r i e d u s i g n a l n ' i n t e r v i e n n e n t q u ' a p r è s l a s e c o n d e g u e r r e m o n d i a l e . I n v e n t i o n d u t r a n s i s t o r e n 1 9 4 8 , t r a v a u x d e S H A N N O N s u r l a c o m m u n i c a t i o n , d e W I E N E R s u r l e f i l t r a g e o p t i m a l e t d e S C H W A R T Z s u r l e s d i s t r i b u t i o n s .
L e s a p p l i c a t i o n s d u t r a i t e m e n t d u s i g n a l s o n t n o m b r e u s e s ( T é l é c o m m u n i c a t i o n , G é o p h y s i q u e , R e c o n n a i s s a n c e d e s f o r m e s , B i o m é d i c a l , A c o u s t i q u e , e t c . . . ) .
E x e m p l e s
* C o n t r ô l e R a d a r : I c i l ' a n a l y s e f r é q u e n t i e l l e j o u e u n r ô l e f o n d a m e n t a l .
* C o d a g e d e l a P a r o l e : L a r e c o n n a i s s a n c e d e l a p a r o l e n é c e s s i t e l e t r a i t e m e n t d ' u n e g r a n d e q u a n t i t é d e d o n n é e s . L e c o d a g e p e r m e t d e r é d u i r e c e t t e q u a n t i t é , e n é l i m i n a n t l e s r e d o n d a n c e s e t e n c o n s e r v a n t l ' i n f o r m a t i o n u t i l e .
* L e s T é l é c o m m u n i c a t i o n s : S i l e s 1 7 M i l l i o n s d ' a b o n n é s a u t é l é p h o n e é t a i e n t r e l i é s 2 à 2 i l f a u d r a i t ( 1 7 M )2/ 2 c â b l e s . H e u r e u s e m e n t l e s t r a v a u x s u r l a m o d u l a t i o n , l ' é c h a n t i l l o n n a g e e t l a t r a n s m i s s i o n p e r m e t t e n t d ' é m e t t r e , s u r u n e m ê m e v o i e , d e s m i l l i e r s d e m e s s a g e s .
2 ° ) - C l a s s i f i c a t i o n d e s s i g n a u x .
I l e x i s t e d i f f é r e n t s m o d e s d e c l a s s i f i c a t i o n :
a ) M o r p h o l o g i q u e : O n d i s t i n g u e i c i l e s s i g n a u x q u i p r e n n e n t d e s v a l e u r s à c h a q u e i n s t a n t t ( S i g n a l c o n t i n u ) e t l e s s i g n a u x q u i n ' o n t d e v a l e u r s q u ' à c e r t a i n s i n s t a n t s ti ( S i g n a l d i s c r e t) .
x(t) x(t)
Continu Discret
t t
t0
t1 0
b ) S p e c t r a l e : O n c l a s s e l e s s i g n a u x s u i v a n t l a b a n d e d e f r é q u e n c e s q u ' i l s o c c u p e n t .
x(t) x(t)
t t
S i g n a l à v a r i a t i o n s l e n t e s S i g n a l à v a r i a t i o n s r a p i d e s S i g n a l " B a s s e s F r é q u e n c e s " S i g n a l " H a u t e s F r é q u e n c e s "
c ) E n e r g é t i q u e : L e s s i g n a u x p e u v e n t ê t r e à é n e r g i e f i n i e o u à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e .
L e s s i g n a u x à é n e r g i e f i n i e v é r i f i e n t l a c o n d i t i o n : Wx = x t( )2dt < +∞
− ∞
∫
+ ∞O n d i t a u s s i q u ' i l s s o n t d e c a r r é s o m m a b l e . L e s s i g n a u x à s u p p o r t b o r n é , c ' e s t à d i r e d e d u r é e l i m i t é e , s o n t à é n e r g i e f i n i e .
L e s s i g n a u x à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e s o n t t e l s q u e :
0 1 2
< P = limx x(t) dt < +
T T
2 T 2
→ ∞⎡
∫
−⎣⎢ ⎤
⎦⎥ ∞
T
L e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s s o n t à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e . R e m a r q u e s :
- U n s i g n a l à é n e r g i e f i n i e a u n e p u i s s a n c e m o y e n n e n u l l e (Px = 0) . - U n s i g n a l à p u i s s a n c e m o y e n n e f i n i e ( n o n n u l l e ) p o s s è d e u n e é n e r g i e Wx i n f i n i e .
O n d é f i n i t , p a r a i l l e u r s :
- L a p u i s s a n c e i n s t a n t a n é e ( d ' i n t e r a c t i o n ) .
P t x t x t
t x t y t
x( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
*
*
=
Pxy =
- L a p u i s s a n c e m o y e n n e ( d ' i n t e r a c t i o n ) s u r u n e d u r é e T .
P t T x t t
P t
T x t t
x t
t T
xy t
t T
( , ( ) ( )
( , ( ) ( )
*
* 0
0
1 1
0 0
0 0
T) = x dt
T) = y dt
+
+
∫
∫
- L ' é n e r g i e m o y e n n e ( d ' i n t e r a c t i o n ) s u r u n e d u r é e T .
W t t
W t t
x x
xy xy
( (
( (
0 0
0 0
, T) = T P , T) , T) = T P , T)
d ) T y p o l o g i q u e : O n d i s t i n g u e i c i l e s s i g n a u x s u i v a n t q u e l e u r é v o l u t i o n e s t d é t e r m i n i s t e o u a l é a t o i r e .
S i g n a l d é t e r m i n i s t e : U n s i g n a l d é t e r m i n i s t e p e u t ê t r e p r é d i t p a r u n m o d è l e m a t h é m a t i q u e c o n n u . O n d i s t i n g u e d e u x s o u s c l a s s e s :
- L e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s x ( t ) = x ( t + T ) . - L e s s i g n a u x n o n - p é r i o d i q u e s .
S i g n a l A l é a t o i r e : L e s i g n a l a l é a t o i r e a u n c o m p o r t e m e n t i m p r é v i s i b l e . O n l e d é c r i t g r â c e à d e s o u t i l s s t a t i s t i q u e s ( d e n s i t é d e p r o b a b i l i t é s , m o y e n n e , v a r i a n c e , . . . ) .
3 ° ) - Q u e l q u e s s i g n a u x i m p o r t a n t s .
- P o r t e : ΠT t
2
( )
ΠT t
2
( ) = 1 si t - T 2 , T
2 0 Ailleurs
∈ ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪ ΠT t
2
( )
t T
-T 2 2
1
- E c h e l o n d ' H e a v y s i d e : u ( t ) u t( ) = 1 si t 0
0 si t < 0
⎧ ≥
⎨⎩
t u(t)
1
- S i g n e : s g n ( t )
sgn( )t =
1 si t > 0 0 si t = 0 - 1 si t < 0
⎧
⎨⎪
⎩⎪
-1 1
t sgn(t)
- T r i a n g u l a i r e : ΛT( )t ΛT( ) t = 1 - t
T si t < T 0 Ailleurs
⎧
⎨⎪
⎩⎪ ΛT( )t
t -T T
- G a u s s i e n n e : g ( t )
g t
t
( ) = 1 y
e σy π
σ
2
2
2 2
−
M = 1
σy 2π
σy
61 % M
t g(t)
- S i n u s C a r d i n a l : s i n c ( t ) sinc( ) sin( )
t t
= t
1
t sinc(t)
- R è g l e d e l ' H o p i t a l :
S o i e n t f ( t ) e t g ( t ) d e u x f o n c t i o n s c o n t i n u e s e t d é r i v a b l e s e n t0 e t t e l l e s q u e :
{ } { }
lim ( ) lim ( )
t t f t t t g t
→ → ± ∞
0 0
= = 0 (resp ) A l o r s :
lim ( )
( ) lim ' ( )
' ( )
t t t t
f t g t
f t g t
→ →
⎧⎨
⎩
⎫⎬
⎭
⎧⎨
⎩
⎫⎬
⎭
0 0
= E x e m p l e :
{ }
lim sin( )
lim cos( )
t t
t
t t
→ →
⎧⎨
⎩
⎫⎬
⎭
0 = 0 = 1
I I S é r i e s e t t r a n s f o r m é e d e F O U R I E R
O n p r é s e n t e r a d a n s c e c h a p i t r e l e s p r i n c i p a u x o u t i l s m a t h é m a t i q u e s n é c e s s a i r e s a u t r a i t e m e n t d e s s i g n a u x .
1 ° ) - S é r i e s d e F O U R I E R .
C o n s i d é r o n s l e s f o n c t i o n s gn( )t d é f i n i e s p a r :
gn t e j e
nt
T jn t
( ) = = avec, = 1
T et n
+2π +2π ν0 ν0 ∈ Ζ
O n p e u t f a c i l e m e n t m o n t r e r q u e c e s f o n c t i o n s s o n t o r t h o g o n a l e s , c ' e s t à d i r e :
gn t gm t gn t m
( ), * ( ) T ( ) *
= 1 ( )
T g (t) dt = 0 si n m
1 si n = m
⎧ ≠
⎨⎩
∫
D e m :
gn t gm t e j
n m
( ), * ( ) T
( )
= 1
T dt
t -T
2 T
2 2π −
∫
gn( ),t gm* ( )t = 1 (e j n( m) e j n( m))
2 j(n - m) = sin (n - m)
(n - m)
si n m
1 si n = m π
π π
π − − −π − = ⎧ ≠
⎨⎩ 0
S o i t f ( t ) u n s i g n a l p é r i o d i q u e d e p é r i o d e T ( T > 0 ) . S i f ( t ) p o s s è d e u n n o m b r e f i n i d e s a u t s s u r u n e p é r i o d e , a l o r s i l e x i s t e u n e s u i t e Cn t e l l e q u e :
f t gn t e j
nt
( ) = Cn ( ) = C T n = -
+
n n = -
+
∞
∞ +
∞
∑ ∑
∞ 2πC e t t e s é r i e c o n v e r g e v e r s f ( t ) , s i f ( t ) e s t c o n t i n u e e n t . E l l e c o n v e r g e v e r s 1
2 f t( +) + f t( −) , s i f ( t ) p o s s è d e u n s a u t e n t . L e s Cn s o n t c o u r a m m e n t a p p e l é e s r a i e s , c o m p o s a n t e s o u h a r m o n i q u e s d u s i g n a l e t s e c a l c u l e n t p a r p r o j e c t i o n :
Cn f t gn t f t j
nt T
= = 1 T
T e dt
( ), *( ) ( )
( )
∫
−2π- C0 : c o m p o s a n t e c o n t i n u e = 1
T f t dt
(T) ( )
∫
- C1 : 1ére H a r m o n i q u e o u f o n d a m e n t a l e d u s i g n a l f ( t ) . - Cn : c o n t r i b u t i o n d e l a nième h a r m o n i q u e .
P r o p r i é t é s :
- S i f ( t ) r é e l l e a l o r s Cn = C*−n (f (t) = f*( ))t
- S i f ( t ) r é e l l e e t p a i r e a l o r s Cn r é e l (f (t) = f*( )t = f (-t))
- S i f ( t ) r é e l l e e t i m p a i r e a l o r s Cn i m a g i n a i r e (f (t) = - f (-t) = f*( )t ) N o t e : L ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h è s e s e s t u n e i n d i c a t i o n p o u r l a d é m o n s t r a t i o n .
E x e m p l e s :
1 ) S o i t Cn u n e s u i t e d é f i n i e p a r : C C A
Cn n
1 1
= − = 2 et = 0 , si ≠(1, -1). D é t e r m i n e r f ( t ) ?
f t C e A
e t
n T
jnt
T jt
T jt
( ) = = ( + e T) = A cos( )
n = -
+ +
∞
∞ −
∑
2π 2 2π 2π 2π2 ) O n c o n s i d è r e l e s i g n a l c a r r é p é r i o d i q u e f ( t ) d é f i n i p a r :
t -T T
2 2 2 2
τ
−τ
f(t)
1
C a l c u l e r s o n s p e c t r e .
C T f t
T T
e
j n T
n
jnt T T
T
jnt T
jnt T
= 1 e dt = 1 e dt = 1
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
( ) −
−
−
− +
−
−
∫ ∫
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
−
π π
τ τ
π τ τ
π
T) ( n Tsinc
= T
n T 2 2 n sin T
= 1
Cn τ π τ
π
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ π τ
- L e s i n c c o n s t i t u e l ' e n v e l o p p e d e s Cn
1
1
T T
-1 -1 1
τ τ
Cn
n T
R e l a t i o n d e P A R S E V A L :
L a r e l a t i o n d e P A R S E V A L m o n t r e q u ' i l y a " c o n s e r v a t i o n " d e l a p u i s s a n c e Pf l o r s q u e l ' o n p a s s e d ' u n e r e p r é s e n t a t i o n t e m p o r e l l e à u n e r e p r é s e n t a t i o n f r é q u e n t i e l l e . E n e f f e t , o n a :
P =< f(t), f (t) > 1
T dt =
f
* f t C
T n
n ( ) ( )
∫ ∑
= −∞
2 +∞ 2
D e m : P = 1
T f(t) f dt = C
f
*
n m = -
+
n = - +
(T) ( )t C*m gn( ),t g*m( )t
∞
∞
∞
∞
∑
∫ ∑
< >d ' o ù : P =f Cn
n m
∑
= −∞ 2E x e m p l e :
D a n s l e c a s d u s i g n a l A t cos(2πT )
l a p u i s s a n c e e s t Pf = C = A
n n= −∞
∑
+∞ 2 22O n t r o u v e s o u v e n t l a d é c o m p o s i t i o n e n s é r i e s d e F O U R I E R s u r u n e b a s e d e f o n c t i o n s s i n u s e t c o s i n u s :
f t a
a n
T
n
n n T
n
( ) = 0 + cos( t) + b sin( t)
2 1⎡ 2π 2π
⎣⎢
⎤
⎦⎥
=
∑
+∞D e m :
f t e j e e
n
Tt jn
Tt jn
Tt
( ) = Cn = C + C + C
n = - +
n - n
n = 1 + +
∞
∞ ∞ + −
∑ ∑
⎡⎣⎢ ⎤
⎦⎥
2
0
2 2
π π π
f t C C n t
T C n t
n n n n T
( ) C + ( ) cos( ) + j ( - C ) sin( )
n = 1 +
= ⎡ +
⎣⎢
⎤
− − ⎦⎥
∑
∞0 2π 2π
d ' o ù :
a f t nt
n = C n + C n = 2 T T
T dt
−
∫
( ) ( ) cos( )2π
b C f t nt
n = j ( n - C n) = 2 T T
T dt
−
∫
( ) ( ) sin( )2π
Cn = 1 an n 2 ( - j b )
L e s p e c t r e d u s i g n a l , r e p r é s e n t é p a r l e s Cn , p e u t ê t r e d é c o m p o s é e n :
- U n s p e c t r e d ' a m p l i t u d e = Cn = 1 an + bn 2
2 2
- U n s p e c t r e d e p u i s s a n c e = Cn 2
- U n s p e c t r e d e p h a s e = Arg C b
n a
n n
( ) = Arctg(− ) R e m a r q u e s
- L a d é c o m p o s i t i o n e n Cn i n t r o d u i t l a n o t i o n d e " f r é q u e n c e s n é g a t i v e s " . C e s f r é q u e n c e s n ' o n t a u c u n s e n s p h y s i q u e , e l l e s p e r m e t t e n t u n i q u e m e n t d e s i m p l i f i e r l e c a l c u l .
- D a n s l e c a s o ù l e s i g n a l f ( t ) e s t r é e l , l e s p e c t r e d ' a m p l i t u d e e s t s y m é t r i q u e c a r Cn = C*−n d ' o ù Cn = C−n .
2 ° ) - D i s t r i b u t i o n s .
N o u s n o u s i n t é r e s s e r o n s , d a n s c e p a r a g r a p h e , à l a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C . P o u r d e p l u s a m p l e s r e n s e i g n e m e n t s s u r l a t h é o r i e d e s d i s t r i b u t i o n s , o n p o u r r a c o n s u l t e r l e s o u v r a g e s L . S C H W A R T Z e t E . R O U B I N E .
L e s d i s t r i b u t i o n s g é n é r a l i s e n t l a n o t i o n d e f o n c t i o n s n u m é r i q u e s , e n s i m p l i f i a n t c e r t a i n e s o p é r a t i o n s e f f e c t u é e s p a r l ' a n a l y s e c l a s s i q u e .
L a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C , n o t é e δ( )t , t i e n t u n e p l a c e p a r t i c u l i è r e m e n t i m p o r t a n t e e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l . E n e f f e t , e l l e i n t e r v i e n t d a n s u n g r a n d n o m b r e d ' a p p l i c a t i o n s t e l l e s q u e l ' é c h a n t i l l o n n a g e , l a m o d u l a t i o n o u l e f i l t r a g e .
L a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C e s t a u s s i a p p e l é e P i c o u I m p u l s i o n d e D I R A C . C e r t a i n s a u t e u r s p a r l e n t a b u s i v e m e n t d e " f o n c t i o n " d e D I R A C e t l a d é f i n i s s e n t p a r :
δ δ
δ ( ) ( )
( ) t t
t
= 0 si t 0 = + si t = 0
dt = 1
- +
≠
∞
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪
⎪
∫
∞∞C e t t e d é f i n i t i o n n ' a a u c u n s e n s c a r u n e f o n c t i o n p r e s q u e p a r t o u t n u l l e s e r a i t d ' a i r e n u l l e .
U n e a p p r o c h e " p l u s r i g o u r e u s e " c o n s i s t e à c o n s i d é r e r l a d i s t r i b u t i o n d e D I R A C c o m m e l a l i m i t e d e f o n c t i o n s fn( )t d ' a i r e u n i t a i r e e t d e s u p p o r t b o r n é :
[ ]
f t
t f t
n
n n
( )
( ) lim ( )
dt = 1
=
- +
∞
∞
→ +∞
⎧
∫
⎨⎪
⎩⎪δ
O n p e u t p r e n d r e p a r e x e m p l e u n e s u i t e d e f o n c t i o n s r e c t a n g l e s :
-1 1 t
n
n n
2 f (t)n
I l e s t é v i d e n t q u ' a u p a s s a g e à l a l i m i t e o n o b t i e n t u n
" r e c t a n g l e i n f i n i m e n t é t r o i t e t i n f i n i m e n t h a u t " , m a i s d o n t l ' a i r e r e s t e u n i t a i r e .
S i l ' o n c e n t r e l e s f o n c t i o n s fn( )t a u t o u r d ' u n p o i n t t0 (fn(t - t0)), l a l i m i t e d o n n e u n p i c d e D I R A C d é c a l é .
to 0
(t-to)
t (t)
t
δ δ
P r o p r i é t é s
- P r o d u i t p a r u n e f o n c t i o n f ( t ) :
δ( ) ( )t f t = f( )0 δ( )t δ(t−t0) ( )f t = f t( 0) δ(t−t0)
C e l a s i g n i f i e q u e l ' a i r e a s s o c i é e a u p i c d e D I R A C n ' e s t p l u s u n i t a i r e , m a i s v a u t f ( 0 ) o u f (t0) .
- I n t é g r a t i o n :
D ' a p r è s l e s r é s u l t a t s p r é c é d e n t s o n a : δ(t t- t0) ( ) f dt = δ(t t- t0) ( f 0) dt = f(t0)
− ∞ +∞
− ∞
∫ ∫
+∞e t b i e n s û r
δ( )t dt = δ(t - t ) dt =
− ∞ +∞
− ∞
∫ ∫
+∞ 0 1P o u r e n t e r m i n e r a v e c l e s d i s t r i b u t i o n s , o n c i t e r a l e p e i g n e d e D i r a c , n o t é |_ I _ |T( )t . C e t t e d i s t r i b u t i o n e s t c o n s t i t u é e d ' u n e s u i t e d ' i m p u l s i o n s d e D i r a c , r é g u l i è r e m e n t e s p a c é e s d ' u n e d u r é e T .
0 T 2T 3T
-3T -2T -T
(t)
T
t
|_ I _ |T( )t = δ(t −
= −∞
∑
+∞n
nT)
L e p r o d u i t d e c e t t e d i s t r i b u t i o n p a r u n e f o n c t i o n f ( t ) d o n n e u n e s u i t e d ' i m p u l s i o n s d e D i r a c d ' a i r e é g a l e à f ( n T ) :
f ( t )|_ I_ |T( )t = f t t f nT)
n n
( ) δ( ( δ
= −∞
+∞
= −∞
∑
- nT) =∑
+∞ (t - nT)O n p o s e : f te( ) = f ( t ) | _ I_ |T ( )t
O n d i t q u e f te( ) e s t u n e f o n c t i o n é c h a n t i l l o n n é e .
0 T 2T -2T -T
t
T (t)
0 T 2T
-2T -T t
3 ° ) - T r a n s f o r m é e d e F O U R I E R ( T F ) .
L a t r a n s f o r m a t i o n d e F O U R I E R e s t u n e e x t e n s i o n d e l a d é c o m p o s i t i o n e n s é r i e d e F O U R I E R , m a i s p o u r d e s s i g n a u x q u e l c o n q u e s . I n t u i t i v e m e n t o n p e u t c o n s i d é r e r u n s i g n a l n o n p é r i o d i q u e c o m m e u n s i g n a l d o n t l a p é r i o d e T → ∞+ . A i n s i l a s o m m e d i s c r è t e e t l e f a c t e u r 1 / T i n t e r v e n a n t d a n s l a d é c o m p o s i t i o n e n s é r i e d e F O U R I E R d e v i e n n e n t r e s p e c t i v e m e n t u n e i n t é g r a l e , e t u n e p e t i t e v a r i a t i o n d e f r é q u e n c e d f . O n d é f i n i t l a T r a n s f o r m é e d e F o u r i e r ( T F ) , n o t é e X ( f ) , d u s i g n a l x ( t ) p a r :
{ } { }
TF x t f x t
TF X f X f
jft
jft
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= X = e dt
= x(t) = e df
-1
−
−∞
+∞
+
−∞
+∞
∫
∫
2
2 π
π
X ( f ) e s t l a s u p e r p o s i t i o n d ' u n e i n f i n i t é d e r a i e s q u i s ' é t e n d e n t , d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l , d e −∞ à + ∞.
E x e m p l e :
C o n s i d é r o n s l a f o n c t i o n p o r t e x ( t ) = τ( )t
2
∏
x t( ) = 1 si t - 2 ,
2 0 Ailleurs
∈ ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
τ τ
O n a :
[ ]
X f x t e
X f
e jf
f
f f
jft jft
jft
( ) ( )
( ) sin( )
( )
= e dt = dt
= = = sinc
−
− ∞
+ ∞ −
−
− −
∫ ∫
−
2 2
2 2
2 2 2
2
π π
τ τ
π τ
τ
π
π τ
π τ π τ
−τ τ
2
t x(t)
f X(f)
τ
τ τ
2 -1 1
N o t a t i o n :
D a n s l a s u i t e d u c o u r s , l e s s i g n a u x s e r o n t r e p r é s e n t é s p a r d e s m i n u s c u l e s x , s , f , e t c . . . , l e s T F c o r r e s p o n d a n t e s p a r d e s m a j u s c u l e s X , S , F , e t c . . . L e t e m p s p a r l a v a r i a b l e t o u τ e t l a f r é q u e n c e p a r f o u ν
D é f i n i t i o n s :
- S p e c t r e d ' a m p l i t u d e = X f( )
- S p e c t r e ( o u d e n s i t é s p e c t r a l e ) d e p u i s s a n c e = X f( )2 - S p e c t r e d e p h a s e = A r c t g
{ }
{ }
Im ( )
Re ( )
X f X f
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = ϕ( )f R e m a r q u e s :
- I l e s t s o u v e n t p l u s a i s é d ' i n t e r p r é t e r c e r t a i n s p h é n o m è n e s p h y s i q u e s d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l . C ' e s t l ' i n t é r ê t e s s e n t i e l d e l a T F ( E x : p o u r s u i t e R a d a r ) .
- L a s y m é t r i e e n t r e l a TF e t l a TF-1 m o n t r e l ' e x i s t e n c e d ' u n e d u a l i t é e n t r e t e m p s e t f r é q u e n c e s . T o u t e s l e s i n f o r m a t i o n s c o n t e n u e s d a n s l e s i g n a l s o n t c o n t e n u e s d a n s l e s p e c t r e .
- L a d i m e n s i o n d e s v a r i a b l e s t e t f e s t l a s e c o n d e e t l e H e r t z . C e p e n d a n t o n p e u t a u s s i e x p r i m e r c e l a e n m è t r e e t m è t r e -1, o n p a r l e a l o r s d e f r é q u e n c e s s p a t i a l e s .
C o n d i t i o n s d ' e x i s t e n c e d e l a T F
U n e f o n c t i o n f ( t ) a d m e t p o u r t r a n s f o r m é e d e F O U R I E R l a f o n c t i o n F ( f ) s i :
a ) f ( t ) b o r n é e b ) f t( ) dt
- +
∞
∫
∞ e x i s t ec ) l e s d i s c o n t i n u i t é s d e f ( t ) s o n t e n n o m b r e l i m i t é .
U n e g r a n d e p a r t i e d e s s i g n a u x é t u d i é s r é p o n d e n t à c e s c o n d i t i o n s . C e c i e s t d û , e n p a r t i e , a u f a i t q u ' i l s s o n t o b s e r v é s s u r u n e d u r é e f i n i e .
A t t e n t i o n c e s c o n d i t i o n s n e s o n t p a s n é c e s s a i r e s l o r s q u ' i l s ' a g i t d e d i s t r i b u t i o n s . L e s f o n c t i o n s p é r i o d i q u e s o u l e s d i s t r i b u t i o n s δ( )t e t |_ I_ |T( )t o n t d e s T F .
P r o p r i é t é s :
- L i n é a r i t é : TF e t TF−1 s o n t d e s o p é r a t e u r s l i n é a i r e s .
∀ λ ∈ C , x(t) + y(t) λ ⇔− . X(f ) + Y(f )λ
TF TF
1
- S i m i l i t u d e : U n e d i l a t a t i o n d a n s l e d o m a i n e t e m p o r e l c o r r e s p o n d à u n e c o n t r a c t i o n d a n s l e d o m a i n e f r é q u e n t i e l
∀ ∈ ⇔ ⎛
⎝⎜ ⎞ a R , f(at) 1 ⎠⎟
a F f a D e m :
E n p o s a n t a t = t '
f at a
a f t dt
jft j f
( ) e dt = Signe( ) 1 ( ' ) a ' '
e t
-
− +
− ∞
+ ∞ − ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
∞
∫
2π∫
∞ 2π = 1a F⎛⎝⎜fa⎞⎠⎟- T r a n s l a t i o n s :
x t jft f
X f jf t t
TF
TF
( ) exp( ) ( )
( ) exp( ) ( )
- t X
- f x
0 0
0 0
2 2
1
⇔ −
⇔ +
−
π π D e m :
E n p o s a n t t - t0 = t'
x t x t( - t0) e−2 jft dt = e 2 jft0 ( ' ) e 2 jft'dt' = e 2 jft0X f( )
− ∞
+∞ − − −
− ∞
∫
π π∫
+∞ π πD é m o n s t r a t i o n i d e n t i q u e p o u r l a t r a n s l a t i o n d e f r é q u e n c e . - D é r i v a t i o n e n t e m p s :
dx t
dt( ) f
( ) ⇔ 2 jf Xπ d x t
dt f
n n
( ) ⇔ (2 jf) Xπ n ( )
D e m :
[ ]
{ }
d x t dt
d X f
d t X f d e
d t d x t
dt jf X f
n n
n jft
n
n jft
n n
n
n
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
=
e df
= df
= TF
- +
- +
2 2
1 2
π π
π
∞
∞
∞
∞
−
∫ ∫
- D é r i v a t i o n e n f r é q u e n c e : dX f
df jt x t
d X f
df jt t
TF TF
n n
n
( ) ( )
( ) ) ( )
- 2
(-2 x
⇔
⇔
−1
π π
- P a r i t é :
S i x ( t ) e s t u n s i g n a l r é e l e t p a i r a l o r s s o n s p e c t r e X ( f ) e s t r é e l e t p a i r .
D e m :
réel ) f ( X ) f ( X
= dt e ) t ( x
= ) f ( X
pair ) f ( X ) f ( X
= ) f ( X
' dt e
) ' t ( x
= dt e ) t ( x
= dt e ) t ( x
= ) f ( X
* + *
-
jft 2
t ) f ( j 2 jft
2 jft
2
t -
= t'
⎥⎦ →
⎢⎣ ⎤
⎡
→
−
−
∫
∫
∫
∫
∞
∞
π
−
∞ +
∞
−
− π
↓ −
∞ +
∞
−
π
∞ − +
∞
−
π
−
S i x ( t ) e s t r é e l e t i m p a i r , s o n s p e c t r e X ( f ) e s t i m a g i n a i r e e t i m p a i r .
- S i x ( t ) e s t d e c a r r é s o m m a b l e a l o r s X ( f ) e s t d e c a r r é s o m m a b l e L e s t r a n s f o r m é e s à c o n n a î t r e
x = X = 1
x = X =
x = e X = - f
x = - t X = e
x = + X = 1
2 - f + e
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) cos( ) ( ) ( )
t t f
t f f
t f f
t t f
t f t f e f
jf t
jft
j j
δ
δ δ δ
π ϕ δ
π
π
ϕ ϕ
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
+
−
−
1
2
2
0 0
2
0 0
0
0
0 0
[
δ(f + f0)]
[ ]
x t( ) = sin( f t f+ ) X( ) = 1 ej (f ) j (f )
2j - f - e + f
2π 0 ϕ0 ⇔ ϕ0 δ 0 − ϕ0 δ 0
x ( t ) = | _ I_ |T ( )t
⇔
X ( f ) = 1T | _ I_ |1
T
( )f = 1
T f n
n T
δ - ( )
= −∞
∑
+∞C e s f o n c t i o n s s e r o n t u t i l i s é e s f r é q u e m m e n t , p a r l a s u i t e . R e l a t i o n d e P A R S E V A L
C e t t e r e l a t i o n e s t c o m p a r a b l e à c e l l e q u i e x i s t e p o u r d e s s i g n a u x p é r i o d i q u e s .
S o i t x ( t ) u n s i g n a l d e c a r r é s o m m a b l e ( o u à é n e r g i e f i n i e ) e t q u i a d m e t X ( f ) p o u r T F , o n a :
Wx = x t X f
− ∞ +∞
− ∞
∫
( )2 dt =∫
+∞ ( )2 dfD e m :
[ ][ ]
[ ]
x t X f e df X f e df
X f X f e dt
jft jf t
jt f f
( ) ( ) ( ' ) '
( ) ( ' ) '
'
* ( ' )
− ∞ +∞
− ∞ +∞
− ∞ +∞
− ∞ +∞
− −
− ∞ + ∞
∞
∞
∞
∞
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
2
2 2
2
dt = dt =
df df
*
- + -
+
π π
π
L ' e x p r e s s i o n e n t r e c r o c h e t s e s t é g a l e à l a T F d e l a f o n c t i o n u n i t é , c a l c u l é e à l a f r é q u e n c e f ' - f , s o i t δ( 'f f− ) :
[ ]
x t X f X f f f df
avec :
X f f f df X f
d où :
x t X f df
( ) ( ) ( ' ) ( ' ) '
( ' ) ( ' ) ' ( )
'
( ) ( )
*
* *
− ∞ +∞
− ∞ +∞
− ∞ +∞
− ∞ + ∞
− ∞ + ∞
− ∞ + ∞
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
−
− =
2
2 2
dt = df
dt =
δ
δ
X f( )2 e s t a p p e l é e d e n s i t é s p e c t r a l e d ' é n e r g i e o u p a r f o i s , a b u s i v e m e n t , d e n s i t é s p e c t r a l e d e p u i s s a n c e. O n p e u t m o n t r e r d e l a m ê m e f a ç o n q u e , p o u r d e u x s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) , l ' é n e r g i e d ' i n t e r a c t i o n Wxy v é r i f i e l a r e l a t i o n :
Wxy = x t y( ) *(t) dt = X(f)Y*( )f df
− ∞ +∞
− ∞
∫ ∫
+∞I I I C o n v o l u t i o n e t C o r r é l a t i o n
1 ° ) - C o n v o l u t i o n .
L a c o n v o l u t i o n e s t u n o p é r a t e u r f o n d a m e n t a l e n t r a i t e m e n t d u s i g n a l . I l p r o v i e n t d e l a t h é o r i e d e s s y s t è m e s l i n é a i r e s e t i n v a r i a n t s . S o i t h ( t ) l a r é p o n s e i m p u l s i o n n e l l e d u f i l t r e , c ' e s t à d i r e l a r é p o n s e d u f i l t r e l o r s q u e l ' e n t r é e e s t u n i m p u l s i o n d e D i r a c :
FILTRE h(t) δ(t)
L a r e l a t i o n e n t r e u n e e n t r é e q u e l c o n q u e x ( t ) e t l a s o r t i e y ( t ) d u f i l t r e e s t l a c o n v o l u t i o n :
y(t) = x( ) * ( )t h t = x u h( ) (t - u) du
− ∞
∫
+∞Filtre de réponse h(t)
x(t) Impulsionnelle y(t)
I n t e r p r é t a t i o n
S o i t h t1( ) l a r é p o n s e d u s y s t è m e à u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r Δt e t d e h a u t e u r 1
Δt. h t1( )Δt e s t d o n c l a r é p o n s e à u n e i m p u l s i o n d e l a r g e u r Δt e t d e h a u t e u r u n i t é .
D é c o m p o s o n s l e s i g n a l x ( t ) e n u n e s u i t e d ' i m p u l s i o n s d e h a u t e u r x ( 0 ) , x (Δt) , x ( 2Δt) , . . . , x ( kΔt) .
x(t)
k Δt t Δt
x(k t)
x(0) Δ
L a c o n t r i b u t i o n a p p o r t é e p a r c h a q u e i m p u l s i o n d e h a u t e u r x ( iΔt) e s t :
y ( 0 ) = x ( 0 ) h t1( − 0)Δt; y (Δt) = x (Δt) h t1( - Δ Δt) t; . . . ; y ( iΔt) = x ( i Δt) h t1( - iΔ Δt) t. E n a p p l i q u a n t l e p r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n , l a s o r t i e à l ' i n s t a n t t e s t d o n n é e p a r :
y t( ) = x k t( ) h (t t- k ) t
k = - +
Δ Δ Δ
∞
∑
∞ 1S i Δt d e v i e n t t r è s p e t i t a l o r s l ' i m p u l s i o n t e n d v e r s u n p i c d e D i r a c e t , p a r c o n s é q u e n t , l a r é p o n s e h1(t) t e n d v e r s l a r é p o n s e i m p u l s i o n n e l l e h ( t ) . O n t r o u v e p o u r y ( t ) :
y t( ) = x u h t( ) ( − u) du
− ∞
∫
+∞P r o p r i é t é s
- C o m m u t a t i v i t é : x ( t ) * g ( t ) = g ( t ) * x ( t )
- D i s t r i b u t i v i t é : [ x ( t ) + s ( t ) ] * g ( t ) = x ( t ) * g ( t ) + s ( t ) * g ( t ) - A s s o c i a t i v i t é : [ x ( t ) * s ( t ) ] * g ( t ) = x ( t ) * [ s ( t ) * g ( t ) ]
- δ( )t é l é m e n t n e u t r e : (t)*g(t)= + (u)g(t-u)du=g(t)
∫
-∞∞δ δ- δ(t−t0) é l é m e n t d e t r a n s l a t i o n : ) t - t ( g
= du ) u - t ( g ) t u (
= ) t ( g
* ) t t
( + 0
- 0
0
∫
∞∞δ −− δ
- D é r i v a t i o n : ( x ( t ) * y ( t ) ) ' = x ' ( t ) * y ( t ) = x ( t ) * y ' ( t )
O n e n d é d u i t q u e l a c o n v o l u t i o n p a r l e p e i g n e d e D i r a c
|_ I_ |T( )t a p o u r e f f e t d e p é r i o d i s e r l e s i g n a l . E n e f f e t :
[ ]
| _ I_ |T = = =
+
( ) * ( )t g t (t nT) * ( )g t (t nT) * ( )g t g t( nT)
n n n
δ − δ
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ − −
= −∞
+∞
= −∞
∞
= −∞
∑ ∑ ∑
+∞E x e m p l e :
S o i t g ( t ) u n s i g n a l d é f i n i s u r l ' i n t e r v a l l e , ⎡−
⎣⎢
⎤
⎦⎥
T T
2 2 . L e p r o d u i t d e c o n v o l u t i o n |_ I_ |T( ) * ( )t g t r e s t i t u e u n s i g n a l p é r i o d i q u e :
-T
T 2
2 t t
g(t) g(t)*
T(t)
- P r o d u i t d e c o n v o l u t i o n d e D i r a c:
δ(t − t1) * (δ t − t2) = δ(t − t1 − t2) E x e m p l e :
Soit x t( ) = T ( )t et g( )t = T(t T) . Calculons y(t)
∏
2∏
− .T t -T
2 2
x(t)
1
2T t g(t)
1
d ' o ù :
t-2T t
g(t-u) 1
u
e t :
t T
-T 2 2
y(t) = x(t) * g(t) T
3T 2
5T 2
T h é o r è m e d e P L A N C H E R E L
S o i e n t x ( t ) e t y ( t ) d e u x s i g n a u x a y a n t p o u r t r a n s f o r m é e X ( f ) e t Y ( f ) . P L A N C H E R E L a d é m o n t r é q u e :
TF t y t f Y f
TF t y t f Y f
( x = X
x ) = X
( ) * ( ) ) ( ) ( )
( ( ) ( ) ( ) * ( )
D e m :
{ }
{ }
TF x t y t x u y t u dt x u y t u dt
x t y t x u y d du f Y f
jtf jtf
jf jfu
( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
_ _
_
= du e = e du
TF = e e = X
⎡ −
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ ⎡ −
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
⎡⎣⎢ ⎤
⎦⎥
∞ +∞
− ∞
+∞ − −
∞ +∞
− ∞ +∞
−
∞ + ∞
− ∞
+ ∞ −
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
2 2
2 2
π π
π τ π
τ τ
L a s e c o n d e r e l a t i o n s e d é m o n t r e d e l a m ê m e f a ç o n . A p p l i c a t i o n :
C e t h é o r è m e e s t u t i l i s é d a n s d e n o m b r e u s e s a p p l i c a t i o n s . P r e n o n s l ' e x e m p l e d u t é l é p h o n e o ù l e p r o b l è m e e s t d e t r a n s m e t t r e s i m u l t a n é m e n t e t s u r u n m ê m e c a n a l d e t r a n s m i s s i o n u n g r a n d n o m b r e d e m e s s a g e s .
C o n s i d é r o n s , d a n s u n p r e m i e r t e m p s , u n m e s s a g e x ( t ) q u i o c c u p e l a b a n d e [ - 4 K H z , 4 K H z ] ( b a n d e p a s s a n t e d e l a v o i x h u m a i n e d é f i n i e p a r l e s T é l é c o m m u n i c a t i o n s ) . C o m m e n t t r a n s l a t e r s o n s p e c t r e X ( f ) a u t o u r d e s f r é q u e n c e s f o e t - f o ? . P o u r r é a l i s e r c e l a i l s u f f i t d e m u l t i p l i e r x ( t ) p a r cos(2πf t0 ). D ' a p r è s l e t h é o r è m e d e P L A N C H E R E L o n a :
y t t f f f f f f f
y t t f f X f f X f f
( ) ( ) cos( ( ) ( ) * ( ) ( )
( ) ( ) cos( ( ) ( ) ( )
= x t) Y X
= x t) Y +
2 2
2 2 2
0
0 0
0
0 0
π δ δ
π
⇔ = ⎡ − + +
⎣⎢
⎤
⎦⎥
⇔ = − +
-4 KHz 4 KHz f
X(f)
f
X(f-fo) X(f+fo)
-fo fo
-fo-4 -fo+4 fo-4 fo+4
Y(f)
C e t t e o p é r a t i o n e s t a p p e l é e m o d u l a t i o n d ' a m p l i t u d e s a n s p o r t e u s e ( M A S P ) , b i e n q u e f o s o i t a p p e l é e p o r t e u s e . I l e x i s t e d ' a u t r e s t y p e s d e m o d u l a t i o n s ( f r é q u e n c e , p h a s e , . . . ) . O n p o u r r a c o n s u l t e r s u r c e p o i n t l ' o u v r a g e d e A . S P Ã T A R U .
E n c o n c l u s i o n , s i l ' o n d é s i r e t r a n s m e t t r e s i m u l t a n é m e n t e t s u r u n e m ê m e l i g n e l e s s i g n a u x x t1( ) , x2( )t , .. , xn( )t , i l s u f f i t d e c o n s t r u i r e l e s i g n a l y ( t ) :
y t( ) = x1( ) cos(t 2πf t1 ) + . . + xn( ) cos(t 2πf tn )
o ù f1, f2 ,..., fn s o n t l e s p o r t e u s e s a s s o c i é e s à x t1( ) , x2( )t , .. , xn( )t .
f1 f2 f3
-f1 -f3 -f2
Y(f)
f
X1(f-f1) X
3(f-f3) X2(f-f2)
2
2 2
E n r é c e p t i o n , p o u r r e t r o u v e r l e m e s s a g e x ti( ), i l f a u t f i l t r e r y ( t ) p a r u n f i l t r e p a s s e - b a n d e [fi −4KHz, fi +4KHz] p u i s d é m o d u l e r l e s i g n a l d e s o r t i e d u f i l t r e ( t r a n s l a t i o n d u s p e c t r e a u t o u r d e l ' o r i g i n e d e s f r é q u e n c e s ) a f i n q u e l e m e s s a g e s o i t a u d i b l e .
R e l a t i o n e n t r e s é r i e d e F o u r i e r e t T F
S o i e n t x ( t ) u n s i g n a l p é r i o d i q u e d e p é r i o d e T e t xT( )t l e s i g n a l t r o n q u é s u r u n e p é r i o d e d é f i n i p a r :
x t x t
T( ) ( )
= si t _ T
2 , T 2 0 Ailleurs
∈ ⎡
⎣⎢
⎡
⎣⎢
⎧
⎨⎪
⎩⎪
O n a :
x t( ) = xT( ) *t | _ I_ |T ( )t d ' o ù :
X f( ) = T XT( )f | _ I_ |1 ( )f
T
1
S o i t e n c o r e : ( 1 ) X f
T X n
T f n
T T
n
( ) = 1 ⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ ⎛ −
⎝⎜ ⎞
= −∞ ⎠⎟
∑
+∞ δD e p l u s l e s i g n a l x ( t ) é t a n t p é r i o d i q u e , i l s ' é c r i t a u s s i :
( 2 ) x t C en j
n T n
( ) = 2π t
= −∞
∑
+∞ e t X f C f nn T
n
( ) =
= −∞
∑
+∞ δ⎛⎝⎜ − ⎞⎠⎟E n c o m p a r a n t l e s e x p r e s s i o n s ( 1 ) e t ( 2 ) o n t r o u v e :
C
X n
T
n T
T
=
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
L e s p e c t r e d u s i g n a l p é r i o d i q u e e s t d o n c o b t e n u , à u n f a c t e u r p r è s , a p r è s é c h a n t i l l o n n a g e d u s p e c t r e d u s i g n a l t r o n q u é .
2 ° ) - C o r r é l a t i o n .
S o i e n t x ( t ) e t y ( t ) d e u x s i g n a u x à é n e r g i e f i n i e , l a f o n c t i o n d ' i n t e r c o r r é l a t i o n Cxy( )τ e s t d é f i n i e p a r :
Cxy( )τ = x t y t( ) *( τ) dt
-
+ −
∞
∫
∞C e p r o d u i t s c a l a i r e m e s u r e l e s s i m i l i t u d e s e n f o r m e e t p o s i t i o n d e s s i g n a u x . C e s s i m i l i t u d e s p e u v e n t é v o l u e r a u c o u r s d u t e m p s τ. O n r e m a r q u e d e p l u s , q u e Cxy( )τ r e s t i t u e l ' é n e r g i e d ' i n t e r a c t i o n e n t r e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y(t - )τ .
S i Cxy( )τ = 0 o n d i t q u e l e s s i g n a u x x ( t ) e t y ( t ) s o n t d é c o r r é l é s o u o r t h o g o n a u x .
E x e m p l e
U n r a d a r é m e t u n e i m p u l s i o n s i n u s o ï d a l e x ( t ) s u r u n o b j e t f i x e e t r e ç o i t l e s i g n a l b r u i t é y ( t ) .
Objet
x(t) y(t)
Radar Emetteur - Récepteur
1
T
x(t) y(t)
t t
t C (t)xy
L e m a x i m u m τ0 d o n n e l a d i s t a n c e à l ' o b j e t . E n e f f e t s i v0 e s t l a v i t e s s e d e p r o p a g a t i o n d e l ' o n d e o n a :
d v
= 0 0 2
τ
←
t r a j e t A l l e r e t R e t o u rS i x ( t ) = y ( t ) , Cxx( )τ e s t a p p e l é f o n c t i o n d ' a u t o c o r r é l a t i o n d u s i g n a l x ( t ) .
P r o p r i é t é s
- L a f o n c t i o n d ' i n t e r c o r r é l a t i o n v é r i f i e l a r e l a t i o n : Cxy( )τ = C*yx(−τ)
D e m :
Cxy x t y t x t y t
t
( ) ( ) *( ) *( ' ) ( ' ) '
τ τ τ *
τ
= dt dt
- = t'
-
+ − = ⎡ +
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
∞ ↑
∞
− ∞
∫ ∫
+ ∞[ ]
Cxy( ) y t x t( ' ) *( ' ( )) '
τ = − −τ dt *
− ∞
∫
+∞d ' o ù :
Cxy( )τ = C*yx(−τ)
O n e n d é d u i t q u e Cxx( )τ e s t à s y m é t r i e h e r m i t i e n n e : Cxx( )τ = Cxx* (−τ)
E t s i x ( t ) e s t r é e l s a f o n c t i o n d ' a u t o c o r r é l a t i o n e s t p a i r e . - L ' é n e r g i e t o t a l e Wx d ' u n s i g n a l x ( t ) e s t :
Wx = x t dt = Cxx 0
- +
( ) ( )
∞
