Cours (1) Transformée en Z

Transformées en Z

1) Définition Une série entière est une série de terme général

a

_n

z

ⁿ, notée

∑

, où

n≥0 n n

z a

- z est une variable complexe

- les coefficient réels

a

_n sont les termes d’une suite réelle

( ) a

_{n n∈N} . Exemples :

∑

,

≥0 n

z

n

∑

≥0

!

n n

n z

Théorème : Pour toute série entière, il existe un nombre réel positif

R > 0

appelé rayon de convergence, tel que :

- La série entière est convergente pour tout

z ∈ C

, avec

z < R

- La série entière est divergente pour tout

z ∈ C

, avec

z > R

Remarque 1: On ne peut rien dire si

z = R

.

Remarque 2: Si

z ∈ C

,

z

est le module du nombre complexe.

Si

z ∈ R

,

z

est la valeur absolue du nombre réel.

Remarque 3: Si

R = ∞

, la série est convergente pour tout nombre complexe

z

. Si

R = 0

, la série est divergente pour tout nombre complexe

z

.

x R z

a

∈

⁾ 2) Développements en séries entières des fonctions à variable réelle (

Si f est une fonction infiniment dérivable en 0, on utilise la formule de Taylor :

∑

^+∞

=

= + +

+

=

0 ) ( 2

! ) 0 ... (

! 2

) 0 ( ' '

! 1

) 0 ( ) ' 0 ( ) (

n

n n

n x x f

x f f f

x

f

,

où

f

⁽⁰⁾

= f

et

0 ! = 1

. La série entière de la fonction f a le terme général ⁿ

x

ⁿ

n f

! ) 0

)

(

(

.

Exemples :

∑

^+∞

=

− =

⁰

1

1

n

x

n

x

, avec le rayon de convergence

R = 1

;

∑

^+∞

=

=

0

!

n n x

n

e x

, avec le rayon de convergence

R = ∞

.

3) Echantionnage d’un signal. Signal discret

Signal causal : Un signal causal est une fonction

x : R → R

, telle que

x ( t ) > 0

pour tout

t<0

. Signal discret : Si

x : R → R

est un signal causal, on appelle signal discret associé la suite

définie par :

( ) x

n^* n_∈N

( ) { }

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

→

→

∈

( 0 ), ( 1 ),..., ( ),...

) ( :

*

*

*

n x x

x x

n x x n

R N x

N n n

n ou

( ) { }

⎪ ⎩

⎪ ⎨

⎧

=

=

→

→

×

∈

( 0 ), ( ), ( 2 ),..., ( ),...

) ( :

*

*

*

nT x T x T x x x

nT x x nT

R N T x

N n n

n

pour une période d’échantionnage 1 pour une période d’échantionnage T 4) La transformation en Z

Définition Si

( ) x

n _n∈N est un signal causal discret, on appelle transformée en

Z

de

x

, la série

( ) ∑

^+∞

=

=

− 0

) ( )

(

n

z

n

n x z

Zx

, où

z ∈ C

et

n ∈ N

.

Applications

1) La transformée en Z de la fonction échelon unité ,

U ( n ) = 1 , ∀ n ∈ N

est

( ) 1 1

) 1 ( )

(

₁

0

0

= −

= −

=

=

^+∞ ₋

= +∞ −

=

−

∑

∑ z

z z z

z n U z

ZU

n n n

n .

Comme le rayon de convergence de la série entière de

∑

^+∞

=

+ =

⁰

1

1

n

t

n

t

^est , alors la série est convergente si

= 1 R

( ) ^{ZU (z )} − z

⁻¹

< 1

, c.à.d si

z > 1

. 2) La transformée en Z de la fonction impulsion unité ,

On appelle impulsion unité, le signal causal discret défini par :

d ( 0 ) = 1 ,

et

d ( n ) = 0 , ∀ n ∈ N

^*.

( ) ( ) ( )

⁰

1

0

=

=

=

^{+∞ −}

=

∑ ^{d n z}

−

^z

z Zd

n

n .

La série

( ) Zd (z )

est convergente pour tout

z ∈ C

. 3) La transformée en Z de la fonction rampe ,

On appelle fonction rampe, le signal causal discret défini par :

r ( n ) = n , ∀ n ∈ N

.

( ) ( )

⁰

( )

⁰

( 1 )

²

= −

=

= ∑ ∑

^+∞

= +∞ −

=

−

z nz z

z n r z

Zr

n n n

n .

La série

( ) Zr ( z )

est convergente si

z > 1

. 4) La transformée en Z de la fonction carré ,

On appelle fonction carré, le signal causal discret défini par :

x ( n ) = n

²

, ∀ n ∈ N

.

( ) ^{( )}

⁰

^{( )}

^{0 2}

( ⁽ − ^{1 1} )

³

⁾

= +

=

= ∑ ∑

^+∞

= +∞ −

=

−

z z z z

n z

n x z

Zx

n

n n

n .

La série

( ) Zr ( z )

est convergente si

z > 1

.

5) La transformée en Z de la fonction exponentielle ,

On appelle signal exponentiel, le signal causal discret défini par :

x ( n ) = a

ⁿ

, ∀ n ∈ N

(

a ≠ 0

) .

( ) ( )

a z

z az az

z a z

n x z

Zx

n

n n

n n n

n

= −

= −

=

=

=

^+∞ ₋

= +∞ −

= +∞ −

=

−

∑ ∑

∑

1

0 1 0

0

1

) 1 ( )

(

.

La série

( ) Zr ( z )

est convergente si

z > a

.