Transformée en Z

Filtres Numériques

Généralités

Transformée en Z

Cas continu :

( ) ( ) ds t( ) e t s t RC

= + dt

( )

( ) S p

( )

H p = E p ^{H f( )} = ^{H p( )} _{p j= 2π f}

discrètisation :

[ ] [ ] [ ]

(

)

e e

e

s nT s n T e nT s nT RC

T

⎡ ⎤

− ⎣ − ⎦

= +

( )

= S z H("f ") = H z( )

Transformée de Laplace d’un signal échantillonné :

( ) ( )

( ) ( )

e e e e

X p x t e dt x t x nT

+∞ −

−∞

=

∫

( ) [ ]

e e

n

X p x n e

+∞ −

=−∞

=

∑

Transformée en Z

( ) [ ]

n

X z x n z

+∞ −

=−∞

=

∑

( ) [ ]

[ ]

e e e

n n

X p x n e x n z z e

+∞ +∞

− −

=−∞ =−∞

=

∑ ∑

Propriétés

linéarité

Décalage temporel (théorème du retard)

Convolution (théorème de)

Systèmes LIT

Stabilité

Fonction de transfert discrète :

( ) [ ]

n

H z h n z

+∞ −

=−∞

=

∑

+∞

Causalité

[ ] [ ] [ ]

0 m

y n h m x n m

+∞

=

=

∑

( ) [ ]

0

n n

H z h n z

+∞ −

=

=

∑

Filtres numériques

Équations aux différences

Fonctions de transfert rationnelle

…(suite)

( ) ( )

( )

( )

1

0 1

1

1 1

1 ( )

1 1

q q

i i i

i i

p p

i

i i

i i

z N z b z

H z D z

a z z

β α

− −

= =

− −

= =

−

= = =

+ −

∑ ∏

∑ ∏

Pôles et zéros

( ) ( )

0 0

z = βi ⇒ N z = ⇒ H z = Zéros de transmission

Pôles

( ) ( )

0

z =αi ⇒ D z = ⇒ H z → ∞

Fonction de transfert :

amplitude, phase et temps de groupe ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

2

1 1

1 1

1 ( )

1

j f

q

i i

p

i

i z e

N z z N f

H z D z D f

z

π

β α

−

=

−

= =

−

= = =

−

∏

∏

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

j f

j f f

j f

N f e N f

N f e

D f D f e D f

θ

θ ϕ

ϕ

= = −

( )

⁽

⁾

T f

θ ϕ

π

= − −

Spécifications en amplitude

Gabarit (linéaire)

Spécifications en phase

Phase linéaire

…(suite)

(

) (

)

X f f = X f f e ^{πϕ + πϕ}

(

)

X_ϕ f f = e ^{πϕ + πϕ} Xmod

(

)

(

)

Filtres numériques

Filtres RIF (FIR)

Phase linéaire

donc

…(suite)

Temps de groupe

( )

⁽

⁾

2

d f

T f

df

π τ ϕ π τ

− +

= − =

Condition

• h(t) doit être symétrique ou antisymétrique

• Non réalisable avec les filtres analogiques

Synthèse

méthode de la fenêtre

• Spécification en fréquence sous la contrainte d’une réponse impulsionnelle symétrique ou anti-symétrique.

• Filtre idéal :

Aparté 1

(Fonctions rectangle et sinus cardinal)

(

)

0 else.

c c

f f

rect f f ⎧ <

= ⎨⎩

sin( 2 )

2 sinc(2 ) 2

2

c

c c c

f f t f f t

f t π

= π TF⁻1

⎯⎯⎯ →

Réponse impulsionnelle finie

Aparté 2

(théorème du fenêtrage)

1

( ). ( ) ( ) ( )

TF

TF

x t y t X υ Y f υ υ d

−

+∞

−∞

⎯⎯→ −

←⎯⎯ ⎯ ∫

Longueur de la fenêtre

Fenêtres

Fenêtres

Filtre obtenu

Phase

Système causal

( ) (

)

^{( )}

(

)

h t ∗δ t −t ⎯⎯→H f − j π f t

( )

T f = t

Phase (cas discret)

Soit h[n] = h(nT_e) et LT_e = t_f , alors,

[ ] [ ]

[ ]

e

h n n L H k j k L

δ ^⎛ π F ^⎞

∗ − ⎯⎯⎯→ ⎜− ⎟

⎝ ⎠

Causalité :

N coefficients : 1

2 L N −

=

…(suite)

Types de filtre ^(exemple)

Réponse impulsionnelle, fonction de transfert, stabilité et équation aux différences

Réponse impulsionnelle : h[n]

Fonction de transfert :

( ) ( )

( )

[ ]

0 N

k k

H z Y z h k z

X z

− −

=

= =

∑

Equation aux différences :

( ) [ ]

[ ] ^{( )} _{( )} ^{( )}

0 1

N

k k

k k

N z N z

H z h k z h k z

D z

+∞ −

− −

=−∞ =

=

∑

∑

( )

[ ] ( )

( )

0 0

N N

k k

k

k k

Y z h k X z z b X z z

− −

− −

= =

=

∑

∑

[ ] ∑

[ ]

Implantation ^{[ ] [ ]}

1

0 N

k k

y n b x n k

−

=

=

∑

…(suite)

[ ]

[ ]

0 N

k k

y n b x n k

−

=

=

∑

Algorithme

…(suite)

Filtres numériques

Filtres RII (IIR)

Étapes de conception

• Prototype analogique

- Fonctions d’approximation

• Transposition numérique

– Transposition pÆz

– Structure de réalisation

• Methode numérique directe : Yule Walker

– Méthode par optimisation

Transformation pÆz

2 j π f +∞

−∞

j

e 2 F

e 2

−F

2 _e

j FT

e ^π

f : fréquence analogique

…(suite)

• Transformation bilinéaire :

• Réalise une relation bijective entre les fréquences analogiques et les fréquences numériques.

• Repose sur l’approximation de l’intégrale continue par la méthode des trapèzes.

( ) ( )

t

y t x u du

−∞

=

∫ ⁽

⁾

2

n

k k

n e

k

x x

y T

=−∞

= ∑ +

( ) 1 ( ) Y p X p

= p ¹

1

( ) 1 ( )

2 1 T

z

Y z X z

z

−

−

= +

−

−1

−

Transformée de Laplace Transformée en z

…(suite)

( )

1 2 1

exp 2

2 1 1

e

p j f

e j FT

p z

T z

π

π

−

= −

= −

+

(

)

e

f FT

π = T π

2 j π f

2 _e

j FT

e ^π

FTe

π π f

Prédistorsion

f

Synthèse

• Définition du gabarit numérique en fonction de l’application.

• Prédistorsion des fréquences caractéristiques du gabarit (f_p, f_s).

• Ce gabarit prédistorsion est utilisé pour calculer un filtre prototype analogique en utilisant les fonctions

d’approximations :

• Butterworth

• Tchebycheff I

• Tchebycheff II

• Elliptic (Cauer)

• …

• Le filtre prototype analogique est transformé en filtre

numérique avec la transformation bilinéaire qui supprime la prédistorsion introduite à l’étape précédente. Ce filtre respecte

Filtres numériques

Équations aux différences

Fonctions de transfert rationnelle

Caractéristiques des filtres RII

2

2

( ) 1

1

N

c

H f

f f

= ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

• Filtres de Butterworth

• Défini par son ordre N et sa fréquence de coupure f_c.

• Fonction de transfert en module monotone.

% Butterworth filter

% sampling frequency : 16 kHz

% Fp : 1800 Hz

% Fa : 4000 Hz

% Rp : 0.01 dB % Ra : 50 dB

[N, Wn]= buttord(1800/8000,4000/8000,0.01,50);

[B,A] = butter(N,Wn);

H=freqz(B,A);

plot(linspace(0,1,512),abs(H))

…(suite)

• Filtres de Tchebycheff I

2

2 2

( ) 1

1 _N

p

H f

T f ε f

= ⎛ ⎞

+ ⎜⎜ ⎟⎟

⎝ ⎠

• Défini par son ordre N et la fréquence

délimitant la bande passante f_p et ε l’ondulation en bande passante.

• Ondulation en bande passante et monotone en bande atténuée.

% Chebyshev I filter

% sampling frequency : 16 kHz

% Fp : 1800 Hz

% Fa : 4000 Hz

% Rp : 0.01 dB

% Ra : 50 dB [N, Wn] =

cheb1ord(1800/8000,4000/8000,0.01,50); [B,A] = cheby1(N,0.01,Wn);

2

2 2

( ) 1 1

1 _N ^s

H f f

T f

ε

= − ⎛ ⎞

+ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

…(suite)

• Filtres de Tchebycheff II

• Défini par son ordre N, la fréquence délimitant la bande atténuée f_s et l’atténuation ε.

• Monotone en bande passante et ondulation en bande atténuée.

% Chebyshev II filter

% sampling frequency : 16 kHz

% Fp : 1800 Hz

% Fa : 4000 Hz

% Rp : 0.01 dB

% Ra : 50 dB [N, Wn] =

cheb2ord(1800/8000,4000/8000,0.01,50); [B,A] = cheby2(N,50,Wn);

H=freqz(B,A);

2

2 2

( ) 1

1 _N

p s

H f

R f ε f f

= ⎛ ⎞

⎜ ⎟

+ ⎜⎝ ⎟⎠

…(suite)

• Filtres elliptique

• Défini par son ordre N et la fréquence délimitant la bande atténuée f_s, la fréquence délimitant la bande passante f_p et ε l’atténuation et l’ondulation en bande passante.

• Ondulation en bande passante et ondulation en bande atténuée.

% Elliptic filter

% sampling frequency : 16 kHz

% Fp : 1800 Hz

% Fa : 4000 Hz

% Rp : 0.01 dB % Ra : 50 dB [N, Wn] =

ellipord(1800/8000,4000/8000,0.01,50);

Pôles et zéros

( ) ( )

( )

( )

1

0 1

1

1 1

1 ( )

1 1

q q

i i i

i i

p p

i

i i

i i

z N z b z

H z D z

a z z

β α

− −

= =

− −

= =

−

= = =

+ −

∑ ∏

∑ ∏

( ) ( )

0 0

z = βi ⇒ N z = ⇒ H z = Zéros de transmission

Pôles

( ) ( )

0

z =αi ⇒ D z = ⇒ H z → ∞

…(suite)

Butterworth

Tchebycheff I

…(suite)

Tchebycheff II

Elliptique

Temps de groupe

( )

( )

2

d f

T f df

φ

= − π

…(suite)

Fréquence d’échantillonnage : 16 kHz Fp : 1800 Hz, Fs : 4000 Hz

Rp : 0.01 dB, Rs : 50 dB

Structure d’implantation

z^-1

z^-1

z^-1

z^-1

z^-1

z^-1 b₁

b₀

b₂

b₃

-a₁

-a₂

-a₃

x_n y_n

) ( ) 1 ( )

(z B z A z

H =

Forme directe I

…(suite)

zz^--11

zz^--11

zz^--11

zz^--11

b₁ b₀

b₂

b₃

b_Q-1 -a₁

-a₂

-a₃

-a_Q-1

y_n x_n

) ) (

( ) 1

( B z

z z A

H =

Forme directe II

…(suite)

b₂

b₃

-a₁

-a₂

-a₃

x_n

z^-1 b₁

z^-1 b₂

z^-1

y_n

) ) (

( ) 1

( B z

z z A

H =

Forme directe transposée II

Quantification des coefficients

• La précision finie des processeurs et des cases mémoires implique la quantification des coefficients.

k k k

a =a + Δa et bk = + Δbk bk

• La modification des coefficients modifie la fonction de transfert.

• Plus le filtre est d’ordre élevé, plus la pertubation introduite par la quantification est importante

…(suite)

• sensibilité des coefficients à la quantification Æ cellules d’ordre 2

2 2 1 1

1 1 0

1 ^{− −}

−

+ +

+

z a z

a

z b b

2 2 1 1

1 1 0

1 ^{− −}

−

+ +

+

z a z

a

z b

x_n b y_n

Décomposition en éléments simples

∑⁻

= − −

−

+ +

+ +

= ₀ ^{1 0} ₁ ^{1 1} ₂ 1

) (

)

( ^N _{i i}

z a z

a

z b c b

z A

z B

c₀

Structure parallèle Structure cascade

2 2 1 1

2 2 1 1 0

1 ^{− −}

−

−

+ +

+ +

z a z

a

z b z

b b

2 2 1 1

2 2 1 1 0

1 ^{− −}

−

−

+ +

+ +

z a z

a

z b z

b

x b

x_nn yy_nn

Factorisation spectrale

∏⁻

= − −

−

−

+ +

+

= ₀ ¹ + ¹ ₁^{1 2 2}₂ 1

1 )

( )

( ^N _{i i}

z a z

a

z b z

b b z A

z B

Quantification

Structure directe Structure cascade

Factorisation spectrale

%calcul des racines P=roots(A)

Z=roots(B)

% fabrication des polynomes d’ordre 2

%à partir des racines complexes conjuguées A1=poly(P(1:2))

B1=poly(Z(3:4)) A2=poly(P(3:4)) B2=poly(Z(5:6)) A3=poly(P(5:6)) B3=poly(Z(1:2))

% Cela peut être fait automatiquement par la fonction matlab

% [sos,g]=tf2sos(B,A);

11 22 33

Calcul

ACC=x(n)

ACC=ACC - a₁ × w(n-1) ACC=ACC - a₂ × w(n-2) w(n)=ACC

ACC=w(n) × b₀

ACC=ACC + b₂ × w(n-2) ACC=ACC + b₁ × w(n-1) ACC

y(n)=ACC

w(n-2)=w(n-1) w(n-1)=w(n) zz^--11

zz^--11

b₁ b₀

b -a₁

-a₂

y_n x_n