Lycée Louis-Le-Grand,Paris Pour le 18/03/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
DM n
o16 : Groupe symétrique
Ce devoir est à m’envoyer scanné au format pdf, via l’assistant Tigroesch sur Discord ou par mail à l’adresse suivante : alain.troesch.pro+dm@gmail.com. Merci de respecter la consigne suivante pour le nom du fichier : dm16-nom.pdf (par exempledm16-troesch.pdfsi c’est ma copie), sans accent, sans tréma, sans espace.
Suggestion de travail supplémentaire (à ne pas me rendre) : En plus des suggestions donnés lors des DM précédents, vous pouvez regarder le problème 15 de la sélection, portant sur des critères de primalité, déjà mentionné lors du précédent DM.
Problème 1– Simplicité de An
Le but du problème est de prouver la simplicité deAnlorsqueně5, ce qui signifie queAn n’a pas d’autre sous-groupe distingué quetiduet lui-même. Ce résultat est à la base de la preuve de Galois de la non-résolubilité des équations de degréně5 par radicaux. Soitně5.
Préliminaire
1. Montrer que le produit de deux transpositions (non nécessairement à supports disjoints) de Sn est soit un 3-cycle, soit la composée de deux 3-cycles.
2. En déduire que les3-cycles engendrentAn, c’est-à-dire que tout élément deAns’écrit comme produit de3-cycles.
Partie I – Conjugaison
On dit que deux permutationsτ1et τ2 deSnsont conjuguées s’il existeσPSn tel queτ2“σ˝τ1˝σ´1. 1. Montrer que la relation de conjugaison est une relation d’équivalence.
2. Soit, avec les notations précédentes, τ1 “ pi1 i2 ¨ ¨ ¨ ikqun cycle, et τ2 conjugué (par s) àτ1. Montrer que τ2
est égal au cycle :
τ2“ pσpi1qσpi2q ¨ ¨ ¨ σpikqq.
3. Montrer que deux permutations sont conjuguées dansSn si et seulement si elles ont même type cyclique.
Partie II – Simplicité de A5
1. Soita1, . . . , an
´2 des éléments 2 à 2 distincts dev1, nw, etan
´1, an les deux éléments dev1, nwn’étant pas dans cette liste. On se donne de même b1, . . . , bn´2 des éléments distincts de v1, nw, complétés par les 2 éléments manquantbn´1 etbn. Montrer qu’il existe une permutation paireσtelle que
@iP v1, n´2w, σpaiq “bi.
On pourra éventuellement utiliser une composition par une certaine transposition pour obtenir la bonne parité.
2. En déduire que les 3-cycles pa1, a2, a3qsont conjugués dansA5, c’est-à-dire que sic1etc2sont deux 3-cycles, il existeσPA5tel que c2“σc2σ´1.
3. Montrer de même que les composées de deux transpositions à supports disjoints sont conjuguées dansA5. 4. Soitc0“ p1 2 3 4 5q, etc“ pa1a2 a3 a4a5qun 5-cycle, etσPS5 définie parσpkq “ak. Expliciter un élément
τ deS5 tel quec2“ pσ˝τq ˝c0˝ pσ˝τq´1.
5. En déduire que pour tout 5-cyclec, soitc, soitc2 est conjugué dansA5au cyclec0.
6. Soit H un sous-groupe distingué de A5 (donc stable par conjugaison). Montrer que siH contient un 3-cycle, il les contient tous, et de même pour les produits de 2 transpositions à supports disjoints, ainsi que pour les 5-cycles.
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7. En comptant le nombre de 3-cycles, le nombre de 5-cycles et le nombre de produits de 2 transpositions à supports disjoints, en déduire queH “ tiduouH “A5. Conclure.
Partie III – Simplicité de An, ną5
Soitną5, et soitH un sous-groupe distingué de An, différent detidu. Soitσ‰id dansH
1. Soit atel queσpaq ‰a. On pose b“σpaq, et on considère cdifférent de a,b etσpbq. Soit τ le3-cyclepa b cq.
Quel est le type cyclique deστ´1σ´1? Montrer queτ στ´1σ´1 admet au moinsn´5 points fixes.
2. Soit F un sous-ensemble dev1, nwde cardinal5, contenant l’ensemble des points non fixes deτ στ´1σ´1. Soit ApFq l’ensemble des permutations de An laissant tous les points extérieurs à F fixes. Montrer que ApFq est isomorphe, en tant que groupe, àA5, et en déduire queApFqest simple.
3. Montrer que HXApFqest distingué dans ApFq, et en déduire queH contient au moins un3-cycle.
4. En déduire queAn est simple.
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