Groupe symétrique

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MPSI-Éléments de cours Groupe symétrique 15 mai 2020

Groupe symétrique

Rédaction incomplète. Version 1.1

le 15 mai 2020

Plan

I. Dénitions . . . 1 II. Décompositions . . . 2 III. Signature. . . 2

Index

cycle,1

cycle : longeur,1 cycle : support,1 cycles disjoints,2 groupe alterné,3

groupe symétrique,1 orbites d'une permutation, 2 permutation,1

permutation circulaire, 1 transposition,2

I. Dénitions

Dénition. Le groupe des bijections deJ1, nKdansJ1, nK muni de l'opération de composition est appelé groupe symétrique. Il est notéSn. Un élément de ce groupe est appelé une permutation.

On appelera aussi permutation toute bijection d'un ensemble ni dans lui même. SiΩest un ensemble ni de cardinaln, il existe une bijectionN (numérotation) deJ1, nKdansΩ. L'application de(Sn,◦)dans le groupe des bijections deΩmuni de◦qui àσ∈Sn associeN◦σ◦N⁻¹ est un isomorphisme de groupe.

On considèrera donc toujours des permutations dans des ensembles de nombres entre1et n.

Plusieurs notations sont possibles pour les permutations. On peut par exemple utiliser une notation matricielle à deux lignes. La première ligne contient les entiers de1ànet la deuxième contient les images de ces entiers. Par exemple, avecn= 7,

1 2 3 4 5 6 7 3 7 1 2 6 4 5

◦

1 2 3 4 5 6 7 6 4 1 3 2 7 5

=

1 2 3 4 5 6 7 4 2 3 1 7 5 6

Proposition 1. Le groupe symétriqueS_n est de cardinaln!. Pour n≥3,S_n n'est pas commutatif.

Preuve. Le cardinal de l'ensemble des bijections a été calculé dans la section sur les dénombrements. Le groupe n'est pas commutatif car

1 2 3 1 3 2

◦

1 2 3 2 1 3

=

1 2 3 3 1 2

6=

1 2 3 2 1 3

◦

1 2 3 1 3 2

=

1 2 3 2 3 1

Dénition. Soitkentier entre1et neta1,· · · , ak des entiers deux à deux distincts entre1et n. On note

a1 a2 · · · ak :











J1, nK→J1, nK x7→







xsix6∈ {a1,· · ·, an}

ai+1 six=ai aveci∈ {,· · ·, k−1}

a₁ six=a_k

Cette application est une permutation appelée cycle (ou permutation circulaire) de longueur k et de support {a1,· · · , a_k}.

Remarques. 1. Malgré sa notation matricielle a1 a2 · · · akdésigne une permutation deJ1, nK.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai C2260

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2. Un même cycle se note de plusieurs manières : a1 a2 a3 a4

= a2 a3 a4 a1

=· · ·

Dénition. On dira que deux cycles sont disjoints si et seulement si leurs supports sont disjoints.

Proposition 2. Deux cycles disjoints commutent. C'est à dire que σ1◦σ2 =σ2◦σ1 lorsque σ1 et σ2 sont des cycles disjoints.

Preuve. Évident avec la dénition.

Dénition. Une transposition est un cycle de longueur2.

Dénition (orbites d'une permutation). Soitσ∈Sn eta∈J1, nK. L'orbite deapourσest l'ensemble desσ^k(a) pourk∈Z.

Proposition 3. Les diérentes orbites d'une même permutationσ constituent une partition deJ1, nK.

II. Décompositions

Proposition 4 (décomposition en cycles disjoints). Toute permutation est la composition de cycles disjoints qui commutent.

Proposition 5 (décomposition en transpositions). Toute permutation est la composition d'un certain nombre de transpositions.

Preuve. Comme toute permutation est une composée de cycles, il sut de démontrer que tout cycle est la composée de transpositions. Cela peut se faire de plusieurs manières.

Soitpéléments distinctsa1,· · ·, ap deJ1, nK.

a₁ a₂ · · · a_p

= (a1a2)◦(a2a3)◦ · · · ◦(ap−1ap) = (a1ap)◦(a1ap−1)◦ · · · ◦(a1a2).

On vérie ces formules en examinant l'image d'un élément quelconque.

Remarques. On peut convenir que l'identité est la composée de0 transposition (ou de deux identiques).

Toute permutation σ admet plusieurs décomposition en transpositions. Le point important est que les nombres de transpositions intervenant dans chaque décomposition d'une permutation ont tous la même parité. C'est l'objet de la section suivante relative à la signature d'une transposition.

On peut donner une deuxième démonstration par récurrence sur le nombre de points xes d'une permutation.

III. Signature

Dénition. Soitσ∈Sn, la signature deσ(notéeε(σ)) est dénie par : ε(σ) =Y

i<j

σ(i)−σ(j) i−j

la somme étant étendue à tous les couples(i, j)d'entiers entre1et ntels quei < j. En faitεest un morphisme dans (Q^∗, .)

Proposition 6.

∀(σ1, σ2)∈S²_n:ε(σ1◦σ2) =ε(σ1)ε(σ2) Preuve.

ε(σ1◦σ2) =Y

i<j

σ₁(σ₂(i))−σ₁(σ₂(j))

i−j =Y

i<j

σ₁(σ₂(i))−σ₁(σ₂(j)) σ2(i)−σ2(j)

Y

i<j

σ₂(i)−σ₂(j) i−j

= Y

i2<j2

σ1(i2)−σ1(j2) i₂−j₂

Y

i<j

σ2(i)−σ2(j)

i−j =ε(σ1)ε(σ2)

(3)

En notantP2l'ensemble des paires d'éléments de J1, nK, on a utilisé le fait que l'application ( P2→ P2

{i, j} → {σ(i), σ(j)}

est une bijection pour toute permutationσ.

Proposition 7. Pour toute transpositionτ = (i₀i₁),ε(τ) =−1.

Preuve. On suppose quei0< j0. On classe les éléments P2 en trois catégories type 1 : ceux dont l'intersection avec{i₀, j₀}est vide.

type 2 : ceux dont l'intersection avec{i₀, j₀}est de cardinal 1.

type 3 : ceux dont l'intersection avec{i0, j₀}est de cardinal 2.

et on évalue la contribution de chaque type au produit.

Les paires de type 1 ont évidemment une contribution égale à1.

Les paires de type 2 (il y en a2(n−2)) sont les{k, i₀} et les{k, j₀} aveck6∈ {i₀, j₀}. Leur contribution est Y

k6∈{i0,j₀}

(τ(k)−τ(i0))(τ(k)−τ(j0)

(k−i0)(k−j0) = Y

k6∈{i0,j₀}

(k−j0)(k−i0

(k−i0)(k−j0) = 1

Il existe une seule paire de type 2. c'est{i0, j0} elle même, sa contribution est évidemment égale à−1. Conclusionεest un morphisme entre les groupes (Sn,◦)et({−1,+1}, .).

Dénition. Une permutation est dite paire lorsque sa signature est+1. L'ensemble des permutations paires forme le groupe alterné (notéAn). C'est un sous-groupe deSn (le noyau de la signature).

Remarque. Soitτ une transposition etσune permutation. Alorsσest paire si et seulement siτ◦σest impaire. On en déduit qu'il y a autant de permutations paires que d'impaires donc le groupe alternéAn contient ^n!₂ éléments.

Proposition 8. La signature d'un cycle de longueurp est(−1)^p−1. En particulier les cycles de longueur 3 sont des permutations paires.

Preuve. Cela résulte des décompositions d'un cycle en transpositions (prop5)