Caractéristiques d’un signal (cours

PCSI 1

PROGRAMME DE COLLE DE PHYSIQUE Semaine du 01/10 au 06/10

Analyse dimensionnelle Tout exercice sur le sujet.

Oscillateur harmonique Tout exercice sur le sujet.

Caractéristiques d’un signal (cours) – Période, fréquence d’un signal d’un signal

– Signal sinusoïdal : amplitude, période, fréquence, pulsation, phase à t = 0 – Déphasage entre deux signaux

– Valeur moyenne d’un signal périodique. Cas particulier du signal sinusoïdal.

– Valeur efficace d’un signal périodique. Cas particulier du signal sinusoïdal.

– Analyse spectrale d’un signal périodique, série de Fourier. Spectre en amplitude. (le calculs des coefficients de Fourier n’est pas au programme).

Ondes progressives (cours +exercices)

– Exemples d’ondes : sur une corde, à la surface de l’eau, acoustiques, électromagnétiques Connaître dans chaque cas la nature du signal, le milieu de propagation, la nature longitu- dinale ou transverse de l’onde. Distinguer les ondes 1D, 2D et 3D. (les ondes de matières, abordées en terminale et les ondes gravitationnelles ont été citées).

– Célérité c d’une onde progressive.

– Caractérisation mathématique d’une onde progressive 1D :

? à partir du retard (variable temporelle)

f(t− ^x_c)onde se propageant à la vitesse cdans le sens des x croissants g(t+^x_c) onde se propageant à la vitesse cdans le sens des x décroissants

? à partir de la translation à la vitessec du signal (variable spatiale) f˜(x−ct)onde se propageant à la vitesse c dans le sens des x croissants

˜

g(x+ct)onde se propageant à la vitesse cdans le sens des x décroissants les deux approches étant équivalentes.

– Onde progressive harmonique. Expression générale. Double périodicité.

– Lien entre période spatiale et temporelle : λ=cT.

– Énergie associée à une onde : savoir que l’énergie est reliée au carré de l’amplitude de l’onde.

– Onde plane progressive sinusoïdale : introduction du vecteur d’onde ~k

– Onde sphérique : connaître son expression générale. Savoir que son amplitude décroît (on admet la décroissance en1/r).

– Savoir définir un milieu dispersif.

Ondes stationnaires (cours + exercices)

– Additivité des signaux : on admet que la linéarité de l’équation d’onde (qui sera vue en deuxième année) entraîne l’additivité des signaux.

– La limitation spatiale d’un milieu est susceptible de générer des ondes réfléchies : on est amené à superposer des signaux.

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– Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation, se propageant dans des directions opposées, observée à partir d’une simulation numérique : apparition d’une onde stationnaire présentant des nœuds et des ventres de vibration. On constate que deux nœuds successifs sont distants deλ/2 oùλcorrespond à la longueur d’onde des ondes progressives que l’on additionne. De même, deux ventres successifs sont distants de λ/2. Enfin, l’écart minimal entre un nœud et un ventre estλ/4.

– Observation de la corde de Melde : mise en évidence des modes propres, quantification des fréquences (on a considéré l’amplitude des oscillations du vibreur suffisamment faible pour pouvoir assimiler le point de fixation de la corde sur le vibreur à un nœud de vibration).

On obtient pour le mode n : f_n =nf₁ =nc/2L.

– Expression mathématique de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation se propageant dans des directions opposées. Le signal peut s’exprimer sous la forme :

y(x, t) = y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) aveck = ω c

On démontre à partir ce cette formule que l’écart entre deux nœuds (ou deux ventres) successifs, vaut ^λ₂, que l’écart entre un nœud et le ventre qui lui succède vaut ^λ₄. Enfin, les points situés entre deux nœuds successifs vibrent en phase alors que les points situés de part et d’autres d’un même nœud vibrent en opposition de phase.

– Corde de Melde : l’application des conditions aux limites en x = 0 et x = L (∀t y(0, t) = 0 et∀t y(L, t) = 0) permet de retrouver la condition L = n^λ₂ⁿ et d’établir la quantification des fréquences : f_n = nf₁ = n_2L^c .

La vibration de la corde (fixée à ses deux extrémités) s’exprime de manière générale comme une superposition des modes propres :

y(x, t) =

∞

X

n=1

y_n(x, t) =

∞

X

n=1

y_0nsin nπc

Lt+ϕ_n sin

nπ Lx

– Ondes stationnaires acoustiques. Tuyau ouvert-fermé, fermé-fermé, ouvert-ouvert. On montre que les fréquences des modes propres d’un tuyau ouvert-fermé ne comportent que des multiples impaires de la fréquence du fondamental.

Interférences (cours)

– Visualisation du phénomène avec la cuve à ondes – Théorème de superposition (rappel)

– Interférences à deux ondes :

On notesE1(t)etsE2(t)les signaux émis respectivement en E1 et enE2 par deux sources cohérentes (même pulsation, déphasage constant) :

s_E1(t) =a₁cos(ωt+ϕ_S1)et s_E2(t) =a₂cos(ωt+ϕ_S2) Soit s(M, t) le signal résultant reçu en un point M

s(M, t) =s₁(M, t) +s₂(M, t) = a₁cos(ωt+ϕ₁) +a₂cos(ωt+ϕ₂)

avec ϕ₁ =−kr₁+ϕ_S1 et ϕ₂ =−kr₂+ϕ_S2. On pose∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ = ^2π_λ(r₁−r₂) + ∆ϕ_S On constate sur des simulations que :

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• La somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω est un signal sinusoïdal de pulsation identique ω.

• L’amplitude du signal obtenu dépend uniquement de la différence de phase ∆ϕ=ϕ₂−ϕ₁ entre les deux signaux.

• La somme de deux signaux présente une amplitude maximalea_maxlorsque les deux signaux sont en phase :

pour ∆ϕ= 0 (modulo 2π), ϕ₂ =ϕ₁ (modulo 2π) a_max =a₁ +a₂

• La somme de deux signaux présente une amplitude minimale amin lorsqu’ils sont en op- position de phase :

pour ∆ϕ=π (modulo 2π) ϕ₂ =ϕ₁+π (modulo 2π) a_min =|a₁−a₂|

– Addition de deux signaux sinusoïdaux par la méthode de Fresnel. Calcul de l’amplitude du signal résultant :

a= q

a²₁+a²₂+ 2a₁a₂cos ∆ϕ on retrouve ainsi les propriétés énoncées précédemment.

– Pour deux sources synchrones (ϕ_S1 =ϕ_S2) :

interférences constructives pourr₁−r₂ =p λ avecp∈Z interférences destructives pour r₁−r₂ = ^λ₂ +p λ avecp∈Z – Allure des franges d’interférences

– Effet d’un déphasage entre les deux sources sur les positions des franges. Cas particulier où les sources vibrent en opposition de phase : inversion de la position des franges sombres et brillantes par rapport au cas où les sources vibrent en phase.

– Calcul de l’interfrange. On se place à deux dimensions dans le cas où a D, y D.

On a utilisé la formule √

1 +x² = 1 +¹₂x² en vérifiant graphiquement qu’elle restait valable pour|x|<0,5(cette formule doit être fournie aux élèves). Interfrange i= ^λD_a .

Battements (cours)

Superposition de deux signaux de fréquences différentes. En un point donné, l’amplitude du signal résultant varie périodiquement au cours du temps.

Interprétation par la méthode de Fresnel : calcul de la fréquence des battements.

Seconde interprétation : par utilisation de la formule trigonométrique permettant de passer d’une somme à un produit de cosinus (uniquement utilisable lorsque les signaux ont même amplitude).

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