PCSI1 Lycée Michelet
ONDES STATIONNAIRES
Table des matières
I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes stationnaires. 2
1. Quelques simulations . . . 2
2. Observation expérimentale : corde de Melde . . . 3
3. Condition d’obtention d’une onde stationnaire . . . 5
II. Expression mathématique d’une onde stationnaire 5 1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales . . . 5
2. Description de l’onde stationnaire . . . 6
3. Conditions aux limites et modes propres . . . 7
4. Décomposition en mode propre . . . 8
III.Autres exemples d’ondes stationnaires 9 1. Ondes acoustique stationnaires. . . 9
2. Autres exemples d’ondes stationnaires. . . 10
Les ondes progressives sont solutions d’une équation dite équation d’onde qui est une équation linéaire : on peut donc additionner les signaux correspondant à deux ondes progressives.
Remarque : pour des signaux de grande amplitude, la linéarité peut ne plus être vérifiée.
Jusqu’à présent on s’est intéressé à des ondes se propageant en milieu "ouvert". Lorsqu’un milieu est limité, les ondes atteignant les frontières du milieu vont donner naissance à des ondes réfléchies qui vont se superposer aux ondes incidentes...
On va donc considérer dans un premier temps le cas simple de la superposition de deux ondes progressives 1D, se propageant dans des directions opposées.
I. Superposition de deux ondes progressives. Ondes sta- tionnaires.
1. Quelques simulations
• réflexion d’une onde
http://tatullisab.free.fr/laboratoire/7_Terminale%20S/2_Specialite/2-sons/Reflexion.
swf
On observe tout d’abord la réflexion d’une perturbation (on sélectionne "signal"). Dans les conditions de l’expérience la réflexion se fait avec inversion du signal : c’est le cas pour une corde fixée à une de ses extrémités.
• superposition de deux signaux voir feuille de calcul SageMath :
http://nbviewer.jupyter.org/url/pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/OP2.
ipynb
Sur cette première feuille de calcul, on superpose (i.e on additionne) deux signaux de profils inversés se propageant dans deux directions opposées (on peut imaginer une déformation sur une corde). À un moment les deux signaux s’annulent avant de se séparer à nouveau.
• superposition de deux ondes sinusoïdales progressives, de même amplitude et de même pul- sation, se propageant dans des directions opposées.
voir feuille de calcul SageMath :
http://nbviewer.jupyter.org/url/pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/OP3.
ipynb
Sur cette seconde feuille de calcul, on superpose deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation qui se propagent à la même vitesse dans des directions oppo- sées :
y1(x, t) =Asin(ωt−kx) y2(x, t) =Asin(ωt+kx+ϕ)
On n’observe plus de propagation : on parle alors d’onde stationnaire.
Contrairement à une onde progressive sinusoïdale,l’amplitude des oscillations dépend du point où on se place : on constate alors que certains points restent toujours immobiles (on les appelle des nœuds de vibration), alors que d’autres oscillent avec une amplitude maxi- male (on les appelle des ventres de vibration). L’écart entre deux nœuds successifs (ou entre deux ventres successifs) correspond à une demi-longueur d’onde des ondes progressives initiales.
L’écart entre un nœud et un ventre successifs correspond à un quart de longueur d’onde des ondes progressives initiales.
En retournant sur le site de la première simulation, mais en cliquant sur "sinusoïdal", on observe la superposition du signal incident et du signal réfléchi, qui donne naissance à l’onde stationnaire, pour laquelle le point de fixation, situé au niveau de l’obstacle, correspond à un nœud de vibration.
2. Observation expérimentale : corde de Melde
La corde de Melde est une corde tendue fixée à ses deux extrémités (typiquement une corde de guitare).
Elle peut fonctionner
– en mode libre : on pince la corde et on la laisse ensuite vibrer. Compte tenu des frottements avec l’air, la vibration s’atténue progressivement (exemple : corde de guitare, de piano...).
– en mode forcé : on entretient les oscillations en fournissant de l’énergie. Cela permet d’ob- server des oscillations entretenues, les pertes énergétiques liées au frottement avec l’air étant compensées par l’apport d’énergie due au vibreur (exemple : corde de violon, l’énergie étant fournie par le frottement de l’archet sur la corde).
Expérience (réalisée en TP)
Le dispositif expérimental que l’on va utiliser est constitué d’une corde tendue à l’aide d’une masse accrochée à une de ses extrémités. De l’autre côté un vibreur fait osciller de point d’at- tache avec une amplitude très faible.
On met en marche le vibreur et on observe... en général pas grand chose au départ. Cependant si on modifie la fréquence du vibreur, on constate que pour certaines fréquencesune onde stationnaire apparaît : c’est le phénomène de résonance.
L’amplitude des oscillations du vibreur étant très faible devant l’amplitude de vibration maxi- male de la corde à la résonance, on peut considérer que l’extrémité de la corde reliée au vibreur est fixe.
On peut visualiser l’expérience sur le site :
http://alain.lerille.free.fr/Medias/video/CordeMelde.mp4 ainsi que l’animation
http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Ondes/ondes_stationnaires/
melde.html
Pour la fréquence la plus basse, notée f1, on observe :
pourf2 = 2f1
pourf3 = 3f1
etc...
On constate que la corde n’entre en vibration que pour certaines fréquences dites fréquences propres oufréquences de résonance.
On constate que ces fréquences sont des multiples de f1 dite fréquence du fondamental.
Les différentes configurations associées sont appeléesmodes propresde vibration de la corde.
Utilisation du stroboscope (voir TP)
Un stroboscope permet d’éclairer la corde grâce à des flashes très courts, émis avec une période Tstrobo (et donc une fréquence fstrobo = 1/Tstrobo).
Pour que la corde apparaisse fixe, il faut que la période du stroboscope soit un multiple de la période du signal :Tstrobo =nT, et donc que sa fréquence soit un sous multiple de la fréquence du signal fstrobo = fn. La fréquence maximale utilisable est donc f, puis ensuite, par ordre décroissantf /2,f /3etc... On se place en général à la fréquence maximale fstrobo =f.
Supposons que l’on ait réglé le stroboscope àfstrobo =f. Si on souhaite décomposer le mouve- ment il suffit de décaler légèrement la fréquence du stroboscope. Ainsi Tstrobo =T +δt.
Si δt < 0 (on a augmenté légèrement la fréquence), la corde n’a pas tout à fait rejoint la position qu’elle occupait au flash précédent.
Siδt > 0(on a diminué légèrement la fréquence), la corde a dépassé la position qu’elle occupait au flash précédent.
3. Condition d’obtention d’une onde stationnaire
Prenons l’exemple de la corde de Melde : la corde est fixée à ses deux extrémités : ces deux extrémités doivent donc coïncider avec des nœuds de vibration. Or deux nœuds de vibration sont au moins distants d’une demi-longueur d’onde. Ldoit donc vérifier la condition, pour un mode donné :
L=nλn
2 avecn ∈N∗
on peut alors en déduire les fréquences possibles, puisque λn =cTn = c fn : L=n c
2fn On aura donc vibration pour les fréquences f vérifiant :
fn=n c
2L =nf1 avec n∈N∗ avec f1 = 2Lc fréquence du mode fondamental.
II. Expression mathématique d’une onde stationnaire
1. Superposition de deux ondes progressives sinusoïdales
Considérons le cas le plus général de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation, se propageant dans des directions opposées :
y(x, t) = y1(x, t) +y2(x, t)
=Asin(ωt−kx+ϕ1) +Asin(ωt+kx+ϕ2)
=A[sin(ωt−kx+ϕ1) + sin(ωt+kx+ϕ2)]
en utilisant la relation trigonométrique : sinp+ sinq= 2 sinp+q2 cosp−q2 on obtient y(x, t) = 2Asin
ωt+ ϕ1+ϕ2 2
cos
−kx+ϕ1−ϕ2 2
= 2Asin
ωt+ ϕ1+ϕ2 2
cos
kx+ϕ2−ϕ1 2
si on pose ϕ1+ϕ2 2 =ϕ, ϕ2−ϕ2 1 =φ et 2A =y0 on obtient
y(x, t) =y0sin(ωt+ϕ) cos(kx+φ) que l’on peut également exprimer sous la forme :
y(x, t) =y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ)
avec ψ =φ+π2.
Lorsqu’on observe le résultat, on constate que la fonctiony(x, t)obtenue s’exprime comme un produit d’une fonction dexpar une fonction det(en l’occurrence ici des fonctions sinusoïdales).
De manière générale quand une fonction s’exprime sous la forme y(x, t) = f(x)g(t), on dit que c’est une fonction à variables séparées. Ce n’est plus une expression de la forme y(x, t) = f(x± ct).
On n’observe plus de propagation. Cela correspond bien à une onde stationnaire.
Retenir :
L’expression générale de la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de même amplitude et de même pulsation se propageant dans des directions opposées s’écrit :
y(x, t) = y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) aveck = ω c Remarque : Les expressions suivantes sont équivalentes :
y(x, t) =y0sin(ωt+ϕ) cos(kx+φ) y(x, t) =y0cos(ωt+ Ψ) cos(kx+φ) y(x, t) =y0cos(ωt+ Ψ) sin(kx+ψ)
avec φ=ψ−π2 etΨ =ϕ− π2.
2. Description de l’onde stationnaire
Considérons l’onde stationnaire
y(x, t) =y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) avec k= ω c On peut écrire
y(x, t) = A(x) sin(ωt+ϕ) avec A(x) =y0sin(kx+ψ).
L’amplitude des oscillations dépend du point où on se place : elle est maximale au niveau des ventres de vibration et nulle au niveau des nœuds de vibration. En un point d’abscisse x donnée, l’amplitude des oscillations vaudra :
A(x) =|A(x)|=|y0sin(kx+ψ)|
• nœuds de vibration :A(x) = 0 pour sin(kx+ψ) = 0 soit pourx=xn,p tel que kxn,p+ψ =pπ avecp∈Z
xn,p=pπ k −ψ
k avecp∈Z xn,p =pπλ
2π −ψ
k avecp∈Z xn,p=pλ
2 − ψ
k avecp∈Z
La distance entre deux nœuds consécutifs est égale à une demi-longueur d’onde (xn,p+1 − xn,p= λ2).
• ventres de vibration : A(x) =Amax =|y0| pour sin(kx+ψ) = ±1soit pour x=xv,p tel que kxv,p+ψ = π
2 +pπ avec p∈Z xv,p = π
2k +pπ k − ψ
k avec p∈Z xv,p=π
2 λ
2π +pπλ 2π −ψ
k avecp∈Z xv,p= λ
4 +pλ 2 −ψ
k avecp∈Z
La distance entre deux ventres consécutifs est égale à une demi-longueur d’onde (xv,p+1−xv,p=
λ 2).
La distance entre un nœud et un ventre consécutifs est égale à un quart de longueur d’onde (xv,p−xn,p= λ4).
Enfin, les points situés entre deux nœuds successifs vibrent en phase alors que les points situés de part et d’autres d’un même nœud vibrent en opposition de phase.
3. Conditions aux limites et modes propres
Retrouvons à présent la quantification des fréquences. L’onde stationnaire de la forme y(x, t) =y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) avec k= ω
c doit vérifier les conditions aux limites spatiales suivantes :
aux points de fixations (x = 0 et x = L) la vibration est nulle, la fonction y(x, t) doit donc vérifier :
∀t y(0, t) = 0 (CL1)
∀t y(L, t) = 0 (CL2)
soit, en exprimant (CL1) :
∀t y(0, t) =y0sin(ωt+ϕ) sin(ψ) = 0 d’où sin(ψ) = 0, ψ = 0 ou π on choisit ψ = 0 (choisir ψ =π reviendrait à inverser le signe de y0).
en exprimant (CL2) :
∀t y(L, t) =y0sin(ωt+ϕ) sin(kL) = 0 d’où sin(kL) = 0 on en déduitkL=nπ avecn ∈N∗ d’où k =nπ
L =kn
ce qui permet de retrouver la condition vérifiée par L : λ2π
n =nπL L=nλn
2 ainsi que les fréquences et pulsations associées : fn=n c
2L =nf1 ωn = 2πfn =nπc
L avec f1 = c
2L fréquence du mode fondamental.
On aura donc, pour le mode n donné :
yn(x, t) =y0nsin nπc
Lt+ϕn sin
nπ Lx
avec n∈N∗
qui correspond à la forme mathématique du mode n.
Remarques : La limitation spatiale de l’onde entraîne une quantification des fréquences : seul un nombre discret de fréquences peuvent exister.
Les valeurs des fréquences propres dépendent directement de la nature des conditions aux limites imposées à la cordes.
4. Décomposition en mode propre
Quand on pince une corde, on a peu de chance d’exciter un unique mode. En réalité la vi- bration de la corde résulte de la superpositiondes différents modes. On peut, sous certaines conditions, éviter d’exciter certains modes suivant l’endroit où on pince la corde.
Le signal s’exprimera donc de manière générale sous la forme
y(x, t) =
∞
X
n=1
yn(x, t) =
∞
X
n=1
y0nsin nπc
Lt+ϕn sin
nπ Lx
Les valeurs des amplitudes y0n et des phases initiales ϕn peuvent se déduire des conditions initiales en position et en vitesse de la corde, grâce à l’analyse de Fourier, mais cela dépasse le cadre du programme de première année1.
Les différentes valeurs des y0n indiquent comment se répartissent les différentes harmoniques dans le spectre. L’importance relative des différentes harmoniques est lié au timbre.
Le spectre est en fait plus complexe : il dépend du temps.
1. à titre indicatif on pourra consulter la feuille de calcul sage : http://nbviewer.jupyter.org/url/
pcsi1.physique.pagesperso-orange.fr/sagemath/Spectre_d_une_corde_de_Melde.ipynb
III. Autres exemples d’ondes stationnaires
1. Ondes acoustique stationnaires.
Pour obtenir des ondes acoustiques 1D on peut utiliser un tuyau. Ce dernier étant de longueur L finie, les ondes acoustiques devront s’établir en milieu limité.
La plupart des instruments à vent sont constitués d’un tuyau cylindrique avec des extrémités ouvertes ou fermées.
Lorsque l’extrémité du tuyau est ouverte, la pression imposée est la pression atmosphérique P0, la surpression sera donc nulle.
Par contre la vitesse de déplacement des "particules fluides" a une amplitude maximale.
L’extrémité d’un tuyau ouvert correspond à un nœud de surpression.
Lorsque l’extrémité du tuyau est fermée, le mouvement des particules fluides est nul (on a donc un nœud en pour la vitesse de déplacement des particules fluides) et on admettra que l’amplitude de la surpression est maximale.
L’extrémité d’un tuyau fermé correspond à un ventre de surpression.
Application :
Un instrument de musique se modélise par une cavité de longueur `, fermée à une extrémité et ouverte à l’autre.
La vitesse du son dans l’air est c= 340m.s−1.
1) Quelle doit être la longueur du tuyau pour que la plus faible fréquence d’une onde stationnaire soitf1 = 440Hz (La4).
2) Quelle fréquence f2 immédiatement supérieure peut exister ?
3) Donner l’expression générale de toutes les fréquences possibles des ondes stationnaires pouvant s’établir dans cet instrument.
L’extrémité fermée correspond à un ventre de pression, l’extrémité ouverte à un nœud. On a, pour le mode fon- damental :
` = λ1 4 = c
4f1
= 19,3 cm avec f1 = c
4`
Pour le deuxième mode : `= λ2 4 +λ2
2 = 3λ2 4 = 3c
4f2 on on déduitf2 = 3c
4` = 3f1.
Le deuxième mode correspond à l’harmonique de rang 3.
de manière générale, on écrira pour la fréquence fn du mode n :
`= λn
4 + (n−1)λn
2 = (2n−1)λn
4 = (2n−1) c
4fn avecn ∈N∗ d’où fn= (2n−1)c
4l = (2n−1)f1 avec n∈N∗ ainsi f2 = 3f1, f3 = 5f1 etc...
Les fréquences propres correspondent seulement aux fréquences multiples impaires de la fré- quence fondamentale f1 : le spectre du son produit par ce tuyau ne comportera donc pas d’harmoniques paires.
On peut vérifier facilement qu’un tuyau ouvert à ses deux extrémités est l’équivalent acoustique de la corde de Melde (L=nλ2n) : les fréquences possibles seront donc de la formefn =nπcL = nf1.
Idem pour un tuyau fermé à ses deux extrémités (L=nλ2n).
De manière générale on pourra rechercher l’expression de la supression p = P −P0 sous la forme
p(x, t) = y0sin(ωt+ϕ) sin(kx+ψ) aveck = ω c
les conditions aux limites spatiales permettent de retrouver les fréquences possibles ainsi que l’expression de ψ.
2. Autres exemples d’ondes stationnaires
1D : cavité laser
Vous avez vu en terminale qu’une cavité laser est constituée de deux miroirs (dont un semi- réfléchissant laissant passer une petite partie de la lumière produite) distants d’une longueur L=nλ2.
2D : Onde de marée forcée par la Lune.
Point amphidromiques : point où l’amplitude de marée est toujours nulle.
Système amphidromique du terme M2 (composante principale lunaire semi-diurne de la marée) en mer du Nord. Les lignes bleu clair illustrent des endroits de même phase de marée ; les points amphidromiques sont indiqués par 1, 2 et 3.
Carte des océans illustrant l’amplitude du terme M2 de la marée. Les lignes blanches sont des lignes cotidales (égale phase de marée) qui diffèrent d’une heure l’une de l’autre. Les points amphidromiques sont situés à la jonction de plusieurs lignes cotidales.
Vibration d’une timbale : lorsqu’on force la vibration de la surface, il apparaît pour des fréquences données, des lignes nodales (ou la vibration est nulle).
3D : modes propres des ondes sismiques solaires :
Les ondes acoustiques solaires sont aussi dénommées ondes P. Elles sont de fréquences beaucoup plus basses que les fréquences acoustiques audibles (fréquences centrées autour de 3 mHz, période de 5 min). Ce sont les mouvements convectifs de surface qui génèrent des ondes. Le mouvement de vibration de l’étoile est alors une superposition de modes propres 3D. Leur analyse nous renseigne sur la structure interne du soleil.
Remarque : ce sont ces oscillations de la photosphère que l’on détecte.
pour plus d’information, on pourra consulter le site :
http://irfu.cea.fr/Sap/Phocea/Vie_des_labos/Ast/ast_visu.php?id_ast=994
Ondes stationnaires dans un four micro-ondes.
À gauche, cliché à la caméra infra-rouge pour détecter les zones de chauffage maximum. À droite, onde stationnaire dans une cavité parallélépipédique (coupe longitudinale).
pour plus d’information consulter l’article"Vitesse de la lumière et four micro-ondes"de Jean- Michel COURTY et Édouard KIERLIK, paru dans le magazine Pour la science, Juin 2011.
