CORRECTION TP SYSTÈMES DU 1° et du 2°ORDRE Utilisation de la transformée de Laplace
I- SYSTÈME DU 1° ORDRE
Notre système est la partie électrique simplifiée d'un enroulement de moteur pas- à-pas. L'entrée du système est la tension v d'alimentation du moteur (échelon E.(t) d'amplitude E) et la sortie du système est le courant i traversant le circuit.
1- Etude du système
Effectuer une simulation du système avec E=5V ; R=60 et L=90mH puis mesurer etT0 I
V
. Exploitation du résultat de simulation : v : échelon d’entrée de niveau 120V i(1) : courant de sortie (dans la bobine)
V
=5V etI
=83mA0
0, 083
T 5 T01, 66.10 AV2 1
Mesure du temps pour i=95%. I:
3. 4, 55.10
3s 1,52ms
A partir de l'équation différentielle, déterminer les valeurs théoriques de et de T0 et comparer avec les valeurs mesurées par simulation.
. di
v E R i L
dt
=>E 1 di
L i dt
avecL
R
Application numérique :90.10
3 60
1,5ms
tlim i(t) I
= constante. I satisfait l’équation différentielle, d’où :
E 1 dI 1
I I
L dt
donc E L E E
I .
L R L R
, par conséquent le gain statique ( ou transmittance en continu ) a pour (E)
R L
v i
Les valeurs théoriques et mesurées sont identiques.
2- Substitution du système par des blocs "transmittance"
A partir de l'équation différentielle, déterminer la transmittance T(p) I(p)
V(p)et la mettre sous la forme générale d'une transmittance du 1°ordre.
. di
v R i L
dt ( ) ( ) v t V p
( ) ( ) i t I p
( ) . ( ) (0 ) di t p I p i
dt
( ) . ( ) . . ( ) (0 )
V p R I p L p I p i
Conditions initiales :i (0 )
0
d’où :
1
( ) .
T p R L p
1 ( )
1 .
T p R
L p R
( )
01 . T p T
p
Effectuer, dans le même fichier PSIM, une simulation de réponse indicielle (E=5V) en utilisant un bloc "s-domain transfer function block" pour réaliser T(p).
Prendre les valeurs de et T0 qui correspondent à R = 60 et L = 90mH.
2 3
1, 67.10 ( ) 1 1,5.10 .
T p p
La résistance de 1Ω permet d’avoir accès au courant de sortie i (mettre le paramètre
″current flag″ à 1)
Comparer la réponse indicielle obtenue avec T(p) avec la réponse indicielle obtenu avec le circuit (partie 1-
).
Les deux relevés sont strictement identiques, notre transmittance isomorphe correspond donc bien à notre circuit RL
Prédire la valeur finale I en utilisant le théorème de la valeur finale puis comparer cette valeur à celle mesurée sur le graphe de la réponse indicielle.
( ) ( ). ( ) I p T p V p
( ) E v V p
p
échelon de niveau E( )
0.
1 .
T E
I p p p
D’après le théorème de la valeur finale : 0 0
0 0
lim ( ) lim( . ( )) lim( . . ) . 1 .
t p p
T E
i t I p I p p T E
p p
D’où
E
I
R
Application numérique :5
I
60
I
83, 3 mA II- SYSTÈME DU 2° ORDRE
Le système est un moteur à courant continu à excitation séparée (frottements négligés).
L'entrée du système est la tension d'alimentation u(t) (échelon d'amplitude Vt) et la sortie est la vitesse de rotation (t) du moteur.
1- Etude du système
Effectuer une simulation du système avec Vt = 120V ; Ra = 6 ; La = 10mH ; Ia=10A ; Rf=75 ; Lf=20mH ; n=1200tr.min-1 ; J = 1,5.10-3m2.kg ; k = 0,91V.rad-1.s Mesurer 0 puis
T
0U
.En utilisant l’outil ″measure″ / ″max″ puis ″ next max″ on mesure une pseudo-période de 26,8ms.
0 3
2 26,8.10
0 234 rad s .
10
2 .1250
( )
60 T 120
U
T
0 1, 09 rad s V .
1 1 MoteurCC tension
u
vitesse
A partir de l'équation différentielle, déterminer les valeurs théoriques de m de 0 et de T0 .Comparer ensuite avec les valeurs 0 et T0 mesurées par simulation.
Equation électrique :
di
L Ri e u
dt
avece k .
Equation mécanique :d
ki J dt
En remplaçant i par
J d k dt
dans l’équation électrique il vient :2 2
. .
L J d R J d .
k u
k dt k dt
Donc
2 2
. .
² ²
L J d R J d u
k dt k dt k
qui est de la forme :2 2 2 0
0 0
1 2
d m d . dt dt T u
*Recherche de
0 :2 0
² . k
L J
0. k
L J
.
e k u Ri
d’où120 0,5.10
10,915
2 . 2 .1200
( ) ( )
60 60
u Ri u Ri
k Vrad s
n
Application numérique : 0
3
0,915 0, 01.1, 5.10
0 235 rad s .
1 identique à la valeur mesurée.*Recherche de m :
0
2 .
² m R J
k
donc 0. .
2 ² 2 . ²
R J k R J
m k L J k
.
2
R J
m k L
Application numérique :
0, 5 1, 5.10
32.0, 915 . 0, 01 m
m 0,106
*Recherche de
T
0 :0
T 1
k
Application numérique : 01 0, 915
T
T
0 1, 09 rad s V .
1 1 identique à la valeur mesurée.2- Substitution du système par des blocs "transmittance"
A partir des équations électromécaniques, déterminer la transmittance T(p) (p) U(p)
et la mettre sous la
forme générale d'une transmittance du 2°ordre.
2 2 2 0
0 0
1 2
d m d . dt dt T u
( ) ( ) u t U p
( ) t ( ) p
( ) . ( ) (0 ) d t
p p
dt
2 0
0 0
1 2
² ( ) m ( ) ( ) . ( )
p p p p p T U p
Conditions initiales : (0 )
0
2 0
0 0
1 2
( ² m 1) ( ) . ( )
p p p T U p
d’où 02
0 0
( ) ( )
1 2
( ) ( ² 1)
p T
T p U p p m p
Effectuer, dans un le même fichier PSIM, une simulation de réponse indicielle (E=120V) en utilisant un bloc "s-domain transfer function block"
pour réaliser T(p).
Prendre les valeurs de 0 ; m et T0 qui correspondent à la question1- .
2
1, 09
( ) 1 2.0,106
( ² 1)
235 235
T p
p p
5 4
1, 09
( ) (1,81.10 ² 9, 02.10 1)
T p
p
p
60
K 2
permet d’afficher la vitesse en tr.min-1 Comparer la réponse indicielle obtenue avec T(p) avec la réponse indicielle obtenu avec le circuit (partie 1-
).
Les deux relevés sont strictement identiques, notre transmittance isomorphe correspond donc bien à notre moteur.
Prédire la valeur finale en utilisant le théorème de la valeur finale puis comparer cette valeur à celle mesurée sur le graphe de la réponse indicielle.
( ) p T p U p ( ). ( )
( ) E u U p
p
échelon de niveau E0
2
0 0
( ) .
1 2
( ² 1)
T E
p p m p p
D’après le théorème de la valeur finale :
0
0 0 0
2
0 0
lim ( ) lim( . ( )) lim( . . ) .
1 2
( ² 1)
t p p
T E
t p p p T E
m p
p p
D’où
E
