Diverses résonances de croisement de niveaux sur des atomes pompés optiquement en champ nul. I. Théorie

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Diverses résonances de croisement de niveaux sur des

atomes pompés optiquement en champ nul. I. Théorie

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, S. Haroche, F. Laloë

To cite this version:

C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roc, S. Haroche, F. Laloë. Diverses résonances de croisement de

niveaux sur des atomes pompés optiquement en champ nul. I. Théorie. Revue de Physique Appliquee,

1970, 5 (1), pp.95-101. �10.1051/rphysap:019700050109500�. �jpa-00243381�

DIVERSES

RÉSONANCES

DE CROISEMENT DE NIVEAUX

SUR DES ATOMES

POMPÉS

_OPTIQUEMENT

EN CHAMP NUL

I.

THÉORIE

Par C.

_{COHEN-TANNOUDJI, J.}

_DUPONT-ROC,

S. HAROCHE et F.

_LALOË,

Faculté des Sciences, Laboratoire de _{Spectroscopie} Hertzienne de l’École Normale Supérieure, Paris _(France).

Résumé. - La lumière absorbée par une _vapeur

_atomique

soumise à un _pompage

_optique

transversal varie de manière résonnante

_lorsqu’on

balaie le

_{champ magnétique}

_statique

au

voisinage

du

_point

de croisement en

_champ

nul des sous-niveaux Zeeman de l’état fondamental

(effet Hanle).

Des résonances

_{analogues apparaissent lorsqu’on}

effectue le _pompage

_optique

transversal

de la _vapeur

_atomique

dans un

_champ

modulé en

_{amplitude (résonances}

_{paramétriques).}

La très

_grande

finesse des raies ainsi observées sur les atomes alcalins les rend très

intéres-santes _pour la détection et la mesure des

_{champs magnétiques}

très faibles. On discute les

propriétés

de ces deux _types de résonances et on met en évidence les _avantages

_qu’il

_y a à utiliser

les résonances

_{paramétriques.}

Abstract. 2014 The

light

absorbed

_by

an atomic _vapour in a transverse

_{optical pumping}

experiment

exhibits resonant variations when the static

_magnetic

field is

_swept

around the

zero field value

_{corresponding}

to the

_crossing

of the

_ground

state Zeeman sublevels

_(Hanle

effect).

Resonances of the same kind also appear when the transverse

_pumping

is done in an

ampli-tude modulated

_magnetic

field

_{(parametric resonances).}

These resonances are

_extremely

narrow when observed on alkali vapors and therefore

_they

are of _great interest for the detection and measurement of very weak

_magnetic

fields. The characteristics of the two _types of resonances are discussed and the

_advantages

of the

_parametric

resonances are

_emphasized.

Introduction. - La lumière absorbée

ou diffusée

par un atome varie de

_façon

résonnante

_lorsqu’on

balaie le

_champ

_{magnétique statique}

au

voisinage

d’un

point

de croisement de deux sous-niveaux Zeeman de

cet atome. Ce

_phénomène

_porte le nom « d’effet

Hanle »

_[1]

_lorsqu’il

_s’agit

du

_point

de croisement

en

_champ

nul de deux sous-niveaux Zeeman d’un

état

_excité;

« d’effet Franken »

_[2]

_lorsque

les deux sous-niveaux excités

_{appartiennent}

à des niveaux

hyperfins

différents,

le croisement _ayant lieu alors en

champ

non nul.

Des résonances de même _nature,

_{beaucoup plus}

fines sont observables aux

_points

de croisement de

deux sous-niveaux de l’état

_fondamental

d’atomes

pom-pés

optiquement,

en

_particulier

au

_voisinage

du

_champ

nul

_[3].

La finesse de ces résonances les rend très

intéressantes _{pour la détection} et la mesure de

_champs

très faibles. Nous

_présentons

une théorie de ces

réso-nances et

_analysons

leurs

_{caractéristiques :}

_largeur,

intensité,

conditions d’observation.

Nous étudions

_également

un autre _type de réso-nances très

_analogues

aux

précédentes,

apparaissant

lorsqu’on

effectue le _pompage

_optique

transversal d’une vapeur

atomique

dans un

_champ

_magnétique

modulé en

_amplitude

_[4].

Les

_{caractéristiques}

de ces

résonances les rendent encore

_plus

intéressantes _que les

_{précédentes,}

en ce

_qui

concerne

_{l’application}

à la

détection et la mesure de

_champs

très faibles.

Après

un bref

rappel

sur les

_équations

_{du pompage}

optique

(§ A),

nous étudions en détail ces deux _types

de résonances

_(§§

B et

_C).

A.

_Rappels

sur le pompage

optique

[5].

- Afin de

bien

_dégager

la

_{signification physique}

des

_{phénomènes,}

nous _prenons un modèle très

_{simple :}

_pompage

optique

sur la raie

_Di

d’un alcalin dont on

_néglige

le

_spin

nucléaire : transition

_2S1/2

H

2P1/2.

Les atomes étu-diés n’ont alors _que deux sous-niveaux Zeeman dans l’état

fondamental,

comme dans l’état excité. Toutes

les

_propriétés

de _{la vapeur}

_atomique

se décrivent

simplement

en termes d’orientation ou d’aimantation

globale

IYI

_(il

est

_possible

de tenir _compte de l’effet du

spin

nucléaire. Les conclusions

_importantes

demeurent

inchangées) .

1. POMPAGE OPTIQUE EN CHAMP RIGOUREUSEMENT NUL. - La

vapeur alcaline contenue dans une cellule

de résonance est

_éclairée,

en

champ

nul,

_par un faisceau

lumineux

_F,

_polarisé

_{circulairement,}

se

_propageant

le

long

de la direction

_Ox,

et excitant la raie

_Di

de l’alcalin

_{( fig. 1).}

FIG. 1.

96

Comme la seule direction

_{privilégiée}

est la direction de

_propagation

du faisceau

_lumineux,

il est tout

indiqué

de

_prendre

Ox comme axe de

_{quantification.}

La

_figure

2

_représente

les niveaux

_d’énergie

de l’atome

en

_champ

nul

_(les

nombres

_quantiques

_magnétiques

sont relatifs à

_Ox)

et les _{quatre composantes} Zeeman

FIG. 2.

de la raie

_Di

dont deux ont une

polarisation n (Am

=

0),

les deux autres une

_polarisation

6+

_(Am

_{= 1)}

et

6-(0394m

= -1).

A

_{l’équilibre thermique,}

et en l’absence

d’irradia-tion

_lumineuse,

les deux sous-niveaux

_Zeeman

= ±1 2

sont

_également

_peuplés

et l’aimantation

_globale,

_M,

de la _vapeur est nulle dans l’état fondamental.

L’irradiation

_{par F}

fait subir aux atomes de la

vapeur un «

_cycle

de pompage

_{optique »}

et rend M

différent de 0. Par suite de la

_polarisation

a+ de la lumière

excitatrice,

seuls les atomes dans le

sous-niveau

Zeeman 03BC=1 2

_peuvent

absorber un

photon

et monter en m

= +1 2.

Ils retournent ensuite à

l’état fondamental _par émission

_spontanée,

une

cer-taine fraction en -

1

₁

l’autre en

= -1 2.

taine fraction en 03BC

_2’

l’autre en _03BC ==

2

L’effet

_global

du

_cycle

_{de pompage} a été de transférer

des atomes

_de

=-1 2

_à

-

-f - 1

_et de rendre

ainsi

_inégales

les

_populations

des deux sous-niveaux pL

=±1 2,

ce

qui

fait donc

_apparaître

une aimantation

globale

non nulle le

_long

de Ox. En d’autres termes,

une certaine fraction du moment

_cinétique

_transporté

par les

photons

est transférée aux atomes.

Si l’on

_négligeait

tous les processus de

relaxation,

au bout d’un certain nombre de

cycles

de pompage,

tous les atomes _{seraient transférés en} -

+1 2,

_et

l’on obtiendrait une aimantation à

_saturation,

_Mo,

parallèle

à Ox.

_Désignons

_par

dt

M la vitesse de

variation de M sous le seul effet du pompage

optique.

On

_peut

montrer

_[6]

_{que :}

M tend vers

_Mo

avec une constante de _temps

carac-téristique

du pompage;

Tp, appelée

temps

de pompage, d’autant

_plus

courte _que l’intensité lumineuse est

_plus

grande (en

toute

_rigueur,

_Mg,

_My,

_Mz

tendent vers

leurs valeurs limites

_Mo,

_0,

0 avec des constantes de temps

inégales.

Nous

_négligeons

_pour

_simplifier

ce

caractère

_anisotrope

de la « relaxation

optique »).

Notons enfin _que la lumière absorbée sur le fais-ceau

_F,

_LA,

est

_{proportionnelle}

au nombre d’atomes

susceptibles

d’absorber des

_photons

6+,

c’est-à-dire

encore au nombre d’atomes dans l’état

03BC=-1 2;

on vérifie aisément _que

_LA

est

_{proportionnelle}

à

(Mo -

Mx)/Tp (l’absorption

est en effet nulle

_quand

MY

=

Mo,

maximum

_{quand Mx == - Mo,}

propor-tionnelle à

_l/Y"p,

c’est-à-dire à l’intensité

_lumineuse).

En

_résumé,

_{le pompage par F} tend à faire

_apparaître

dans la vapeur une aimantation

globale

parallèle

à Ox.

La mesure de la lumière absorbée

LA

_permet

d’at-teindre

_{expérimentalement}

MX.

2. AUTRES CAUSES D’ÉVOLUTION DE M. - Sous le

seul effet des processus de relaxation

thermique,

M tend

vers la valeur à

_{l’équilibre thermique,}

c’est-à-dire

_0,

avec une constante de

_temps

T,

qui

est le _temps de relaxation

_{thermique (nous}

_supposons

_également

_pour

simplifier

cette relaxation

_isotrope).

En

_appelant

d(2) ,

dt

M la vitesse de variation

_{correspondante}

de

M,

on a :

Enfin,

en

_présence

d’un

champ magnétique

exté-rieur

_H,

_statique

ou

variable,

M subit une

précession

décrite par :

où y

est le

_rapport

_{gyromagnétique}

de l’état fonda-mental.

3.

_ÉQUATION

D’ÉVOLUTION GLOBALE DE M. - La théorie

_quantique

du

_cycle

_{de pompage}

_optique

_[6]

permet de montrer _que l’évolution

_globale

de M sous

l’effet du pompage

optique

par F,

de la

_précession

dans des

_champs

_appliqués,

de la relaxation s’obtient

simplement

en

ajoutant

les vitesses de variation dues

à ces divers processus :

La

_{signification physique}

de

_{l’équation}

₍₄₎

est très

claire. Pour une discussion de ses conditions de

_validité,

on se

_reportera

à la référence

[6].

En toute

_rigueur,

il faut écrire deux

_{équations couplées, analogues}

à

₍₄₎

et décrivant les évolutions

_couplées

de M

_{et -4X,}

aiman-tations

_globales

des états fondamental et excité. La

grande

différence entre les constantes de _temps d’évo-lution

_Fp

et T de l’état fondamental et _TR de l’état excité

_(03C4R,

durée de vie

_radiative)

_{permet, pour} les

applications

étudiées

ici,

de

_découpler

ces deux

En utilisant

_(1),

_(2),

_(3),

_{il vient pour}

_{(4) :}

en

_{posant :}

T est une constante de

_temps

_{globale qui}

décrit l’effet combiné de la relaxation «

_{optique »}

et

_thermique;

Mo

est l’aimantation

_globale

atteinte en

_régime

sta-tionnaire en

champ

nul. Il _y a

_compétition

entre le pompage et la relaxation.

_Mo

est d’autant

_plus

voisin de

_Mo

que le

premier

processus est

_important

devant le

second,

c’est-à-dire _que

_1/Tp

est

_grand

devant

_1/T.

4. ANALOGIES ET DIFFÉRENCES AVEC LES

_ÉQUATIONS

DE BLOCH. - Les

équations (6)

ont la même structure

que les

équations

de Bloch

[7].

Dans les

_équations

de

Bloch,

Mo

est l’aimantation

à

_{l’équilibre thermique,}

résultant du facteur de

Boltz-mann,

toujours

parallèle

au

champ statique Ho

appliqué.

Ici nous

négligeons

l’orientation très faible due au

facteur de Boltzmann.

_Mo

est créée essentiellement _par le pompage

optique

et est _par suite

_parallèle

à F

(c’est-à-dire

à Ox sur la

figure 1). Mo

n’est donc pas

assujetti

à être

_parallèle

au

champ statique

Ho.

En

particulier,

si l’on choisit

_Ho

le

_long

de

Oz,

M’ 0 et Ho

sont

_{perpendiculaires.}

Dans ce cas, on dit

qu’on

fait une

expérience

de

_pompage

_optique

transversal.

Cette

_possibilité

d’avoir

_M’

et

_Ho

non

parallèles

est

_typique

_{du pompage}

_optique

et conduit à des effets intéressants comme nous le verrons _par la suite.

B.

_{Pompage optique}

transversal dans un

_champ

statique

très faible : effet Hanle de l’état fondamen-tal

_[3].

- 1. CONDITIONS _DE L’EXPÉRIENCE. - Dans

cette

_{expérience, F}

est

_toujours

_parallèle

à

_Ox;

le

champ

extérieur est un

champ

statique

Ho

perpendi-culaire à F

_(parallèle

à

_Oz).

_{Le pompage}

_optique

est

FIG. 3.

donc transversal. Un

_{photomultiplicateur}

PM mesure

les variations de la lumière absorbée

_{proportionnelle}

à

_Mg.

On balaie très lentement

_Ho

autour de la valeur 0.

Quelle

est la variation avec

_Ho

du

_signal

_optique

_LA,

c’est-à-dire encore de

_Mx?

Le

_problème

_théorique

est donc le suivant : on

remplace

dans

₍₆₎

_{H par}

_Ho.

On cherche _pour

_chaque

amplitude

du

_{champ, Ho,}

la solution stationnaire de

_(6),

_(s)M,

et on étudie la variation avec

_Ho

de

(s)Mx.

2. CALCUL DE LA SOLUTION STATIONNAIRE (s)M.

-Posons :

mo est la

_pulsation

de Larmor dans le

_{champ Ho.}

Lorsque Ho

est

_parallèle

à

_Oz,

₍₆₎

est

_équivalent

aux

trois

_équations

suivantes dans

_lesquelles

on a

_{posé :}

En égaiant

_{à 0,}

d dt M±

et

d dt Mz,

on obtient

imrné-diatement la solution stationnaire :

c’est-à-dire encore, en utilisant

(8) :

(s)Mz

reste

_toujours

nul. Les variations en fonction

de

_{Ho, plus}

exactement en fonction du

_paramètre

sans dimensions 03C9003C4, de

(s)Mx

et

_(s)My

sont

_{représentées}

sur la

_figure

4. Ce sont celles d’une courbe

_{d’absorption}

FIG. 4.

ou de

dispersion

de

Lorentz,

centrées autour du

_champ

nul,

de

_{largeur 0394(03C9003C4)}

=

2,

c’est-à-dire encore

039403C90

=

2/ï,

c’est-à-dire _encore,

d’après

(7) :

En

_champ

nul

_(03C9003C4

=

0),

(S)My

et

_(S)Mz

sont

_nuls,

(s)Mx

=

M’0 :

le pompage

optique

par F

fait

appa-raître en

_champ

nul une aimantation

parallèle

à

F,

comme nous l’avons

déjà

vu

_plus

haut

(§ A.1).

En

champ fort,

(03C9003C4

~

1),

les trois

_composantes

de (s) _M

sont _{nulles : le pompage}

_optique

transversal en

champ

statique

fort ne crée aucune orientation. La transition

entre ces deux cas limites se fait sur un domaine de

champ

de

_largeur

donnée _par

_(13).

3. INTERPRÉTATION _PHYSIQUE DU RÉSULTAT. - Le

pompage

optique

par F crée en _{permanence des}

dipôles atomiques qui pointent

dans la direction Ox de F. Aussitôt

_après

avoir été orientés dans cette

98

dans le

_{plan xOy}

à la vitesse

_angulaire

Cùo et sont

détruits avec une constante de temps

globale

T soit

par suite de collisions

(relaxation thermique),

soit

parce que, absorbant un

_photon,

ils

_quittent

l’état

fondamental

_(relaxation

_optique).

A un instant

donné, t

=

_0,

représentons

dans le

plan xOy

l’ensemble des

_{dipôles atomiques}

dans l’état fondamental. Il y a ceux

qui

viennent

juste

d’être

pompés

par F et

_{qui pointent}

donc le

_long

de Ox

( fig.

5).

Il y a ceux

qui

ont été

_pompés

à l’instant - t

FIG. 5.

(t

>

₀₎

et

_qui

_{n’ont pas été} encore détruits : ils ont

donc tourné par

rapport

à leur direction

_initiale,

c’est-à-dire

_Ox,

d’un

_angle

_{(ùo t}

et leur nombre a

diminué _par suite de _{la relaxation par} un facteur

exp

(-

t/03C4).

Pour obtenir l’aimantation

globale

à

t =

0,

il faut sommer vectoriellement tous ces

_petits

vecteurs _pour - t variant de 0 à - _oo.

La

_figure

6

_représente

l’ensemble des

_dipôles

dans le

_plan

_xOy

_pour les trois cas

_{(03C9003C4 ~ 1,}

_coor

_1,

03C9003C4 ~ 1.

FIG. 6.

Si

_Ho

est très faible

_{(03C9003C4 ~}

_1),

tous les vecteurs sont

_parallèles

à Ox. La résultante a sa valeur

maximale,

AQ,

parallèle

à Ox.

Dès _que

_Ho

devient non

nul,

les vecteurs ne sont

plus parallèles

et

_(s)Mx

_{diminue. Par contre,}

_(s)My

devient différent de 0. On voit d’ailleurs _que si l’on

change

de

_{signe Ho,}

_l’angle

de rotation

_{(ùo t}

_change

de

signe

et _par suite aussi

_(s)My,

ce

qui

explique

la forme

de

_dispersion

de

_{(8) My}

_{( f ig.}

_4).

Lorsque

Ho

est suffisamment

_grand

_(03C9003C4

~

1),

pendant

le

_temps

i, les

dipôles

ont le

temps

de faire

plusieurs

tours; les différents vecteurs à sommer sont

alors

_répartis

de

_{façon isotrope}

dans le

_plan

_xOy,

et

l’aimantation

_globale

est nulle :

_{(8) Mx ==}

_{(8) My ==}

0. On

_comprend

ainsi

_physiquement

les variations de

_(s)Mx

et

_{(8) My représentées}

sur la

figure

4. Elles

résultent du fait que le pompage de F le

long

de Ox

est contrarié par la

précession

de Larmor autour de

_Ho,

qui

lui est

_{perpendiculaire.}

On voit toute

_{l’importance}

du caractère transversal du

_pompage

_optique

_par

_rapport

à

_{Ho :}

c’est ce caractère transversal

_qui

est

_responsable

de la variation résonnante de

_(s)Mx

et

_(s)My

autour de

Ho

= 0. Si le

pompage était

longitudinal,

c’est-à-dire

si

_Ho

était

_appliqué

le

_long

de

Ox,

les

_{dipôles pompés}

par F le

long

de Ox resteraient

immobiles,

quel

que

soit

_Ho,

et l’on aurait _pour toute valeur du

_champ

(s)Mx

=

Mj

,

(s) My

=

(8) Mz

= 0.

4. ORDRE DE GRANDEUR DE LA LARGEUR DES

RÉSO-NANCES. - La

largeur

AH,

est _{donnée par}

_(13).

Nous allons

_envisager

deux types d’atomes _pouvant être

pompés

optiquement

dans l’état fondamental : les alcalins et les

_{isotopes impairs}

de

_Hg

et Cd.

Dans les deux cas, on sait réaliser des cellules de

résonance

_permettant

d’obtenir des

_temps

de relaxa-tion z

_égaux

ou

supérieurs

à 1 s; pour les

alcalins,

en

utilisant des cellules recouvertes intérieurement d’un enduit

_paraffiné

_hydrogéné

ou deutéré

[8];

_pour

_Hg

et Zn des cellules en silice fondue

(en

chauffant les

parois

de la cellule on

_peut

dans ce dernier cas atteindre

des T de l’ordre de la minute

_[9]).

Notons enfin _que

la

_longueur

de ces

_temps

de relaxation

_permet

_d’opérer

en l’absence de gaz

tampon,

ce

qui

_{assure, par} suite

du va-et-vient

_rapide

des atomes entre les

_parois,

un _{moyennage par} le mouvement des

_{inhomogénéités}

statiques

du

_champ.

Pour

_Hg

et

_Cd,

le

_{paramagnétisme}

dans l’état fondamental est

_purement

nucléaire : on a

_Yl2n

N 1

kHz/gauss;

de sorte

_qu’en

_prenant i N 1 _s, on

obtient,

d’après

(13),

AHO

de l’ordre du

_milligauss.

Pour les

_alcalins,

le

_{paramagnétisme}

est

_{électronique,}

y est donc environ 1 000 fois

_plus

_grand,

et _par suite

AHO

1 000 fois

_{plus petit,}

c’est-à-dire de l’ordre du

microgauss.

On voit ainsi _que l’effet Hanle dans l’état fondamental

donne

des raies de résonance

extrême-ment fines.

Remarque.

- La formule

(13)

est

_également

valable

pour l’effet Hanle de l’état

excité;

y a le

même ordre

de

_grandeur

que pour l’état fondamental des

alcalins;

par contre, T doit alors être

_remplacé

_par la durée de vie radiative _TR de l’état

excité,

de l’ordre de 10-6

à 10-8 s, ce

qui

entraîne une

largeur

AH, beaucoup

plus

grande,

de l’ordre du gauss.

Dans le domaine de

_champ

où se

_produit

l’effet

Hanle de l’état

_fondamental,

on _peut donc

complè-tement

_négliger

la variation des

_signaux

_optiques

due

à l’effet Hanle de l’état excité. C’est ce _type

d’argument

qui

permet

de

_découpler

les

_équations

d’évolution des

magnétisations

des états fondamental et

_excité;

_qui

permet

aussi de considérer le

_cycle

_{de pompage}

_optique

(qui

dure un _temps

iR)

comme instantané vis-à-vis de T

et des

_périodes

de Larmor associées aux

_champs

très

faibles dans

_lesquels

se

produit

l’effet Hanle de l’état

fondamental.

C.

Pompage optique

transversal dans un

champ

magnétique

modulé en

_amplitude

_(résonances

para-métriques)

[4].

- 1. CONDITIONS

DE L’EXPÉRIENCE.

-Elles sont

_identiques

à celles de la

_figure

_3,

à ceci

près

qu’on

ajoute

maintenant au

_{champ statique}

_H.

un

champ

oscillant

Hl

cos _mt,

_parallèle

à

_Ho,

donc

à

_Oz,

ce

_qui

a _{pour effet de moduler} en

amplitude

le

_champ

_statique.

Notons tout de suite que l’on

prend

m ~

1/03C4.

En

que les

spins

ne _peuvent suivre

adiabatiquement (et

non d’une modulation lente destinée à fournir un

signal

modulé,

proportionnel,

si

_Hl

est suffisamment

petit,

à la dérivée du

_signal

étudié dans

_{le §}

B

pré-cédent).

Posons :

Les

_équations

d’évolution de

_Mx,

_My,

_Mz

sont

identiques

aux

_{équations (9)}

et

₍₁₀₎

à condition de

remplacer

03C90 par Cùo + 03C91 cos Cùt. Il vient :

1 -1

La

_présence

de cos cüt au deuxième membre de

_{(15 a)}

entraîne

_qu’il

faut maintenant chercher une

solution,

non _pas

_{stationnaire,}

mais

_forcée,

de

_{(15 a) :}

en

d’autres termes, oscillant aux diverses

_{harmoniques p03C9,}

de w.

2. CALCUL DE LA SOLUTION EN RÉGIME FORCÉ.

-La solution de

₍₁₅

_b)

est

_{toujours Mz}

= 0. On

peut récrire

_{l’équation}

donnant

d

_M

sous

la

forme :

La solution de

_{l’équation}

₍₁₆₎

sans second membre

s’écrit :

Reportons

maintenant

₍₁₇₎

dans

₍₁₆₎

en

considé-rant h comme une fonction de t

(méthode

de la

varia-tion des

_constantes).

Il vient

_{l’équation}

différentielle suivante

_{pour À :}

Pour

_{intégrer (18),}

on _{remarque que}

ei03C91 03C9 sin 03C9t

est

une fonction

_périodique

de t

(qui

intervient

_toujours

dans les

_problèmes

de modulation de

_fréquence)

et

dont on connaît le

_{développement}

en série de Fourier :

Dans cette

_expression,

_Jn

est la fonction de Bessel d’ordre n

_{lorsque n}

est un

entier >

0.

_{Lorsque n}

est

un entier

_négatif,

on a

_{posé :}

En _portant

₍₁₉₎

dans

_(18),

il vient :

(21) s’intègre

immédiatement _pour donner :

(dans (22),

on

_prend

la constante

_{d’intégration égale}

à

_0,

car cette constante

_reportée

dans

₍₁₇₎

donne une

contribution

_qui

_disparaît

au bout d’un _temps ’1", et

n’intervient _{donc pas dans} la solution

_forcée).

En uti-lisant

_(19),

on

_peut

récrire

₍₁₇₎

sous la forme :

En

_reportant

₍₂₃₎

dans

₍₂₂₎

et en

_{posant n}

_{- q} =

_p,

il vient finalement :

c’est-à-dire encore :

avec :

Comme,

d’après

(9), Mx

= Re M+,

My = Pm M+,

on en déduit les résultats suivants pour

Mx(t)

et

_My(t).

Mx

(t)

et

_My(t)

_(et

_par suite aussi le

_signal

_optiqueLA)

sont, en

régime

forcé,

des fonctions

périodiques

de t,

de

_{période 2n/w}

dont on

_peut

calculer à

partir

de

(25)

le

_{développement}

en série de Fourier. Au _moyen d’un

amplificateur

sélectif,

on

_peut

isoler dans le

signal

optique LA

la modulation à

_{l’harmonique}

_pw de cù

qui

dépend,

comme on le voit sur

_(25),

de

_Ap

et

_A-p.

On voit sur les dénominateurs de

₍₂₆₎

et

₍₂₇₎

_que

chaque

modulation

_pco

du

_signal

subit des variations résonnantes

_lorsqu’on

balaie le

_champ

autour des valeurs telles _{que (jjo +} nm = 0. Comme n est un

entier

_{positif négatif}

ou

nul,

on voit _que

_chaque

modu-lationp03C9

résonne pour coo =

0,

cüo === :f:: w, coo = ib 203C9... La

_largeur

de ces résonances est la même

_quel

_que

soit n, et vaut

_Acüo

=

2/03C4,

_{ou encore}

AHO

=

2/yr.

L’intensité de la résonance d’ordre n, détectée sur

l’harmonique

d’ordre _p, est entièrement calculable à

Bien _{que les résonances d’ordre n ~ 0 soient}

inté-ressantes et aient fait

_l’objet

d’études

détaillées,

nous

allons nous limiter dans ce

qui

suit à l’étude de la

résonance en

_champ

nul

(n

=

0).

3.

ÉTUDE

DE LA RÉSONANCE n = 0. - Au

voisinage

du

_champ

_nul,

_{03C9003C4 ~}

_1,

on

_peut

dans les sommes sur n

_{qui figurent}

dans

₍₂₆₎

et

_{(27) négliger}

la variation

avec _{co, des termes n =1= 0 par rapport} à celle du

terme n = 0. La

partie

intéressante de

_Ao

et

_{A:f:: p}

100

En _reportant

₍₂₈₎

et

₍₂₉₎

dans

_(25),

en utilisant

(20),

et _{le fait que}

_Mg

= Re

M+,

_on obtient le résultat

suivant _pour le _comportement de

_M.(t)

au

voisinage

du

_champ

nul.

Au voisinage de

Cùo =

0,

les diverses

modulations p03C9

contenues dans le mouvement de

_Mx(t)

résonnent.

Lorsque

p

est

_pair,

_{l’expression}

de la modulation

_pw

est la suivante :

La résonance a alors la forme d’une courbe

d’absorp-tion,

de

_largeur

_2/yr,

d’intensité

_M,’

cù

_/p

_{(03C91 03C9).}

Lorsque p

est

_impair,

on a _pour la modulation

_{p03C9 :}

La résonance a la forme d’une courbe de

dispersion

de

_largeur

_2/yT,

d’intensité

_{M§ Jo}

03C91 03C9

_Jv

(:1).

Pour

_My(t),

les conclusions sont

_inversées,

les formes

d’absorption

et de

_dispersion

étant

_{respectivement}

associées aux valeurs

impaires

et

_paires

de _p.

4. AVANTAGES DE CES RÉSONANCES PAR RAPPORT A CELLES ÉTUDIÉES

_{AU §}

B. - Les

résonances en

_champ

nul _que nous venons de décrire

_possèdent

des

pro-priétés

très intéressantes _que nous _passons maintenant en revue.

a)

Elles

_apparaissent

sur des modulations. On _peut

donc utiliser les

_techniques

_{d’amplification}

sélective

et de détection

_synchrone

et améliorer

considérable-ment le

_rapport

_signal

sur bruit.

b)

La résonance

_apparaît

« sur fond noir ». Dès _que

03C90 ~

1/03C4,

les modulations

_{disparaissent.}

Au

contraire,

dans

_{l’expérience}

décrite en

_B,

le

signal

continu sur

le PM existe

_toujours

_quel

_{que soit 03C90; il} ne fait

que varier autour _{de coo} = 0. Les dérives lentes de

l’intensité lumineuse sont donc

_beaucoup

moins

gê-nantes dans

_{l’expérience}

décrite ici.

c)

On

_pourrait

_songer dans

_{l’expérience}

décrite

en B à obtenir des

_signaux

modulés en modulant

len-tement le

_champ

_Ho

autour de

_chaque

valeur. Comme

03C4 ~ 1 _s, les

_fréquences

de modulation devraient être

inférieures à 1

_Hz,

ce

_qui

n’est pas une _gamme de

fréquence

commode _pour les détections

_synchrones.

Ici,

au

_contraire,

il

_s’agit

d’une modulation

_rapide

comme nous l’avons

_déjà

_souligné

_plus

haut : m »

_{1 JT.}

En

_fait,

on

_peut

travailler à

_{03C9/203C0 ~}

500

_Hz,

ce

_qui

est une _{gamme très} commode. De

_{plus, l’expérience}

montre _que le bruit des sources lumineuses est

_beaucoup

moins

_important

autour de 500 Hz

_qu’autour

de 1 Hz.

d)

Sur les modulations

_impaires,

la forme des résonances est celle d’une courbe de

_dispersion

pure.

Le

signal

est

_donc,

_{pour 03C9003C4 ~}

_1,

directement

propor-tionnel au

_champ

_statique

appliqué.

e)

La

_{radiofréquence}

_Hl

cos mt

_n’élargit

à aucun

niveau les raies. On a

_toujours

AHO = 2/03B303C4.

f)

Il est facile _{de voir que}

_7o

(03C91 03C9)

_7p

(03C91 03C9)

_présente

des maxima

_lorsqu’on

fait varier

03C91 03C9.

_Lorsqu’on

se

place

sur un

maximum,

le

signal

devient,

au

premier

ordre,

insensible à toute variation de 03C91 ou _w, c’est-à-dire de l’intensité et de la

_fréquence

du

_champ

Hl

cos cet.

5. EFFET D’UN DÉFAUT DE PARALLÉLISME ENTRE

_H0

ET

_H1.

- Nous

avons

_toujours

_supposé

_jusqu’à

pré-sent

_Ho

et

_Hl

cos mt

_parallèles.

Nous allons étudier maintenant les

_{conséquences}

d’un

_léger

défaut de

parallélisme.

Supposons Hl

cos mt

_{toujours aligné}

sur

Oz;

le

_champ

_statique

a une

_composante

_Ho

sur

_Oz,

et des _composantes

_’3Hx,

_03B4Hy

sur Ox et

_{Oy supposées}

très

_petites.

De

_façon

_plus

_précise,

nous _{posons :}

et nous _{supposons :}

On

_peut

récrire les

_équations

d’évolution de M en

tenant

_compte

de

_03B4Hx

et

_03B4Hy.

Nous avons vu

précé-demment comment calculer la solution exacte de ces

équations

lorsque 8wR

=

03B403C9y

= 0. On

peut

partir

de

cette solution exacte et

_chercher,

_{lorsque 03B403C9x}

et

_03B403C9y

sont différents de

0,

une solution des

_équations

sous

forme d’un

_{développement}

de

_{perturbations}

en

puis-sances de

03B403C9x. 03C4

et

_8o)y.T.

Le calcul ne

_présente

_pas

de difficultés considérables :

On trouve _pour la modulation 03C9

_{(p =1),}

à

_laquelle

on s’intéressera _par la

_suite,

le

_comportement

suivant au

_voisinage

du

_champ

nul :

Le

_premier

terme du crochet

_représente

la solution calculée

_plus

_{haut pour}

_03B403C9x

=

03B403C9y

= 0.

Les autres termes

_{représentent}

les corrections en

03B403C9x

i et

_{03B403C9y 03C4}

à l’ordre le

_plus

bas où elles interviennent. On voit que c’est au deuxième ordre seulement. La

résonance en

champ

nul est donc assez _{peu sensible} aux

_composantes

de

_{Ho perpendiculaires}

à

H1.

Il est intéressant de

_{développer (34)}

en

puissances

de 03C9003C4,

lorsque

la

_composante

sur Oz du

champ

statique

est

_également

très _{faible. On posera alors}

03C90 =

03B403C9z.

Au deuxième ordre inclus en

03B403C9z03C4, 03B403C9x03C4,

03B403C9y03C4,

il vient :

On voit ainsi

_qu’en

_champ

très faible la modulation

m

est, à

l’ordre 1,

proportionnelle

à

03B403C9z

et insensible

à

_03B403C9x

et

_8wy.

Si l’on réalise volontairement une valeur non

négli-geable

de

_{(03B403C9x.03C4),}

le

_signal

devient sensible au

premier

ordre à

_03B403C9y

et

_{réciproquement.}

Cette

propriété

est très

utile,

comme on le verra dans la

prochaine

communi-cation,

pour compenser les trois

composantes

d’un

En

_conclusion,

nous _{voyons que} le _pompage

optique

transversal d’une vapeur

atomique

dans un

_champ

statique

ou modulé en

amplitude

_permet

d’obtenir

des résonances extrêmement fines centrées autour de

la valeur 0 du

_champ.

Nous avons étudié en détail

les

_propriétés

et les

_{caractéristiques}

de ces résonances.

Leur

_application

à la détection ou la mesure de

champs

très faibles est décrite dans la communication suivante.

BIBLIOGRAPHIE

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Pour une

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des résonances de

croise-ments de niveaux en termes d’interférences entre

deux

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de diffusion, voir aussi

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_Physics,

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[3]

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_{COHEN-TANNOUDJI (C.),}

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voir aussi FAVRE

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[5]

Voir _par

_exemple

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_Optics,

vol. _V, «

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et KASTLER

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1966.

[6] COHEN-TANNOUDJI (C.),

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Phys., 1962, 7, 423 et 469.

[7]

Voir _par

_exemple

ABRAGAM

_(A.),

« The

_principles

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nuclear

_magnetism

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_University

Press,

1961.

[8]

BOUCHIAT

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et BROSSEL

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Phys. Rev., 1966,

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[9]

CAGNAC

_(B.)

et LEMEIGNAN

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C. R. Acad. Sci.