Sur la focalisation des faisceaux de particules chargées par déviation circulaire en champ magnétique transversal

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Sur la focalisation des faisceaux de particules chargées

par déviation circulaire en champ magnétique

transversal

Louis Cartan

To cite this version:

SUR LA FOCALISATION DES FAISCEAUX DE PARTICULES

_CHARGÉES

PAR

DÉVIATION

CIRCULAIRE EN CHAMP

_MAGNÉTIQUE

TRANSVERSAL

Par M. Louis CARTAN. Laboratoire de

_Physique

des _rayons X.

Sommaire. 2014 L’analyse de faisceaux _{corpusculaires} en _{champ magnétique} transversal _{nécessite, quand} les intensités sont faibles, une focalisation sur le _{système récepteur} des rayons divergents émis par la

source. Les conditions de cette focalisation sont étudiées d’un point de vue purement géométrique. Il est donné une construction de _l’image d’un _{objet pour la forme la plus générale} du domaine de _champ. On constate que le lieu des images correspondant aux diverses masses ou énergies séparées par le champ ne se réduit à une droite que dans certains cas particuliers. En spectrographie de masse on doit en outre foca-liser les rayons d’énergies voisines, isolés au _{préalable par} un _{champ électrique cylindrique.} Le lieu de ces

autres images est lui aussi compliqué et ne coupe généralement le premier qu’en un seul _{point pour lequel} il y a double focalisation.

Dans la seconde _partie du travail on calcule de _façon très générale la _position du point d’impact d’un

rayon sur la plaque photographique pour des valeurs quelconques de toutes les données et avec la seule condition _{que les} limites du champ soient rectilignes (ou parfois circulaires). La formule trouvée permet

en _développant en série _jusqu’au second ordre 2014 ce _qui est _légitime 2014 de

répondre aux _questions

sui-vantes que pose toute recherche de précision :

1° suivant _quelle orientation doit être placée la _plaque pour être tangente à l’un ou à l’autre des deux lieux au point optimum; quelle forme de champ rend de plus les deux lieux tangents l’un à l’autre;

2° dans _quelles conditions l’échelle _spectrale est linéaire;

3° dans _quelles conditions la _dispersion est maxima, l’une et l’autre focalisation aussi parfaites que

possible au point central du _spectre, etc.

Plusieurs types d’appareils sont proposés; ils présentent divers avantages sur les _arrangements

connus, dont le plus simple est la déviation à 180°, et ce _{aussi bien pour l’étude des énergies} que pour celle des masses.

L’analyse

spectrale

d’un faisceau de

_particules

char-gées

s’obtient très

_{généralement}

en faisant

_agir

sur le

faisceau un

_champ

_{magnétique perpendiculaire}

à sa

direction moyenne. Les

corpuscules

se

_déplacent

dans l’entrefer de l’électroaimant

_{parallèlement}

aux faces terminales des

_pôles

et décrivent t des cercles dont le rayon p est fonction de leur masse 111, de leur

charge

e

et de leur vitesse v

_(ou

de leur

_énergie

e

_Y)

ainsi que

de

la

grandeur

Ce du

_{champ magnétique.}

La formule bien connue

exprime

cette relation. Elle traduit la

_possibilité

de

séparer

soit les

_composantes

de vitesse

_(ou

_{d’énergie)}

d’un

_{rayonnement homogène}

en masse

_{(ou plutôt}

homogène

par le

rapport

de la masse à la

_charge),

soit les

_composantes

de masse

_(ou

_plutôt

de

_rapport

_m,’e)

d’un

_{rayonnement homocinétique.}

On étudie ainsi les

spectres

de masse des atomes comme les

_spectres

d’énergie

des

_produits

d’émission des éléments radio-actifs naturels ou artificiels : électrons

protons/parti-cules a,

rayons y

(par

leurs électrons

secondaires),

etc.

Insuffisance de la méthode de déviation à 1801.

-

L’arrangement

pratique

le

_plus

anciennement utilisé

et le

_{plus employé aujourd’hui}

encore est celui

_qui

fait subir aux

_corpuscules

une rotation de 180° à l’intérieur

de l’électroaimant

_(fig.

1). Son

_avantage

est de

concen-trer sur la

_{plaque photographique,}

en une raie

_étroite,

tous _{les rayons}

_compris

au

_départ

dans un

_angle

solide

assez

ouvert,

c’est-à-dire de réaliser une véritable

Fig. 1. - Déviation à 180°.

focalisation en donnant de la fente

_qui

limite le

fais-ceau à l’entrée du

_champ

une

_image

_qui

_{n’est pas}

sen-siblement

_élargie

_{par l’effet de}

div ergence .

De

_façon

plus précise,

soit A un

_point

de la fente

objet

qui

émet des

_{rayons à}

l’intérieur de

_l’angle

solide

d’ouver-ture 2 ic;

le rayon moyen issu de A s’enroule selon un

demi-cercle de centre 0 et de _{rayon p} et vient

_frapper

la

_plaque

au

_{point B}

tel que

454

Le rayon extrême décrit lui aussi un _{cercle de rayon}

mais de centre

_0,

et rencontre la

_plaque

au

_point

_Bi,

tel que

Si

_l’angle

x,

exprimé

en

_radian,

est

_petit

vis-à-vis de

1, Bi

se trouve très voisine de B car

aux termes d’ordre

_{supérieur près.}

C’est l’absence de termes en a dans

_{l’expression}

de

la

_largeur

de raie

BB,

qui

est

_{caractéristique}

de la focalisation en direction. Aucun autre

_angle

de rotation ne réaliserait cette focalisation. Le

_simple

dessin de la

fige

1 rend ce résultat intuitif. On

_peut

l’assurer en

observant que si B’ était un

_point

du _{cercle moyen} pour

lequel

la focalisation fût

_possible,

tous les autres cercles _{devraient passer par}

B’,

à un terme du second ordre

_près

_(terme

en

_pal),

c’est-à-dire que le lieu de

leurs centres devrait

_{s’identifier,}

au second ordre

_près,

avec le

_petit

arc de cercle C’ de centre

B’,

de

longueur

2p a,

passant par

0. Mais le lieu de ces centres se confond

par ailleurs avec l’arc de cercle C de centre

A,

de

même

_longueur,

_passant

_{par le même}

_point

0. Pour que les deux arcs, dont la

_longueur

est du

_premier

ordre,

soient confondus en tous leurs

_points

au second ordre

_près,

il faut

_qu’ils

soient

_tangents,

ce

_qui

impose

bien

_{l’alignement}

de A et B avec 0.

Mais le

_dispositif

de focalisation à 180,

_présente

quelques

inconvénients :

11 Pour enfermer la

_trajectoire

circulaire à l’inté-rieur du

_champ

_magnétique

sur toute la

_largeur

de son

diamètre,

il faut

_disposer

d’électro-aimants volumineux dès

_qu’on

a affaire à des

_particules

un _{peu lourdes c t}

rapides.

Numériquement,

si Je est

_exprimé

en _gauss,

p en cm, la tension d’accélération V des

particules

en

kilovolts et leur masse m dans l’échelle

_qui

a _pour

masse-unité la masse du

_proton,

la formule

₍₁₎

s’écrit

C’est aux ultimes ressources des

_techniques

magné-tiques

qu’il

faut faire

_appel

_pour

_agir,

dans ces

condi-tions,

sur des ions lourds de

_quelques

dizaines de kilo-volts.

2° Il est incommode d’être

_obligé

de

_{placer objet}

et

image

à la limite du

_champ.

L’influence du

_champ

de fuite est souvent nuisible au bon fonctionnement des

dispositifs

de

_production

et de

_réception

des

_particules,

notamment dans le cas où la

_réception

se _{fait par} une

méthode

_électrique.

31 Les mesures

_spectrales

de haute

_{précision exigent}

que la distance des raies sur la

_plaque

soit une fonction

linéaire du

_paramètre

étudié. C’est bien le cas,

d’après

la relation

_(1),

_quand

on étudie le

_spectre

de vitesse

d’une radiation de masse

_homogène;

ce serait aussi le

cas d’une étude de masse faite sur un

_rayonnement

homocinétique (premier

appareil

de

_{Bainbridge) ;}

ce

n’est

_plus

le cas

_quand

toutes les

particules

du faisceau

ont la même

_énergze

car la _{distance AB = 2 p devient}

proportionnelle

à

Pourtant les

_{spectrographistes}

de masse

_préfèrent

aujourd’hui

les filtres

_d’énergie

aux filtres de vitesse. Ils s’attachent même à

_réaliser,

en

_plus

de la

focalisa-tion en

_direction,

une focalisation des

_énergies

voisines,

de manière à ne _pas

_{trop perdre}

en intensité au cours

de la

filtration ;

or, comme nous le

_soulignerons

_plus

loin,

le

_dispositif

de déviation

_magnétique

à 180° se

prête

fort mal à cette double focalisation.

C’est à la recherche

_{d’arrangements}

de

_{champ plus}

favorables à tous ces

_points

de vue _{que cette étude} est

consacrée. On s’efforcera en outre d’obtenir des valeurs aussi

_grandes

_que

_possible

du

_{pouvoir séparateur,}

soit

en

_augmentant

la

_dispersion,

soit en réduisant la

lar-geur des raies.

I.

Considérations

_{géométriques.}

1. Focalisation des

_{angles; position}

des

_images.

- Dans

l’arrangement

le

_{plus général, objet}

comme

image

se trouvent en dehors du

_champ

et celui-ci

_règne

dans un domaine dont la forme doit être

_quelconque.

C’est dans le

_plan

de la

_trajectoire

_centrale,

perpendi-culaire au

_{champ magnétique, qu’on}

étudie le

mouve-ment. Le domaine où

_règne

le

_{champ homogène}

est

déterminé dans ce

_plan

_{par la}

_projection

du contour

Fit:. 2.

des faces terminales des

_pôles.

_{Il n’est pas nécessaire} de

_préciser

la forme de ce domaine

_quand

on se borne à chercher

_l’image

B d’un

_objet

A pour une

_trajectoire

moyenne

particulière.

Il suffit de connaître les

tan-gentes

au contour du domaine _{pour les}

_points

d’entrée et de sortie de la

_trajectoire.

Soit H le

_point

où la

_particule

pénètre

dans le

_{champ (on}

_{supposera pour} l’instant le

champ

de fuite

_{négligeable,}

_quitte

à

_préciser

_{par la} suite les corrections

qu’une

telle

_{simplification eu traîne),}

p le rayon de courbure à l’intérieur du

champ,

K le

point

de sortie au delà

_duquel

la

_trajectoire

est à nou-veau

_rectiligne

_{(fig. 2) ;}

_{pour connaître l’itinéraire}

exac-d’une

_particule

émise sous le

_petit

_{angle x}

par

rapport

à la

première,

il est certes nécessaire de savoir

exacte-, ment en

quels points

Hi

et

Kt

se limite le cercle décrit

, _{par elle à l’intérieur du}

champ ;

mais pour connaître

; seulement la

position

de

l’image

B, qui

n’est déterminée

position

de Hj et de Ki

jusqu’à

cet ordre; toutes les

courbes

_tangentes

aux deux mêmes directions d’entrée et de sortie Hx et

_li~

sont

_{équivalentes}

au

_point

de vue

de la recherche des

_foyers.

Elles ne le seraient

_plus

naturellement si l’on

_portait

attention à la

_largeur

d’image

qui

est _{déterminée par le coefficient du terme}

en CI. 2 .

Cette observation est à la base des calculs de Richard

Herzog

(1), qui

a

_déjà

donné les formules reliant

_l’objet

A à

_l’image

_{B pour des}

_positions

_quelconques

de H et de K et des orientations

_quelconques

des

_tangentes

H~

_{et Ky.}

Notre but est de trouver une confirmation des formules de cet auteur _{par des raisonnements}

pure-ment

_{géométriques.}

Des constructions

_graphiques

s’en

déduiront,

confirmant

aussi,

pour un cas

_particulier,

un résultat

_{indépendamment}

obtenu par Barber

(2).

Si Ha et

_Ky

sont

_{perpendiculaires respectivement}

aux _{rayons d’entrée} et de sortie AH et

_BK,

le raisonne-ment n’est

_{qu’une généralisation}

de celui

_qui

a été donné pour le cas de

1800,

où A et B sont à la limite du

champ.

On

_peut,

sans restreindre la

_{généralité}

des

hypothèses, imaginer

que les faces d’entrée et de sortie

sont _{limitées par des cereles centrés} sur A et B

respec-tivement,

donc

_tangents

à 11x et

_Ky

comme il est néces-satire et suffisant

_{(fig. 2).}

Les

tangentes

menées de A

.aux cercles

_HK,

Hl

Ki ,

etc.,

sont alors toutes de même

longueur

et comme ces _{cercles ont le même rayon p, le}

lieu de leur centre est un

_petit

arc de cercle centré sur A et

_passant

_{par le centre 0 du cercle moyen}

_{HK, qui}

se

trouve être en même

temps

l’intersection de Hx avec

Ky.

Le lieu des mêmes centres doit être, de

façon

ana-logue,

un

_petit

arc de cercle

_passant

_{par 0} et centré

sur B. Pour que les deux arcs de cercle

_coïncident,

au

second ordre

_près,

il faut

_qu’ils

soient

_tangents,

ce

_qui

impose

l’alignement

de A et B avec 0.

Fig. 3.

Nous supposons maintenant

Ky

quelconque

faisant

avec la normale à la

_trajectoire

moyenne

l’angle ~" (fig.3).

Hx, lui,

reste normal à AH. Le lieu des centres est

encore l’arc de cercle centré sur A et

_passant

_{par le} centre _{0 du cercle moyen, distinct} cette fois de l’inter-section S de Hx avec

_Ky.

Pour courbe de sortie du

champ

magnétique

on choisit cette fois le cercle

_qui

a

(1) R. AEHZOG. Z. _Pfiysik. 1934, 89, p. 447; les calculs de cet

auteur sont effectués dans le cas où champ électrique et _champ

magnétiques sont superposés.

(?) N. ~’. BARBER. Proc. Leeds Phil. _{Soc., 1932, 2, p.} 427.

pour centre l’intersection

BI

de la droite AO avec la nor-male à

_Iiy

en K.

B, est,

au second ordre

près,

à

_égale

dis-tance des centres

_{0, Oi,}

_etc.,

de tous les

_cercles;

ceux-ci

ont le même _{rayon ; les}

_segments

BI

K,

Bi

Kil,

etc., sont tous

_égaux.

_{C’est dire que} ces

_{segments coupent}

sous le même

_angle

leur cercle

_respectif,

en

loi,

etc., cet

_angle

n’est autre _{que 2".} Il reste à

_répondre

à la

question

suivante : par une série de

_{points voisins,}

Fig. 4. -- Construction de l’image B d’un objet A

dans le cas _général.

K,

Ki,

etc.,

d’un arc de cercle de centre

B,,

on mène les demi-droites

_qui

font avec _{les rayons}

_l’angle

où se rencontrent-elles? Si B est leur

_point

de

rencontre,

la construction des

_triangles

BB1I{

et

_BB,K,

montre _que

le sinus de

_l’angle

en B doit être

_constant,

ce

_qui

est

vérifié,

au second ordre

_{près, quand}

_BiB

est

perpendi-culaire à la

_trajectoire

_{moyenne KB.}

La

_{généralisation}

au cas où la face d’entrée H~ est elle aussi

_oblique

sur _{le rayon incident est} immédiate. Voici donc comment se construit

_l’image

B d’un

_point

objet

A dans le cas le

_{plus général}

_{(fig. 4).}

Par A on

élève la

_{perpendiculaire}

sur la direction moyenne du faisceau : elle coupe en

_Ai

la normale à la face d’entrée

au

_point

d’incidence H. On

_{joint Ai}

au centre 0 du cercle moyen décrit dans le

champ.

La droite

A,O

coupe en

Bt

la normale à la face de sortie au

_point

K.

_L’image

B

est le

_pied

de la

_{perpendiculaire}

abaissée de

B,

sur le rayon

émergent

central. Il est à noter

_qu’on

_peut,

tout

comme en

_optique

_lumineuse,

introduire la notion

d’objet

et

_d’image

_{virtuels pour rendre}

_compte

des cas

où le faisceau incident serait

_convergent

ou le faisceau

émergent

divergent.

Ni les raisonnements ni les

cons-tructions

_{précédentes}

ne sont à modifier. La

_{figure 5}

représente

ainsi la construction de

_l’image

virtuelle d’un

objet

virtuel

_(quand

la, face

_{d’émergence}

est

_oblique)

avec focalisation effective des _rayons à l’intérieur du

champ magnétique.

La formation de ces

_objets

ou

_images

virtuels a dès à

_présent

un intérêt

_pratique

en

spectro-graphie

de masse.

Condition

_{d’alignement}

des

_images.

-

Pour

con-naître le lieu des

_{images correspondant}

à toutes les

trajectoires moyennes, c’est-à dire

à toutes les masses

Fig. 5. -

Objet et _image virtuels.

sortie. Il est

_pratiquement

_impossible,

non seulement

d’envisager

tous les cas

_possibles,

mais même de

formuler des résultats

_simples

_{pour les limites de}

pôles

le

_plus

aisément réalisables : a droite ou cercle. Très

_{généralement}

le lieu des

_images

est une courbe de forme

_{compliquée qui}

ne se réduit à une droite que

dans des cas tout à fait

_{exceptionnels.}

Pourtant il

importerait

que ce lieu fût une droite afin

_qu’on

_puisse

appliquer

sur lui la

_{plaque photographique}

et recevoir de bonnes

_images

tout le

_long

du

_spectre.

Fig. 6. -

Images à la sortie du champ (objet à distance _finie),

Il est un cas où l’on

_{peut voir,}

sans calcul aucun, à

quelle

condition le lieu des

_images

est

_{rectiligne :}

c’est

quand

ces

_images

sont toutes à la limite du

champ.

Leur construction à

_partir

de la source A ou de sun

point

dérivé

A1

est alors

_{simplifiée :}

les trois

_points

_B,

Bi

et K sont confondus. Les

_images

se construisent en

joignant

successivement

Ai

à tous les

_points

0 d’une droite D

_(fig.

₆₎

et

_{prolongeant chaque}

fois

A10

d’une

longueur p

égale

à la distance de 0 au

_point

fixe H de

la même droite.

_L’angle

OIIB n’est constant et le lieu

rectiligne

que dans deux éventualités :

J est confondu avec

H;

le lieu est la droite D

elle-mêine j

c’est le cas de la rotation à 1801.

2°

_{est rejeté}

à

l’infini,

toutes les droites

AIO

sont

parallèles

à une direction commune

_{(fig. 7);}

le lieu des

images

est confondu avec la droite

_qui

passe par le

point

7 5

d’incidence H et fait avec D

_{l’angle "2}

_{1 ’ ?}

étant le

même pour tous _{les rayons} et

_égal

_n à 2 -

2

’. a

ne

_peut

être infiniment

_éloigné

_{que si l’incidence} est

_rasante,

cas limite

_pratiquement

exclu et d’ailleurs

_complexe

en

théorie même en raison de l’in terven 1 ion

prépondé-rante du

_champ

de

fuite ;

ou bien si ia source est

_rejetée

à

l’infini,

ce

_qui

est le cas dans

_lequel

s’est

_placé

Mattauch en réalisant son .dernier

_{spectrographe}

de

masse (~).

Les calculs effectués

_{par iui,}

en collaboration

avec

_Herzog

₍₄₎

sur la base des résultats de ce dernier auteur

_(~),

le conduisent bien aux relations

géomé-triques

que nous venons de retrouver.

Fig. 7. -

Images à la sortie du champ (objet à l’infini)

2. Focalisation des

_énergies;

double focali-sation. - Dans les recherches de

spectrographie

de

masse,

l’emploi

du seul

champ

magnétique

nécessite-rait une radiation strictement

_homogène

soit en

_vitesse,

soit en

_énergie.

Ce n’est

_jamais

le cas des faisceaux d’ions

_positifs

usuels

_qui

s’étalent sur un

_spectre

éner-gétique plus

ou moins

_large.

Il faut intercaler entre la

source et le

_champ

_magnétique

_analyseur

un

arrange-ment de

_champ

_qui

_{fasse office de filtre soit pour les}

vitesses,

soit pour les

énergies,

en _{laissant passer} toutes

les masses. Les filtres de

_vitesse,

_{tels que} ceux de

Bain-bridge (") ou

de

_Çmythe(fi)

sont

_{aujourd’hui abandonnés.}

Les filtres

_d’énergie

sont essentiellement constitués de

deux

_plateaux

_cylindriques

à section

circulaire,

de rayons très

voisins,

entre

_{lesquels règne}

un

_champ

élec-trostatique.

On fait traverser ce

_champ

aux _{rayons issus}

de la source. Les ions d’une

_énergie

_moyenne,

_{qui dépend}

naturellement du

_{potentiel appliqué,}

sont déviés selon le rayon central à

égale

distance des deux

_plateaux,

et cela

_{indépendamment}

de toute

_question

de masse. Les ions des

_énergies

_supérieures

ou inférieures sont

_rejetés

vers le

_plateau

extérieur ou vers le

_plateau

intérieur et

un

_diaphragme

étroit S isole à la sortie une radiation

d’énergie

pratiquement homogène.

La

_précieuse

_{particularité}

de ces

_champs

est de foca-liser les faisceaux

_divergents

tout comme le

_champ

magnétique.

Dès

_{i9~9, Hugues}

et

_Rojansky

ont

mon-tré (7 )

qu’un

point

A situé à l’entrée du

_champ

a _pour

image

à la sortie le

_point

B si

_l’angle

de

_{rotation te}

à l’ in-(3) J. 31,KTTACCII. _Phys. Rev., 1936, 50, p. 611.

(4) J. 3IATTACCH et R. HERZ4G. Z. _{Physik, 1934, $9, p.} 786.

{5) 1i. T. BAiNBR.DGE. Journal Froîik. Inst., 1931, 212, p. 311.

(b) w. R. SMYiHE. Rer., 1916, 28, p. 1215.

457

térieur clu

_champ

est

_égal

à

7t/V2 (127°17/) :

c’est

l’ana-logue

du

_{dispositif magnétique}

à 180". Il résulte des calculs de

_Herzog

que là aussi

objet

et

_{image peuvent}

être

_éloignés

du

_champ.

La construction de

_l’image

se

fait comme sur la

_{figure 4}

avec _{la remarque que les}

limites du

_chaii-ip

sont

_toujours

normales à la

_trajec-.

toire et _{la restriction que}

_l’angle

_p et _{le rayon ? de la}

figure

doivent être

_multipliés

_{respectivement}

_par

et

V2

_{pour donner les valeurs réelles c~e et p,}

satisfai-mantes;

les distances au

_{champ, l’}

et

_1",

de

_l’objetet

de

l’image

sont,

elles, représentées

en vraie

_grandeur

Fig. 8. - Construction de l’image donnée par _un

champ électrostatique cylindrique.

(fig. 8). L’image

de la source fournie _par le

_champ

élec-trique

sert

_d’objet

_{pour le}

_{champ magnétique.}

Elle

_peut

être virtuelle au

_regard

de l’un comme de l’autre des

champs.

La seule condition

_imposée

_{est que}

_l’image

magnétique

définitive soit réelle.

_Cependant

_{il y} a inté-rêt à ce _que

_{l’image-objet}

intermédiaire soit double-tuent

_réelle,

_{c’e;t-à-dire à ce que le faisceau converge}

entre les deux

_champs

en un nceucl

_pratiquement

acces-sible. En

_plaçant

le

_{diaphragme S}

à hauteur de ce

noeucl et en en réduisant la

_largeur

_pour

_parfaire

la fil-tration des

_énergies,

on ne

_risque

_{pas de diminuer} en

même

_temps

l’ouverture utile du

_faisceau,

ce

_qui

se

produirait

inévi tablement dans tout autre

_arrangement.

On

_règle

en toute

_{indépendance}

l’ouverture

_{de l’angle}

solide admis et la

_largeur

de la bande

_{d’énergie.}

Il est _{vrai que}

_{l’étranglement}

des

_angles

dû au

dia-phragme

S ne _{serait pas très sévère.} On cherche en

effet à admettre une bande

_d’énergie

aussi

_large

quP

possible

pour ne _pas

_{trop perdre}

en

_intensité,

mais

on est

_obligé

alors de focaliser les

_énergies

comme on

focalise les

_angles.

L’étude des conditions de cette

nou-veille focalisation relève de considérations

géomé-triques

analogues

à celles que nous avons

_{développées}

dans les

_{lignes qui}

_précèdent.

Tout comme l’on

compa-rait les

_trajectoires

de

_{particules divergentes}

mais

cl’énergie

fixe,

on _compare cette fois les

_trajectoires

de

particules hétérogènes

émises dans la même direction. Au sortir du

_{champ électrique}

l’inclinaison et le

déca-lage qu’elles

ont _{subis par}

_rapport

à la

_trajectoire

moyenne

sont,

au second ordre

_près,

_{proportionnels}

tous deux à l’écart relatif en

_énergie,

~. A cette

approxi-mation toutes les

_particules

_paraissent

issues d’un même

_point

_qui

est

_{l’image énergétique}

virtuelle C donnée par le

champ électrique.

C sert

_d’objet

_{pour le}

champ

magnétique

et il

_s’agit

bien encore de trouver

le

_point

de rencontre des rayons

divergentes

issus d’une

source

_ponctuelle,

_après

traversée du

_champ,

mais étant entendu cette fois

_{qu’à chaque}

direction

corres-Fig. 9.

pond

un _{rayon de courbure}

_particulier

dont l’écart relatif par

rapport

au _{rayon de courbure}

est

_indépendant

de la masse des

_particules.

Il n’est pas aisé de donner à ce

_{problème plus}

_complexe

une

solu-tion

_{géométrique générale.}

Ce

_qu’on

_peut

dire c’est que le lieu des

_{images correspondant}

à toutes les masses

est une courbe de forme

_compliquée.

Fig. 10. - Focalisalio,-i des

énergies dans le _{spectrographe} de Mattauch.

Pour réaliser simultanément la focalisation

des-angles

et celle des

_énergies,

on est amené à rechercher les

_points

de rencontre des deux lieux

_{d’images (fig. 9).}

Généralement ces lieux se

_coupent

en un seul

_{poïnt :}

la double focalisation n’est réalisée que pour une seule masse. Dans des cas

_{exceptionnels}

ils ne se rencontrent pas ou sont confondus : cette dernière éventualité est

foca-458

lisation

sur toute l’étendue du

_spectre.

Ainsi on

_peut

vérifier par de

_simples

raisonnements

_{géométriques}

que le

_{spectrographe}

de Mattauch

_permet

de faire coïncider les deux

_{lieux, qu’on}

_{sait par ailleurs ètre}

_rectilignes.

Reprenant

le schéma de la

_figure

_7,

en _{y faisant}

_figurer

cette fois

_{(fig. 10)}

la source fictive C

_qui

émet des rayons dont

chaque

direction est caractérisée par une

_énergie,

il faut rechercher le

_point

de rencontre K de ces _rayons

pour chacune des masses contenues dans le faisceau. Si la double _{focalisation est réalisée pour l’une d’entre}

elles,

le

_point

K

_{correspondant}

est sur la droite HK et est aussi le

_point

_{de convergence de rayons}

_parallèles

de même

_énergie,

de sorte

_{qu’on peut transporter}

en H

l’origine

de tous les _{rayons incidents.} Le centre

01

du cercle décrit par les

particules

d’incidence a doit se

trouver sur la bissectrice de HOK. Le

_rapport

des rayons de courbure Pi et p vaut alors

(triangle

H001)

Ainsi il est

_imposé

une relation entre a et

_qui

est

indépendante

de p. Si la forme du

champ électrique

permet

de vérifier cette

rela tion,

il y a focalisation _pour toutes les masses.

_Sinon,

la double focalisation n’est

possible

pour aucune. Pour

_préciser,

il ressort des cal-culs de

_Herzog

_que

_l’angle

x sous

_lequel

sort du

_champ

électrique

la

_{particule d’énergie E (1}

₊

₀₎

et de direc-tion initiale 2 = 0 vaut dans tous les cas

La

_comparaison

des relations

₍₂₎

et

_{(3) impose}

ce

_qui

est bien la formule de Mattauch et

_Herzog

_(1).

Il est à remarquer que la

position

de la source fictive C

ne

_joue

aucun rôle dans le raisonnement : la distance des deux

_champs

est arbitraire.

Fig. 11. - Focalisation des

énergies par déviation à

180-(pour une seule _masse).

Mais cette double focalisation totale est

exception-nelle et le cas le

_plus

général

est bien

_représenté

_par

ce

_qui

se _{passe dans le}

_dispositif

à

t80°,

_adopté

_par

Dempster

(8) (fig.

i i).

Au

_voisinage

de A

_parvient

une

(b) A. J. DEmPSTrR. _{Phys. Rev., 193 î, 51,} p. f’1.

assemblée de rayons

d’énergies

diverses

et,

comme

toujours

quand

on se

_place

dans le

_plan

de

l’image-objet

intermédiaire entre les deux

_champs

c’est le

déca-lage

AA- s

_qui

seul est

_{caractéristique}

de

_{l’énergie.}

Le

_champ

_électrique

_impose

donc une relation entre ~ et

_{ô. L’angle}

d’incidence des

_particules

est sans

impor-tance

_puisque

le

_{champ magnétique}

doit réaliser la focalisation des

_{angles ;}

on

_peut

le supposer nul. Pour

que les deux cercles normaux issus de A et A’ se

cou-pent

en un

_point

B

_aligné

avec

_AO,

il faut que leurs

Õ

rayons de

courbure,

dont le

_rapport

est 1

+

_2’

diffé-s

rent

de S

ce

_qui

_impose

Pour

_chaque

forme de

_{champ électrique,}

fixant la

va-leur de

_{s; ~,}

un _{seul rayon p et} une seule masse véri-fient la condition de double focalisation. De

_plus,

ainsi que nous le verrons

_plus

_loin,

le lieu des

_points

de focalisation en

_énergie

est

_{perpendiculaire}

à AOB en B

de sorte _{que les}

_propriétés

de double focalisation sont

trés

_rapidement

détruites

_quand

on

_s’éloigne

du

_point

optimum

B. C’est une des

_{particularités}

défavorables de cet

_arrangement.

Objet

et validité du calcul. - Le

spectrographe

de

_Mattauch,

comme celui de

_Dempster,

laisse la

_plaque

à la limite du

_champ,

ou

_plutôt

à son _{intérieur pour}

éviter les

_{perturbations}

does au

_champ

de fuite. Tous deux ont une échelle de masse non linéaire mais

_{proportionnelle}

à car la distance d’une raie au

_point

Il est

_{proportionnelle}

_{à p,} et c’est là un

résul-tat commun à tous les

_dispositifs

_pour

_lesquels

ta

plaque

passe par le

point

d’incidence. Il est très dési-rable de trouver un

_arrangement

_qui

vérifie

simultané-ment les conditions de linéarité et de double

focalisa-tion,

sinon pour toute l’étendue du

_spectre,

du moins pour une

_région

_{aussi étendue que}

_possible

autour d’un

_{point optimum.}

Dans les mesures de

_précision,

pour

lesquelles

seules de tels

_problèmes

se

_posent,

c’est bien à une

_région

étroite de la

_plaque

que se limi-tent les observations

_{puisqu’on emploie}

la méthode des doublets et que les doublets les

plus

larges

corres-pondent

à une variation relative de masse de i/100.

Il faut donc rechercher pour

quelles

formes de

_champ

magnétique

et _pour

_quelles

_positions

de

_l’objet

les deux lieux de focalisation sont

_tangents

en leur

_point

de rencontre,

placer

la

_plaque

le

_long

de la

_tangente

commune et

_imposer

en outre la condition de linéarité. C’est un

_problème

de termes du second ordre. On

calculera d’abord en

_quel

_point

exact de la

_plaque

tombe un _rayon

_quelconque

de masse

_{quelconque, puis}

on déduira de cette formule

_générale

une

_expression

de la distance du

_{point d’impact}

au

_point

central du

spectre

dans le cas _{où le rayon} a toutes ses

moyen : si a, y et Õ sont les

quantités

numériques,

faibles,

qui expriment

l’écart du rayon étudié par

rap-port

au _{rayon moyen.,} en

_orientation,

en masse et en

énergie,

les conditions

_imposées

au

_champ

_magnétique

s’exprimeront

en annulant les termes en _ay,

On

_dispose

même en

_principe

d’un nombre suffisant de

_paramètres

_{pour annuler aussi les autres} termes en

1. 2,

é2 et

_qui

traduisent la

_perfection

_respective

des deux focalisations et la contribution à la

_largeur

de raie des rayons dont les deux

paramètres

a et 8 sont simultanément différents de zéro. Mais ces termes

dépendent

du

_{champ électrique}

_pour

_lequel

les calculs sont infiniment

_{plus complexes}

car la

_trajectoire

géné-rale est solution de

_{l’équation}

différentielle

qui

n’est

_intégrable

_{que par}

_{approximations}

succes-sives et

_{l’approximation}

_{du second ordre n’a pas été}

encore calculée. Dans le cas

_particulier

de la déviation à 1270

_cependant,

les termes en 12 et 82 ont été donnés par

Hugues

et

Rojansky (7); application

en est faite ci-dessous. Pour les

_analyses

_spectrales

_d’énergie

où toutes les

_particules

ont la même masse, le

problème

est

_simplifié.

Les seuls termes

_qui

subsistent sont

pré-cisément les termes en

_{a2, 02}

et On cherchera à leur donner leur valeur

minima,

ce

_qui

_assurera, en

_plus

de la linéarité de

l’échelle,

une focalisation étendue et aussi

_parfaite

_que

_possible.

_{Enfin les termes du} pre-mier ordre

_permettront

de retrouver les résultats de

Herzog

sur le

_pouvoir

_séparateur,

fonction de la

disper-sion et de la

_largeur

de source.

Avant

_{d’entreprendre}

ce

_calcul,

il est bon d’en assu-rer la

_{légitimité.}

Il repose sur une

_hypothèse

théo-rique

évidemment inexacte : le

_{champ magnétique}

ne

passe pas

brusquement

d’une valeur nulle à la valeur Je

qu’il possède

dans la

_{région d’homogénéité.}

Dans la

partie

du

_plan

où se

_projettent

les bords des

_pièces

polaires,

il y a transition continue entre ces deux

va-leurs _{et passage continu du mouvement}

_rectiligne

au

mouvement circulaire. Il faut se demander si la

correc-tion que ce

_champ

de _{fuite entraînerait n’est pas} suffi-sante pour bouleverser

l’expression

des termes du second ordre. Il semble

_qu’il

n’en soit

rien,

à condition toutefois que la

largeur

de la zone

_perturbée

soit faible vis-à-vis de la

_longueur

de

_champ

traversé et l’entrefer

petit

vis-à-vis du diamètre des

_pôles.

Voici comment

on

_peut

s’en rendre

_compte

_pour un

_champ

de révolution qne le rayon moyen aborde ou

_quitte

normalement.

Soit

Ro

le rayon des

pôles ;

la zone où

règne

pratique-ment le

_champ

de fuite est

_comprise

entre deux cercles de rayons

Ri

et

RZ

voisins de

~o

(fig. 12).

En

franchis-sant cette zone la

_particule

subit une déviation 0

_qui

est du

_premier

ordre et un

_{décalage qui}

est du second

ordre par

rapport

à

Ho.

Le terme du

_premier

ordre de 6

a _pour

_expression

Or la fonction Je

_(x),

_qui

_exprime

la

_répartition

du

champ

de fuite dans la zone, n’a pas une forme arbi-traire. Le flux

_magnétique

à travers le

_plan

de

_symétrie

considéré doit

_rester,

en

_première

_{approximation,}

_pour un _{électro-aimant donné alimenté par} un courant

donné et d’entrefer

_petit,

_{le même que si le}

_champ

était

_réparti

de

_façon

_homogène

à l’intérieur du cercle

l~o

(9) ;

si bien que

l’expression

.

>’ig. 12.

qui

est très voisine de

a la même valeur que dans

l’hypothèse

_théorique

d’une

_répartition

_homogène.

Ce raisonnement est direc-tement

_applicable

au cas où la

_particule

entre dans le

champ obliquement

et l’on a toute _{raison de penser} que sa conclusion resterait valable pour un

_champ

de forme

_{plus compliquée.}

Ainsi l’intervention du

_champ

de fuite ne

_déplace

_{que d’un terme du second ordre le}

point d’impact

d’un rayon donné sur la

_plaque.

Les raisonnements

_{géométriques}

des

_paragraphes

précé-dents

_gardent

donc leur

_pleine

valeur. D’autre

_part

deux rayons voisins ne

sont,

par

continuité,

déplacés

l’un _par

_rapport

à _{l’autre que d’un terme} d’ordre

supé-rieur,

de sorte _{que tous les calculs de}

_largeur

de raie et de _{linéarité que} nous allons effectuer sont a

_priori

valables. La correction due au

_champ

de fuite aurait

pour seul effet de décaler d’une

quantité

du second ordre l’ensemble des raies de l’étroit domaine

étudié,

sans les déformer ni les

déplacer

l’une par

_rapport

à

l’autre. Bien

entendu,

il est nécessaire

_qu’à

l’entrée

comme à la sortie les rayons traversent toute la lar-geur du

champ

de _{fuite pour subir l’effet de} compensa-tion

_qui

est à

_l’origine

de ce résultat favorable. Si l’on doit annuler la

_partie

_rectiligne

des

_{trajectoires,}

il faut

placer

la source ou

_l’image

non au seuil du

_champ

mais en son

_intérieur,

dans la

_{région homogène,}

afin que le calcul d’un tel

arrangement puisse

être effectué

sans erreur.

(q) Ce flux P est _égal au _{produit par 4 7t} des masses

magnéti-ques équivalentes à l’aimant; ces dernières sont, en gros,

répar-ties avec une densité uniforme I sur le~ faces terminales des

pièces polaires et, tant que la largeur de l’entrefer reste petite

vis-à-vis de _Ro, le _champ au _{centre, Jeu,} vaut en première

460

II. Calcul des termes du second ordre

(largeur

de

raie,

linéarité, etc...).

Afin de faciliter

_{l’approximation}

que nous avons eu

vue, il est commode de définir les données

géolné-triques

de

_{l’arrangement}

_par

_rapport

à ce

_qui

sera le

rayon moyen du faisceau étroit étudié. En

particulier

le calcul est

_{beaucoup plus}

_simple

_quand

la

_trajectoire

centrale est normale aux faces d’entrée et de sortie :

nous étudierons ce cas tout d’abord. Bien

entendu,

pour

assurer les termes du second ordre il ne suffit

_plus

de connaître la

_tangente

aux faces

_qui

limitent le

_champ,

il faut faire une

_hypothèse

sur leur forme exacte. Comme en

praüque

les fers ne

_peuvent

être taillés avec

grande précision

que dans les formes

rectiligne

ou cir-culaire et

_{qu’une irrégularité}

de l’ordre du dixième de millimètre suffit à

perturber

d’autant la

_largeur

de

raie,

nous limitons le calcul au cas où le domaine de

champ homogène

est borné au

_voisinage

des

_points

d’incidence et

_{d’émergence}

_par un

_segment

de droite

ou un arc de cercle.

1. Incidence et

_émergence

normales. - Les limites du domaine

_magnétique

sont

_rectilignes.

Fig. 13.

Le rayon central

pénètre

dans le

_champ

en

_{H, y est}

dévié sous _{le rayon p,} en sort en K

_(fig.

_{13). y}

est

l’angle

au centre

_balayé,

ou aussi bien

_l’angle

des deux faces Hx et

_Ky.

_L’objet,

réel ou

_virtuel,

se trouvera en

_A,

sur _{le rayon moyen.} On _{pose HA}

_compté

positivement

vers l’extérieur du

_champ

_{(source réelle).}

Uzz rayon

quelconque

est _{défini par} sa distance AA’=s à

_l’objet

A

_lorsqu’il

_{passe à} son

_niveau,

et _par

_l’angle

a

qu’il

fait avec _{le rayon moyen;} a. est

_compté

dans le sens habituel à

_partir

de la direction AtI. Ce rayon

pénètre

dans le

_champ

en

Il,

y est dévié sous le rayon r, en sort en K’ et vient

_frapper

la

_plaque

en B’. La

_position

de la

_plaque

est _{définie par le}

_point

B où elle coupe la

trajectoire

moyenne

(KB =

l")

et par

qu’elle

fait avec la face de sortie OK ou avec

sa

_parallèle

_By’.

Les

_{longueurs parallèles}

aux faces

magnétiques

sont

_comptées

_positivement

en

_{s’éloignant}

de

_0;

ce est

compté

à

partir

de

By’

et est

nécessaire-ment inférieur à en valeur

absolue ;

le sens

_positif

de la

_plaque

s’en déduit.

Il

_s’agit

de calculer BB’ en fonction des

_paramètres

qui

viennent d’être définis. Si 6 est

_l’angle

de la

nor-male la face de sortie avec _{le rayon}

_émergent

K’B’,

et B" l’intersection de ce _rayon avec

_By’,

on a

dans le

_triangle

BB’B"

- - - ,.

BB" valant lui-nièiiie

Les

_expressions

de OK’ et 0 résultent de la considé-ration des

_triangles

00’H* et

_00‘K’,

où 0’ est le centre du cercle

H’K’.

Si p.

et v sont les

_angles

de 00’ avec

OH’ et

_0K’,

les

_quatre

relations

donnent aisément

D’où

_{l’expression}

de BB" :

et à la relation

₍₅₎

donne le

_point

_d’impact

_{d’un rayon}

461

Le calcul des termes du

_premier

et du second ordre

est facilité par le fait que 0 est voisin de zéro

_quand

le faisceau est _{étroit. Si l’on pose}

la

_partie

_principale

de sin 0 est

_{nulle’quand}

_{a, s et}

_slip

sont

petits.

Le

développement

de

_tg

0 coïncide alors

avec celui de sin 0 _pour les termes

_{utilisés; quant}

au

développement

du

_cosinus,

il s’écrit

si

sme=~+~6-t-c--)-

termes du 2e ordre. P

Ici

. 11

Au lieu de l’ et

1",

il est

_{plus commode,}

à

l’approxima-tion

_cherchée,

de faire intervenir les

_quantités

qui

ont aussi une

_expression

_{géométrique simple}

Si u

et v sont les

_angles

de O~x avec OA et de

_Oy

avec OB

respectivement,

on a

Si B est choisi pour être

l’image

de A et B sont

alignés

avec 0 et

~n

et q

se réduisent aux deux

_quantités

inverses

Réciproquement,

exprimer

que

c’est donner la condition de focalisation. En

rempla-çante et q

par leurs valeurs

(9)

on retrouve les for-mules de

_Herzog.

Les termes du

_premier

et du second ordre de BB"

sont les suivants

_(avec

un facteur p

_qui

n’est _pas

_{écrit) :}

TABLEAU 1.

Pour passer aux termes de

_BB’,

on écrit la relation

₍₅₎

sous la forme

Tous les termes du tableau 1 sont donc à diviser _par

cos w. Il

_s’ajoute

en outre les termes en

_{tg w}

_qui

pro-viennent du

_produit

BB"

_tg

0,

où,

dans

_chaque

facteur,

les termes du

_premier

ordre sont naturellement seuls à considérer. Il est

_{plus logique,}

d’autre

_part,

de mettre

en évidence les deux

_paramètres,

masse et

_{énergie, qui}

contribuent à modifier le rayon de courbure

magné-tique.

Si l’on

_désigne

par

y la

variation relative de

masse et

_{par ~}

la variation relative

_{d’énergie,}

soit

on a, à condition toutefois que la correction de relativité

soit faible

c’est-à-dire,

en se limitant aux termes du second ourdie

462

- Il.

L’expression

des trois termes du

_premier

ordre a

_déjà

été donnée par R.

Herzog (1)

et celle du terme en z2

par iM.

E.

_Stephens

_1’°).

Analyse

des

_énergies.

- Toutes les

particules

ont la même masse; les termes contenant y sont nuls. Au pre-mier ordre subsistent :

Il le terme en _a,

_qu’on

annule en

_alignant

A et 1>

avec 0 =

1);

2° le terme

_{en 0,}

_qui

mesure la

_dispersion.

Si les conditions de focalisation en

_angle

sont

_vérifiées,

mesure la

_dissymétrie

de 1

_arrangement.

C’est une

quantité

qui

est

_{toujours positive quand objet}

et

_images

sont

_{réels ;}

elle varie de 0 à l’infini

_{quand p}

est

infé-. " 7: .

rieur à - et de -- _{cos iy} à - cos

quand Q

est

_compris

1 cos 9 " 7t _ °

3° le terme en

-

_qui

traduit l’effet de

_largeur

de P

source.

Si ce dernier terme est

_{prépondérant}

dans la

_largeur

d

_image

c’est-à-dire si x2 est

_négligeable

vis-à-vis le

_{pouvoir séparateur,}

_exprimé

_{par le}

_rapport

du terme

(’-~~~ 1~’. E STEPHEXS, Phys. Rev, 1934.45. p. 513.

1

1

en 8 au terme en s, est maximum avec -

_--1

On

’

q

a intérêt à

_éloigner

autant que

_possible

la source du

champ.

Une

_{fois q}

choisi,

la linéarité du

_spectre

sera

assurée par l’annulation du terme

en c2 ;

l’un des deux

paramètres ?

ou w reste arbitraire. Si au contraire

l’influence de la

_largeur

de source est

_{négligeable,}

si par

exemple

l’ouverture du faisceau est

_{considérable,}

on assurera d abord l’annulation des termes en 12 et a - 1

par un choix convenable de _cp et w. Restera le terme

qui

donne un

_pouvoir

_séparateur

_{proportionnel}

à

quantité qui

est maxima _{pour q} = ~. On retrouve le

résultat de

_{Stephens. Les}

valeurs

_{de cp}

et ú) convenables doivent satisfaire aux

_équations

Elles

_exigent

soit t

ou

Ainsi pour

g = ~

Cet

_arrangement

est dessiné

_figure

14. Il

_présente

sur le

_dispositif

habituel à 180° tous les

_avantages

recherchés :

_objet

et

_image

se trouvent nettement en

dehors du

_champ;

l’échelle des

_énergies

est

linéaire;

Fig. l~. - Dispositif à _{grand pouvoir} séparateur, forte focalisation

et échelle linéaire, pour l’étude des spectres d’énergie.

l’angle

~, pour un _{rayon de courbure donné des}

parti-cules,

est _{diminué presque de moitié} sans _{que le}

_champ

ait à ètre

_plus

fort.

_Enfin,

même avec cet

_appareil

réduit,

le

_pouvoir

_séparateur

se trouve

_multiplié

_par le facteur

_4/3.

_{Un seul inconvénient : les rayons} n’abor-dent

_plus

la

_plaque

_{normalement ;}

on

_peut

_{voir que}

cette

_propriété

de _{normalité est le propre de la} dévia-tion en demi-cercle.

Dans les cas intermédiaires où les termes

en s

et en a 2 p

seraient du même ordre de

_grandeur,

on choisira

encore la valeur

_{de q}

de manière à rendre le

_pouvoir

séparateur

maximum. On sera

_{généralement}

conduit à

prendre

des valeurs

_comprises

entre 1 et 2. Pour

_q=1,

il faut

Analyse

des masses. - _{Pour que le}

_point

central

du

_spectre

soit un

_point

de double

focalisation,

on doit

annuler tous les termes du

_premier

ordre du tableau

_lI,

à

_{l’exception}

du terme de

_dispersion

en _{~; .} Outre

il faut donc :

La

_dispersion

des

_énergies

due au

_{champ électrique}

relève d’une formule

_analogue.

En introduisant les

mêmes

notations,

Pe pour le rayon du

courbure,. q,

pour

le

_rapport

-~- cos

_ujcos

_ve, on a

_(4).

d’où la relation

_imposée

Bien

entendu,

l’image électrique

et

_l’objet

_magnétique

peuvent

être virtuels

_(si

l’un des deux seul est

virtuel,

il faut

_ajouter

un

_signe

moins à la formule

_{précédente) ;}

q en

_particulier,

_peut

_prendre,

outre les valeurs

posi-tives du

_{paragraphe précédent,}

les valeurs du domain

- cos 1 , -

et celles du domaine

B cos y / ’ " 2

7t

(0,

- _cos

)

quand D

_{2 .}

Ces dernières sont

_négatives.

et

_toujours

inférieures à 1 en valeur

_absolue;

elles

cor-respondent

à la

_disparition

de

_l’image

intermédiaire. Le

_pouvoir

_séparateur

est difficile à évaluer. La

dis-persion

a bien

_toujours

la même

_valeur,

mais seule l’influence de la

_largeur

de source sur la dimension des

raies est connue, à condition de tenir

_compte

du facteur qe

qu’introduit

le

_{champ électrique.}

Si les termes du second ordre étaient

_{négligeables,}

le

_{pouvoir séparateur}

croîtrait avec le

_{produit p, (1}

-~-

p),

résultat que Mat-tauch et

_{Herzog expriment}

sous une forme un peu diffé-rente

_(4).

Mais

_{généralement}

les termes du second ordre

sont

_importants

et les

_expressions

de trois d’entre eux

restent inconnues en raison de la contribution

_qu’y

apporte

le

_{champ électrique :}

_{l’expression (14)}

de s

comporte

aussi des termes en

_7.2,

a~ et 62

_qu’on

ne sait

pas écrire. En

remplaçant s

par cette valeur exacte dans le tableau

Il,

même

_compte

tenu de

_(1;)),

les trois

termes

_précités

seront inconnus.

Par contre les coefficients

_{de ,2}

_{et a~~ restent}

inchangés;

le dernier

terme,

en

_3y,

résulte de la

com-binaison des anciens termes en

_cy

et _{’Ys, où seule la}

valeur au

_premier

ordre de s intervient. On

_peut

donc écrire trois conditions d’annulation

_qui

_expriment

la linéarité de l’échelle de masse et la

_tangence

de la

_plaque

aux deux lieux de focalisation :