Étude théorique de diverses résonances observables en champ nul sur des atomes « habillés » par des photons de radiofréquence

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Étude théorique de diverses résonances observables en champ nul sur des atomes “ habillés ” par des photons

de radiofréquence

J. Dupont-Roc

To cite this version:

J. Dupont-Roc. Étude théorique de diverses résonances observables en champ nul sur des atomes

“ habillés ” par des photons de radiofréquence. Journal de Physique, 1971, 32 (2-3), pp.135-144.

�10.1051/jphys:01971003202-3013500�. �jpa-00207034�

135

ÉTUDE THÉORIQUE ^{DE DIVERSES} RÉSONANCES OBSERVABLES

EN CHAMP NUL SUR DES ATOMES

^«

HABILLÉS

^»

PAR DES PHOTONS DE RADIOFRÉQUENCE (*)

J. DUPONT-ROC

Faculté des Sciences de

Paris,

Laboratoire de

Spectroscopie

Hertzienne de l’E. N. S.

associé au C. N. R.

S.,

^{24 rue}

Lhomond,

^{Paris 5e}

(Reçu

^{le 9 novembre}

1970)

Résumé. 2014 On

présente

^une théorie de diverses résonances observables en

champ

^{nul sur des}

atomes

pompés optiquement

^et soumis à l’action d’un ou

plusieurs champs

^{de RF} (résonances

paramétriques).

^{L’intérêt}

expérimental

^{de ces} résonances a été

souligné

^{dans une}

publication

^anté- rieure, ^{notamment en ce}

qui

^{concerne la mesure des 3} composantes ^d’un

champ magnétique

^sta-

tique

très faible

(de

l’ordre de 10-9

gauss).

^{On montre ici} que le formalisme de l’atome «habillé»

permet ^de

simplifier

considérablement le calcul de divers

signaux

observables

expérimentalement,

en

particulier lorsque

^le

champ statique

^{a une direction}

quelconque

par rapport ^au

champ

RF ;

ou

qu’on applique

²

champs

^{de RF}

(au

^lieu

d’un).

Abstract. ²⁰¹⁴ We present ^a

theory

of various resonances which appear in zero field on

optically pumped

^{atoms in} présence of one or two RF fields

(parametric resonances).

As it has been shown in a

previous

paper, these resonances are of great

practical interest, especially

^{for the} measurement of the 3 components ^{of a} very weak static

magnetic

^field

(of

^the order of 10-9

G).

It is shown here that the « dressed » atom formalism allows

important simplifications

^{in the}

computation

^{of the}

observed

signals, especially

when the direction of the static field is

arbitrary

^{or when two RF fields}

are

applied

instead of one.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE TOME 32, FÉVRIER-MARS 1971,

Classification

physics

^Abstracts

07.00 ^- 05.20

Introduction. ^- Il est bien connu que la lumière diffusée ou absorbée _par une vapeur

atomique ^subit,

dans certaines

conditions,

^des variations résonnantes

lorsqu’on

^{balaie le}

champ magnétique statique

^autour

de zéro. La

largeur

des résonances

correspondantes (Effet Hanle)

reflète suivant les cas la

largeur

^naturelle

du niveau

atomique

^excité

[1],

^{ou celle}

(beaucoup plus fine)

^{du niveau} fondamental

[2].

Plus

récemment,

des résonances

analogues, appelées

résonances

paramétriques

^en

champ nul,

^{ont été}

observées sur des atomes soumis en

plus

^{à l’action}

d’un

champ

^de

radiofréquence

^linéaire

perpendiculaire

à la direction de l’excitation

optique.

^Le

champ magné- tique statique

^est

balayé

^{autour de}

zéro,

soit dans la direction du

champ

^RF

[3] [4] [5],

^{soit dans une direc-}

tion

quelconque [6].

Les résonances

apparaissent

^sur

des modulations

(aux harmoniques

^{de la}

fréquence

du

champ RF)

^{de la} lumière absorbée _{par la vapeur,}

ce

qui permet,

^en utilisant les

techniques d’ampli-

fication sélective et de détection

synchrone, d’aug-

menter considérablement le

rapport S/B,

^et

d’envisager

des

applications pratiques

^telles que la mesure de

champs magnétiques

^très

faibles,

de l’ordre de

10-9

à

10-’o

G

[5] [7] [8].

(*) ^{Cet article} fait suite à ^une étude expérimentale ^{de ces}

résonances publiée ^{à la revue de} Physique Appliquée.

La théorie des résonances

paramétriques

^{est moins}

simple

que celle de l’effet

Hanle,

^surtout

lorsque

^le

champ statique

^{a une direction}

quelconque

par

rapport

au

champ

^{RF. Le calcul}

peut

^{néanmoins être mené}

jusqu’au

^{bout. On constate alors une} similitude

frap- pante

^{entre les}

expressions

^des

signaux

^{d’effet Hanle et}

celles des résonances

paramétriques.

Nous montrons dans cet article

qu’il

^{existe en effet}

un lien très étroit entre les deux

types

de résonance. Les résonances

paramétriques peuvent

^être considérées

comme des résonances Hanle d’un

système plus complexe

que l’atome

libre,

^constitué par l’ensemble

« atome +

champ

^{RF » en} interaction. Ce

système global, appelé

^{encore « atome habillé » par les}

photons

de

RF,

^{a été étudié en détail} par S.

Haroche,

^{C. Cohen-}

Tannoudji

^{et coll.}

[9] [10] [11] [12].

Nous montrons ici que le

concept

^{d’atome habillé ne}

permet

pas seulement d’établir des

rapprochements physiques fructueux ;

^il

simplifie

considérablement le calcul des

signaux

^{de résonance}

paramétrique

^obtenus

dans les conditions les

plus générales.

^De

plus

^il

permet

de traiter

rigoureusement

^{l’effet sur le}

système

d’un deuxième

champ

^{RF. Nous avons montré dans un}

article

précédent [6]

l’intérêt d’un tel

dispositif, qui

fournit trois

signaux indépendants proportionnels

^aux

trois

composantes

^du

champ statique, complétant

^ainsi

utilement le

magnétomètre

décrit dans

[5].

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01971003202-3013500

Le

plan

^{de l’article est} le suivant :

Dans une

première partie,

^nous

rappelons

^{les résul-}

tats concernant l’effet Hanle obtenu avec un

champ statique

de direction

quelconque.

^Puis

après

^une

deuxième

partie

consacrée à un bref

rappel

^{sur le for-}

malisme de « l’atome habillé _», nous

dégageons

^{le lien}

qui

^{existe entre les} résonancès

paramétriques

^{et l’effet}

Hanle. Nous retrouvons ainsi très

simplement l’expres-

sion des

signaux

de résonance

paramétrique

^obser-

vables dans ^un

champ statique

^{de direction}

quel-

conque. La

quatrième partie

^est consacrée à l’étude de l’effet d’un deuxième

champ

^de

radiofréquence

^{sur le}

système.

^{On détermine}

l’expression

^{des nouveaux}

signaux

résonnants

qui apparaissent

^{dans ces condi-}

tions.

T. Effet Hanle dans ^un

champ

de direction

quel-

conque. ^-

1)

CONDITIONS EXPÉRIMENTALES ET

ÉQUA-

TIONS DU MOUVEMENT DE L’ORIENTATION _ATOMIQUE. ^- Les atomes du moment

cinétique S, pompés optique-

ment par le faisceau F

qui

^se propage le

long

^de

Ox,

sont soumis à l’action du

champ statique H,

de compo- santes

H,,, Hy, ^Hz (Fig. 1).

Nous supposerons

qu’il n’y

a aucune structure

hyperfine

dans l’état fondamental et que, ^sous l’action de la relaxation due aux collisions contre les

parois

^{de la}

cellule,

l’orientation S >

évolue avec une seule constante de

temps 1 /r.

^Nous

décrivons

phénoménologiquement

l’effet du pompage

optique,

^{en écrivant} que le faisceau ^F introduit avec une

probabilité IITP

^{par unité de}

^temps,

^{une orienta-}

tion exs dans la direction Ox. L’intensité du _pompage

FIG. 1. ^- Schéma de principe ^de l’expérience d’effet Hanle.

est donc caractérisée _{par le}

paramètre eXS/ Tp ; Tp

^{est le}

temps

^de pompage.

L’évolution

globale

de l’orientation S > ^est donnée _par

l’équation

(y rapport gyromagnétique).

Le

premier

^terme du second membre de

(I.1)

^décrit

l’effet de la

relaxation,

^{le second} l’effet du

champ magné- tique,

^le

^3e,

l’effet du pompage.

On

peut

^{récrire cette}

équation

^{sous la forme :}

où

2)

^SOLUTION STATIONNAIRE. ^-

Soit S >

^{= M} la valeur

d’équilibre

que

prend

l’orientation sous l’ac- tion des trois processus : pompage

optique, précession

de Larmor autour de

H,

relaxation. L’effet Hanle est la variation résonnante de M

lorsqu’on

^{balaie H autour}

de zéro. Cette variation résonnante se

répercute

^en

effet sur les

signaux

de détection

optique qui dépendent

linéairement des

composantes

^{de M.}

M est la solution de

l’équation :

On trouve facilement

après

^une inversion de matrice :

Comme la résonance est centrée en

champ

^{nul au}

point

^{où les divers} sous-niveaux Zeeman se

croisent,

^on

la

désigne

^{souvent sous le nom de «} résonance de croi- sement de niveaux ».

3)

INTERPRÉTATION PHYSIQUE. ^- Le pompage

optique

^{crée en} permanence des

dipôles atomiques qui pointent

^{dans la direction Ox de F. Aussitôt}

après

^avoir

été orientés dans cette

direction,

^les

dipôles

^{se mettent}

à

précesser

^{autour de}

H,

^{formant un cône d’axe H et de}

demi-angle

^au

sommet 0, angle

^{de H avec Ox}

(Fig. 2).

Au cours de cette

précession,

^{ils sont détruits au bout}

d’un

temps

de l’ordre de

l/r

par la relaxation. Consi- dérons à ^un instant t ⁼ 0 l’ensemble des

dipôles

^ato-

miques

^{contenus dans la cellule : ceux}

qui

^viennent

d’être

pompés pointent

dans la direction de

Ox ;

^ceux

137

FIG. 2. ^- Evolution des dipôles atomiques ^{dans une} expérience

d’effet Hanle.

qui

^{ont été}

pompés

^{à un}

instant - t (t

>

0)

^{ont tourné}

autour de H sur le cône C d’un

angle

et leur nombre a diminué d’un facteur

e - ".

Pour obtenir l’orientation M de la vapeur à t ⁼

0,

^{il faut} faire la somme vectorielle de tous les

dipôles atomiques

introduits à tous les instants entre t ^{= -} oo et t ⁼ 0.

a)

^Si

yH/T 1,

^les

dipôles

n’ont pas ^eu le

temps

^de

tourner avant d’être détruits : ils

pointent

^{tous dans la}

direction

Ox, Mx

^est

maximum, Nfy

^et

^Mz

^{sont nuls.}

Les formules

(I.4)

^{donnent en effet} pour

b)

^Si

yH

^n’est

plus négligeable

^devant

r,

^{tous les}

dipôles

^{ne sont}

plus parallèles.

La résultante est

plus

faible et elle a

légèrement

^{tourné autour de}

H,

^d’un

angle

^{de l’ordre de}

(- yH) 1/ r :

My

^et

^tlfz

^{sont alors non nuls et sont}

respectivement proportionnels,

^au

premier ordre,

^à Wz ^{et -}

coy.

c)

^{Enfin si}

yH > r,

^les

dipôles

font de nombreux tours autour de H avant de

disparaître.

^{On a une}

répar-

tition uniforme de

dipôles

^{sur tout} le cône C. L’orien- tation résultante est donc dans la direction de H. Sa

grandeur

^{a une}

expression simple :

^en effet les pro-

jections

^{sur H des}

dipôles

^ne

précessent

pas, donc restent

parallèles

^{les uns aux autres. Leur somme est}

donc

égale

^{à la}

projection

^{sur H} de l’orientation maxi-

mum

qu’on peut obtenir,

^soit

Mx, My, ^Mz

^{sont les}

projections

^sur

Ox, Oy,

^{Oz de}

cette orientation. Les cosinus directeurs de H étant

Hx/H, Hy/H, ^HZ/H,

^{on trouve :}

ou encore en

remplaçant

^cos 0 par

Hx/H

^{et en multi-}

pliant

^{haut et bas} par

(y)’

On retrouve les formules

(1. 4)

^{à la limite}

II. évolution de l’orientation d’un atome « habillé »

par des

photons

^de

radiofréquence

^sous l’action d’un

champ statique (ou

^lentement

variable).

^-

1)

^Posi-

TION DU PROBLÈME. ^- Considérons

l’expérience

^sui-

vante : les atomes sont

pompés optiquement

^{dans la}

direction Ox et soumis à l’action simultanée d’un

champ

^de

radiofréquence

^linéaire

Hl

^{cos rot}

parallèle

à Oz et d’un

champ H(t) statique

^{ou lentement}

variable.

(Nous

^entendons par lentement variable un

champ qui

^varie peu

pendant

^la

période 2 nlco

^du

champ RF.)

Nous supposons ^{en outre}

r, yH

po, c’est-à-dire _que l’évolution de l’atome due au

champ H(t)

^{et à la}

relaxation,

^{est faible}

pendant

^une

période

2

re/w.

L’équation

d’évolution de S > dans ^ces condi- tions s’écrit :

Une telle situation se rencontre par

exemple

^dans

une

expérience

^{de résonance}

paramétrique : H(t)

^est

alors

statique.

^{On sait}

qu’il apparaît

^{dans ce cas sur la}

lumière absorbée _{par les} atomes des résonances dont la forme est décrite _{par des}

expressions

^{tout à fait sem-}

blables aux formules

(I.4)

^{de l’effet Hanle. On}

peut

^en effet remarquer que les conditions

expérimentales

^sont

identiques

^{à celle de l’effet}

Hanle,

^à l’addition

près

^du

champ

^{de RF. Si l’on} considère l’atome et le

champ

de RF en interaction comme formant un tout,

l’expé-

rience de résonance

paramétrique

^{devient une}

expé-

rience d’effet Hanle effectuée sur ce

système complexe, appelé

^{encore « atome habillé ».}

Qualitativement,

^le

diagramme d’énergie

^{de l’atome}

habillé en

champ

^{nul est} constitué d’une infinité de niveaux

d’énergie

2 S + 1 fois

dégénérés, séparés

^les

uns des autres de (JJ : ces niveaux

correspondent

^{à des}

états du

système global

où l’atome en

champ

^{nul est en}

présence

^de

0, 1, 2, ...,

n, ...

photons

^{de RF. Le}

champ

magnétique statique

^{lève la}

dégénérescence

^{dans cha-}

cune de ces

multiplicités.

^Des croisements de niveaux

apparaissent

^{donc en}

champ nul, auxquels

^{sont asso-}

ciées des résonances de

type

Hanle. On ramène ainsi l’étude de la résonance

paramétrique

de l’atome à celle

plus simple

^{de l’effet Hanle de l’atome « habillé ».}

Le même

procédé peut

être utilisé

lorsque

^le

champ H(t)

^{est lentement}

variable,

par

exemple lorsque

^{H est}

modulé _par la

présence

^{d’un 2e}

champ

^{RF de fré-}

quence

Q, petite

^{devant co}

(Q peut

^{néanmoins être}

grande

^{devant l’inverse du}

temps

^de relaxation

F).

L’intérêt de ce

dispositif qui permet

^{la mesure simul-} tanée des 3

composantes

^du

champ statique,

^{a été}

soulignée

^dans l’introduction.

L’étude

quantitative

^des

problèmes précédents

nécessite la connaissance détaillée du

diagramme d’énergie

^{et des}

équations

d’évolution des observables de l’atome « habillé » sous l’effet du _pompage

optique,

du

champ magnétique H(t)

^{et de la} relaxation. Ces divers

points

^ont été traités de

façon complète

^{dans les}

références

[9] [10] [11] ] [12].

^{Nous nous} contenterons de

rappeler

brièvement les résultats

correspondants.

Nous verrons que dans les

expériences envisagées ici,

les

équations

d’évolution des observables de l’atome habillé sont

plus simples

que celle de S >

(Eq. B).

2)

^{RAPPELS SUR} L’ATOME HABILLÉ. ^-

a)

^Niveaux

d’énergie

^et observables de l’atome habillé. ^- L’hamil- tonien du

système

^{total « atome +}

champ

^{RF » en}

champ

^{nul s’écrit}

a et

a+

sont les

opérateurs

d’annihilation et de création d’un

photon

^de

RF,

de

fréquence w/2 n ; Â

^{est la}

constante de

couplage,

^{reliée à}

l’amplitude Hl

^du

champ

^oscillant par mi ^{= -}

yH1

⁼

2 À.J n

^>

« n

> nombre moyen de

photons présents).

On

note 1 m

>,

(- ^{S m} S)

les états _propres de

Sz, 1 n

>

(n

⁼

0, 1, 2, ...)

l’état du

champ

^{de RF}

avec n

photons présents.

En

champ nul,

les états propres de

Jeo

^{sont les états}

/ m, nm

>

d’énergie

^{ncv, où}

Le

diagramme d’énergie

^{est constitué} d’une infinité de

niveaux,

caractérisés _{par n,} et chacun 2 S + 1 fois

dégénérés.

L’effet du

champ H(t)

^{est décrit} par la per- turbation

On introduit les observables

projections

^{du moment}

cinétique

^à l’intérieur d’une

multiplicité

^{ou entre deux}

multiplicités

différentes :

(Pn projecteur

^{sur la}

multiplicité n).

^{On a alors}

Nous utiliserons deux

types

^de

composantes

pour ^un vecteur A

(ou

^une observable

vectorielle) :

^des compo- santes cartésiennes

Ax,y,z,

^{et des}

composantes

^standards

Aq ^(q

⁼

^{1, 0, - 1)}

^{définies par}

On montre dans la référence

[12] qu’il

^{est commode}

d’utiliser une autre observable

8, appelée

^moment

cinétique ^fictif,

^{dont les}

projections ^{nn’ 8}

^{ont une évolu-}

tion

simple.

nn’ 8

^et

nn’ S

^sont liés _par les relations

où

Jn_n-

^est la fonction de Bessel d’ordre n - n’.

b)

Evolution des observables de l’atome habillé. ^- L’évolution de

""8

> sous l’action du _pompage

optique,

de la relaxation et du hamiltonien

est déterminée _par

l’équation pilote (cf.

^référence

[12])

est le terme de

préparation

^{associé au} pompage

optique. p(n)

^{est la}

probabilité

^{de trouver n}

photons

de .

RF

^n=O

E ^p(n) = 1

Tp

^{et exS ont} été définis au

§ 1,

^f.

Si on fait

l’approximation

^séculaire

(F, yH 0153),

^on

ne

garde

dans le 2e membre de

(II.7)

que la compo- sante modulée à

(n - n’)

^co,

fréquence

propre de

nn’8.

Il vient alors :

en

posant

soit

représente

l’évolution de

nn’8q

> ^sous l’influence de la relaxation.

139

iii) d(3)/dt nn’Sq

> décrit l’évolution de

nn’Sq

^>

sous l’action du

champ magnétique.

^{Si on ne}

garde

que les termes

séculaires,

^on

peut

^écrire

où

La

fréquence

d’évolution de

nn’8

> ^est donc voi- sine de

(n - n’)

^0153. Comme c’est l’effet de H

qui

^est

intéressant on passe ^en

représentation

interaction en

posant :

On obtient alors _pour

équation

d’évolution

global

de

l/p(n) ’’"’8

> :

L’évolution de l’observable

nn’8 >/p(n)

^{de l’atome}

habillé dans le

champ H(t)

^{est donc}

identique

^{à celle}

d’un

spin

^libre

qui,

^en

l’absence

^de

^{champ RF,}

^serait

plongé

^{dans un}

champ H(t)

^{et soumis à une excitation}

optique eXS/Tp.

^{Nous avons ramené le}

^problème

^de

l’évolution de S > ^{à un}

problème équivalent plus simple :

^{celui de} l’évolution de

nn’8/p(n).

On constate par ailleurs que les

coefficients

de

l’équa-

tion C sont

indépendants

^{de n et n’. On en déduit donc}

que la solution est elle-même

indépendante

^{de n et n’.}

Rappelons

^{que cette}

propriété

^{résulte de certaines}

hypothèses

^{sur le}

champ

^de

radiofréquence

^discutées

dans la référence

[12]

^et

toujours largement

^vérifiées.

c)

^{Retour à} l’observable _S >. - ^Les formules

(II. 4), (II. 5)

^et

(II .13) permettent

^{de calculer la valeur} moyenne S > ^en fonction des valeurs _moyennes

nn’8 > /p(n)

de l’atome habillé déterminées à

partir

de

l’équation

^C.

nn 8, > /p(n), indépendant

^{de n et}

n’, peut

être sorti de la sommation et on montre

[12]

que

On ^en déduit :

L’interprétation

^{de cette formule est} extrêmement

simple :

S > ^se déduit de

nn ’S >/p(n)

par la rotation

:R(H1) d’angle Wl/W

^{sin cvt autour de la. direc-}

tion du

champ

^de

radiofréquence.

3t(H1)

^{= rotation}

{ angle : ^W1/W

^{sin cvt ;}

axe : direction du

champ RF } (11. 16)

3)

CONCLUSION. ^- La détermination du mouvement de S > ^sous l’action du

champ

^RF

Hl

^{cos cot}

et du

champ

^H

(dans l’hypothèse yH

^{co et H}

lentement

variable)

s’effectue en trois

étapes :

a)

Formulation du

problème équivalent.

^{- On effec-}

tue sur le

champ magnétique H(t)

^{et sur le terme d’exci-}

tation

eXS/Tp

^une affinité de

rapport Jo(Wt/ro) ayant

pour ^axe la direction du

champ

^RF

Hl

^{cos rot. On}

obtient ainsi

H(t)

^et

eXS/Tp.

L’observable

"n,8 >1P(n)

de l’atome o habillé »

évolue

^{comme un}

spin libre

qui

^{ne serait soumis}

qu’à H(t)

^{et au} pompage

eXSITp.

Le tableau 1 schématise les

correspondances

^entre

les 2 formulations

possibles

^{du même}

problème.

TABLEAU 1

b)

Résolution du

problème équivalent :

^Il

^s’agit

^de

déterminer

la solution

stationnaire

(si ^H

^est

statique)

ou forcée

(si ^H(t)

^est

périodique)

^de

l’équation

^C.

c)

^{Retour à S} > : Elle se fait _par la formule :

Soulignons

que ^ces

règles

^{sont valables}

quelles

que soient les directions relatives de

Hl

^{cos mt, H et}

"S/7p.

III.

Application

^{à la résonance}

paramétrique.

^-

La résonance

paramétrique correspond

^{au cas où H}

est un

champ statique (Fig. 3).

^Nous allons voir _que la méthode

précédente permet

^non seulement d’établir

un lien étroit entre résonance

paramétrique

^{et effet}

Hanle,

mais fournit

également

^très

rapidement

^la

forme

explicite

^des

signaux

^de résonances.

FIG. 3. ^- Schéma de principe ^de l’expérience de résonance

paramétrique.

1)

^PROBLÈME

ÉQUIVALENT.

^{- Il}

est

^{résumé par le}

tableau Ib où l’on a fait

H(t)

^{= H}

indépendant

^du

temps. L’équation

^{C s’écrit :}

Elle est formellement

identique

^à

l’équation (I.l) qui

décrit l’évolution de S > dans une

expérience

d’effet Hanle. Nous avons ainsi

confirmé,

^d’un

point

de vue

quantitatif, qu’une

^résonance

paramétrique

de l’atome libre

peut

^être

interprétée

^{comme une}

résonance Hanle de l’atome « habillé ». Toutefois il

apparaît

que l’atome « habillé » ne voit _pas le

champ H

^et l’excitation

optique exS/TP,

^{mais un}

champ

^{H et une} excitation

eXSITp

^{définis par les for-}

mules

(II.12)

^et

(II.9).

2)

^{SOLUTION DU PROBLÈME}

ÉQUIVALENT.

^{- La solu-} tion stationnaire de

(III.1)

^{vérifie :}

La solution de cette

équation

^{est obtenue immédia-}

tement

grâce

^{à son}

analogie

^avec

l’équation

^{A de la}

première partie.

^{On trouve}

où M s’obtient en

remplaçant

^dans

l’expression (I.4)

de la

solution

^{M de}

l’équation A, eXS/Tp

^par

eXS/Tp

et H _par

H.

Les

expressions

^{donnant nms}

>lp(n)

^{ont donc}

une forme

identique

^{à celle des}

équations (1.4) :

seules les valeurs du

champ

^{et de} l’intensité du _pom- page ^sont modifiées.

3)

^CALCUL EXPLICITE DES SIGNAUX DE RÉSONANCE

PARAMÉTRIQUE.

^-

L’équation

^{D donne le mouve-}

ment de S > ^en fonction de celui de

nn’8 >/pu).

On obtient ici

grâce

^à

(III.3).

S > se déduit de M _par une rotation autour de Oz

d’angle (mi /m)

^{sin mt.}

Tout se passe donc comme si l’orientation

tendait

vers

l’équilibre uniquement

^{sous l’action de H et}

du _pompage

exS/Tp ;

^le

^champ

^oscillant

^Hl

^{cos cet}

fait alors subir à cette orientation une

précession

^for-

cée. Nous retiendrons en conclusion

qu’on peut

établir

rapidement

^les

expressions

^des

signaux

^de

résonance

paramétrique

^en

champ

nul de la

façon

suivante :

a)

^{On fait}

l’anmité

^{décrite au}

^{§ (II, 3°, a),}

^ce

^qui

permet

^{d’obtenir H et}

exS/Tp.

b)

^On calcule le

signal d’effet ^{Hanle, M,}

^correspon-

dant au

champ statique

^{H et au} pompage

°XS jT p.

_c)

^S > à l’instant t s’obtient en faisant tourner M d’un

angle (mi/m)

^{sin mt autour de} la direction du

champ

^RF.

Ce résultat extrêmement

simple

^{est valable}

quelles

que soient les directions relatives du _pompage, du

champ

^{oscillant et du}

champ statique.

^Mais

rappelons qu’il

^ne

s’applique

que pour

yH

^co.

On retrouve ainsi très

simplement

^les

signaux

^de

détection sur la lumière absorbée

(proportionnel

141

à

Sx >),

^{calculés par une autre} méthode dans la référence

[6].

L’amplitude

^des

modulations ^paires

^{et du}

^signal

statique

^est

proportionnelle

^à

^{Mx ;}

celle des modula- tions

impaires

^à

My (voir

^formules

^{(III .4)).}

L’étude détaillée de ces

signaux

^a été faite dans la référence

[6].

IV. Résonances

paramétriques

observables en

pré-

sence de deux

champs

^de

radiofréquence. -1)

^POSITION

DU PROBLÈME. ^- L’étude du

paragraphe précédent

nous a montré que le formalisme de l’atome habillé

permettait

^de

simplifier

considérablement le calcul des résonances

paramétriques

^induites par ^un

champ

de

RF,

^{en le}

remplaçant

par ^un calcul

analogue

^à

celui de l’effet Hanle. Le même formalisme se révèle

encore

plus

^commode

lorsqu’il s’agit

de calculer les

signaux

^de résonances

paramétriques

^en

présence

de 2

champs

^{de RF.} L’intérêt de ces résonances en ce

qui

^{concerne la mesure} simultanée des 3

composantes

d’un

champ statique

^{très faible a été} illustrée dans la référence

[6].

^Il

apparaît

^{en effet sur la lumière}

transmise trois modulations

différentes, pouvant

^être détectées

simultanément,

^{et dont les}

amplitudes

^sont

respectivement proportionnelles

^{aux 3}

composantes

du

champ statique.

^{Le calcul de ces}

résonances, lorsqu’on

^traite

classiquement

^{les deux}

champs

^de

radiofréquence,

^{est assez} inextricable. Nous allons montrer que le formalisme de l’atome o habillé »

permet

d’obtenir la solution de

façon beaucoup plus

directe. Nous ferons les

hypothèses

^{suivantes sur}

les deux

champs

^RF

H

cos ^rot et

Je1

^{cos Qt : Q et}

03A91

^{= -}

y3C,

^sont

supposés

^très

petits

^{devant w, mais}

les

fréquences

^{des deux}

champs

^{sont toutes les deux}

grandes

^{devant F et}

yH (H champ statique).

En résumé :

L’idée du calcul est la suivante : on considère l’atome ^« habillé » par le

champ Hl

^{cos wt. Le passage}

au

problème équivalent

^{nous est} fourni par le tableau 1 où l’on fait

H(t)

^{= H}

+ :Je1

^cos Qt. Les conditions

(IV, 1)

^sur

:Je1

^{cos Qt assurent} que

H(t)

vérifie les conditions de validité de la théorie

posées au § (II, 10).

On est alors

ramené,

pour le

problème équivalent,

à une étude de

résonance paramétrique

induite par

un seul

champ

^de

RF :Je1

cos

Ot, problème qu’on

^sait

résoudre en utilisant la

règle

^{établie en}

(III, ^30).

2)

FORMULATION PRÉCISE ET RÉSOLUTION DU PRO-

BLÈME

ÉQUIVALENT.

^-

Supposons,

pour fixer les

idées,

que le pompage ^se fait

toujours

^dans la direction

Ox,

que

Hl

^{cos wt est}

parallèle

^{à Oz et}

:Je 1

^{cos Qt}

parallèle

à

Oy.

La direction du

champ statique

^{H est}

quel-

conque

(Fig. 4).

FIG. 4. ^- Schéma de principe ^de l’expérience ^{de résonance} paramétrique ^en présence ^{de deux} champs ^RF.

Précisons maintenant les éléments du

problème équivalent,

^{décrit par le tableau}

^Ib,

^{où l’on a fait}

H(t)

^{= H +}

X,

^{cos Qt. On trouve :}

- un pompage

optique

caractérisé _par une excita- tion

eXS/Tp , ^parallèle

^{à Ox et de module}

- un

champ

^{de RF}

JC1

^cos

Qt, parallèle

^à

Oy d’amplitude

On _pose

- un

champ statique

^{H de}

composantes

nn’8 > /p(n)

évolue donc comme le moment cinéti- que d’un ^atome libre dans une

expérience

^{de réso-}

nance

paramétrique.

Nous déterminons le mouvement

correspondant

en

appliquant

^{la méthode décrite en}

(III, 3°).

a)

^{On fait sur le}

champ magnétique statique

^H

et

^{le terme source associé au pompage}

^optique

°xS/Tp

^{une affinité}

cylindrique ayant

pour ^axe

Oy

(la

direction de

Jc1

^cos

^Qt),

^{et pour}

rapport JO(i2llQ).

On obtient ainsi H et

eXS/Tp

^{définis par}

exS/Tp

^est

toujours parallèle

^à

Ox,

^{de module}

eX S/Tp Jo(Q1/Q).

Pour

simplifier

les notations nous poserons :

On obtient alors en utilisant

(IV. 3) :

b)

On établit

l’expression

de l’orientation atteinte

en

régime stationnaire pour

^{des atomes}

^qui,

^{en l’ab-}

sence du

champ RF Je1 cos Qt ,

^ne seraient soumis

qu’à

^l’action du pompage

exS/Tp

^{et du}

^champ

^stati-

que

H

déterminés

précédemment.

^Il

s’agit

^d’un

problème

^d’effet Hanle : la solution

stationnaire,

que ^{nous noterons} M s’obtient

en remplaçant

^dans

l’expression (1, 4)

^de

M,

^exs par

exs

et

ffix,y,z

^par

c) nn’S >/p(n)

^à l’instant t se déduit de

M

_par

la rotation

R(Jc1), d’axe Jc1,

^cos

Qt, d’angle Q 1 /Q

^sin

Qt.

3)

^{MOUVEMENT DE} S >. - Le ^mouvement de S > se déduit de celui de

nn S >/p(n)

^par

l’équation D, qui

devient ici en utilisant

(IV. 9)

En

explicitant

^les

rotations,

^on déduit aisément les 3

composantes

de S >. Par

exemple,

^{on trouve}

pour

Sx

>,

qui

^est

proportionnel

^{aux variations}

de la lumière transmise :

En utilisant les

développements

et

On

peut distinguer quatre composantes

^{dans le}

mouvement de

SX

>.

e Une

composante statique Jo 30 Mx qui

^est

identique

^au

signal

^d’effet

^Hanel,

^{à la} modification

près (dans l’expression

^de

Mx)

du pompage ^et du

champ statique

par les deux

champs

^{de RF. Le facteur}

supplémentaire Jo 30

^{traduit une} modification de la sensibilité de la détection due au

couplage

^{avec les}

2

champs

^RF

(cf.

^référence

[12]).

e Une

composante

^{modulée à la}

fréquence

^{a) et}

toutes ses

harmoniques

qui

est, ^modifiée par le deuxième

champ ^RF,

^le

signal

de résonance

paramétrique produit

par le

champ Hl

^{cos wt.}

e Une

composante

^{modulée à la}

fréquence

^et

ses

harmoniques

qui

est, modifié par le

couplage

^avec

H1

^{cos cot,}

le

signal

^{de résonance}

paramétrique produit

par le

champ jc1

^{cos Qt.}

e Une

composante

^{modulée à toutes les}

fréquences

de la forme

2 pro

^{+ nQ}

(p

⁼

1, 2,

^{..., n =} +

1,:t 2, ...).

On

peut

^constater que la

forme

^des

signaux

^de

résonance

paramétrique produits

par chacun des deux

champs

^de

radiofréquence

n’est pas affectée par la

présence

de l’autre

champ

^RF. Seules inter- viennent la modification du

champ statique

^{et du}

pompage due ^au

couplage

^{avec les deux}

champs ^RF,

143

l’altération du 2e

champ

RF par le

premier (rempla-

cement de

QI

par

Q 1),

^et des facteurs de détection.

Cette

indépendance

^des

signaux

^est

précieuse : l’ampli-

tude de la modulation sin Qt reste en

champ

^faible

proportionnel

^à

Hy,

celle de la modulation sin wt, à

H,.

^{On a} donc simultanément deux

signaux

pro-

portionnels

^{aux deux}

composantes Hy

^et

^H,

^du

champ magnétique statique.

^{La forme}

explicite

^de

ces deux

signaux

^est

4)

^{TERMES NON} SÉCULAIRES. ^- Nous avons déter- miné les mouvements de

nn’S >/p(n)

^et S >

dans

l’hypothèse F, yH «

^Q. Or la référence

[6]

montre

qu’il

^est intéressant de considérer le cas où cette condition n’est pas exactement réalisée :

La détermination du mouvement de

nn’S

> dans

ces conditions est

compliquée.

^{Nous nous contente-}

rons

simplement

de la correction au

premier

^ordre

en

r/03A9.

^{Elle est calculée en}

appendice.

^{On en tire}

la correction

Sx >(1)

^{au mouvement de}

Sx

> :

Les fonctions

Nl, Cl, N2, C2

^sont des fonctions

périodiques

^du

temps,

^faisant intervenir toutes les

fréquences Sl, 2 03A9 ,

^...,

nQ,

^{... Elles sont}

explicitées

en

appendice.

^{Le mouvement de}

Sx >(1) présente

les

caractéristiques

suivantes :

-

Sx >(1)

^{ne contient aucune}

composante statique.

^Il

n’y

^{a donc} pas de correction au terme sta-

tique

d’effet Hanle calculé

plus

^haut.

-

Sy >(1)

^{n’a aucune}

composante

^{modulée uni-}

quement

^{à ce et ses}

harmoniques (Nl, Cl, N2, C2

n’ont _pas de

partie statique).

^Le

signal

^{de résonance}

paramétrique produit

par

Hl

^{cos wt} n’est pas affecté.

- Par contre des termes

apparaissent

^{à la fré-}

quence Q et à ses

harmoniques.

^Ainsi

Sx > 03A9,

^le

signal

de résonance

paramétrique produit par Je1

cos

Qt,

^est modifié d’une

quantité

On

peut

toutefois remarquer que

sont en

quadrature,

^ce

qui permet

^{de les}

séparer.

-

Sx >(1)

^modifie

également

les modulations

aux

fréquences

² pw + nQ. Mais en

plus

^{il fait} appa- raître des modulations aux

fréquences (2 p

⁺

1)

^{ro + nQ.}

Par

exemple

^{la modulation}

présente l’avantage d’avoir,

^en

champ ^faible,

^une

amplitude proportionnelle

^à

H,,.

^Son utilisation a été discutée dans la référence

[6].

Conclusion. ^- En utilisant le formalisme de l’« atome

habillé »,

nous avons mis en évidence le lien très étroit

qui

^{existe entre} l’effet Hanle et les réso-

nances

paramétriques

^en

champ

^nul. Bien que les situa- tions

expérimentales

soient très

différentes,

^on

peut

effectivement considérer les résonances

paramétriques

comme des résonances Hanle obtenues par le

système

« atome +

champ

^de

radiofréquence

^{». Nous en}

avons déduit très

simplement l’expression

^des

signaux

observés dans toutes les situations

expérimentales possibles,

^en

particulier quelle

que soit la direction relative du

champ statique

^{et du}

champ

^{RF. Ce}

point

de vue a en outre

l’avantage

^de

permettre

^{un calcul}

rigoureux

de situations

plus complexes

où intervien- nent deux

champs

^de

radiofréquence.

Toutes les situa- tions

expérimentales

que nous avons

envisagées

^ont

un intérêt

pratique :

^{nous les avons utilisées par}

ailleurs dans des

dispositifs permettant

^{de mesurer}

avec une

grande

sensibilité les 3

composantes

^d’un

champ magnétique.

Je tiens à remercier vivement C.

Cohen-Tannoudji

pour ^ses conseils et les nombreuses discussions _que

nous avons eues au

sujet

^{de cet article.}

Appendice.

^{- Effet des termes non} séculaires dans la résonance

paramétrique

^en

champ

^{nul. - Le mou-}

vement

de nn’8 >/p(n)

^est

identique

^{à celui de la}

valeur moyenne K d’un

spin

^{« nu » dans une}

expérience

de

^résonance

paramétrique induite

^{par les}

^champs

Jc1

^{cos Qt}

(parallèle

^à

Oy)

^et

^H,

^{avec un} pompage défini par

eXs/Tp.

Nous nous

contenterons

de calculer les corrections d’ordre 1 en

r/03A9

^et

yH/03A9 qu’il

^faut

^apporter

^{à la}

solution

K(o)

calculée _pour

F, yH « Q,

du fait que cette condition _{n’est pas} exactement réalisée. Le calcul

peut

^être fait soit en traitant

quantiquement

^{le 2e}

champ

^de

RF,

^{soit en} le traitant

classiquement.

Nous ne donnons _{ici que} cette dernière méthode.

K+ = KZ + iKx

^et

Ky

^sont déterminés _par le _sys- tème

d’équations intégrales

^suivant

(voir

par

exemple l’appendice

^{de la référence}

6).

D’après le § III,

³⁰

K(O)

est solution de

(Ap. 1) lorsqu’on néglige

^dans

l’intégration

des seconds membres tous les termes modulés aux

fréquences pQ.

Ils donnent en effet des termes de l’ordre de

1/03A9.

Ces termes, calculés ^à

partir

^de

K(O)

^sont

précisé-

ment la correction à l’ordre

1, K(l). L’intégration

n’est pas difficile et on

obtient,

^en

ne gardant ^partout

que les termes d’ordre 1 en

r/D

^et

yH/03A9

En

regroupant

^{les termes :}

où

Ci

^et

C2

^ne contiennent _{que des} modulations

impai-

res ;

N1

^et

N2

que des modulations

paires.

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