IUP GCI 1 2002/2003 A.Mizrahi
Géométrie et calcul matriciel TD 5
Exercice 1: Une matrice carréeM est dite orthogonale sitM M =I.
a) Montrer que siM est orthogonale alors pour toute matrice colonneX on akM Xk=kXk.
b) Montrer la réciproque de ce qui précède c’est à dire qu’une matrice qui vérifiekM Xk=kXk pour toute matrice colonneXest une matrice orthogonale.
c) Donner une interprétation géométrique des matrices orthogonales.
d) Montrer que les valeurs propres réelles d’une matrice orthogonale appartiennent à{1;−1}.
e) Montrer que le déterminant d’une matrice orthogonale est égal à±1.
f)Dans le cas des matrices2×2montrer en utilisant le polynôme caractéristique que pour une matrice orthogonaleM de déterminant égal à -1, il existeP telle que
M =P
1 0 0 −1
P−1 Par contre si le déterminant vaut 1, montrer qu’il existeθtel que :
M =
cos(θ) −sin(θ) sin(θ) cos(θ)
g) Donner une interprétation géométrique de ce qui précède.
Exercice 2: Un invariant important la trace.
SoitM une matrice carrée on appelle trace deM la somme des éléments diagonaux deM. On la note tr(M).
a) Calculer la trace des matrice suivantes :
A= −6 6
−12 11
!
B = 8 −4 9 −4
! C =
3 −3 3 2 −1 0 1 −2 3
b) Montrer que pour deux matrices carréesAetBon a tr(AB) =tr(BA).
Exercice 3: (suite des deux exercices précédents pour les matrices3×3) SoitM une matrice3×3orthogonale. On notef(X) = M X.
a) Montrer que 1 ou -1 est une valeurs propres deM, notonscette valeur propre. On note F = (E)⊥l’orthogonal du sous espace propre associé à la valeur propre.
b) SiM est diagonalisable dansRquelles sont les diagonales possibles. sinon c) Montrer que siX ∈F alorsM X ∈F.
d) Montrer que siX ∈EalorsM X ∈E.
e) Soit−→u un vecteur propre deEet(−→v ,−→w)une base deF, montrer que la matrice def dans la baseu,v,west de la forme :
0 0 0 a b 0 c d
f) Montrer que la matrice
a b c d
est une matrice orthogonale. En conclure qu’il existe une base
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dans laquelle la matrice def est
0 0
0 cos(θ) −sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ)
g) Classer les matrices orthogonales3×3interprétation géométrique.
h) Montrer à l’aide des exercices précédents que la matriceAest la matrice d’une rotation, puis déterminer son angle à l’aide de la trace.
A=
√1 3 −√1
2
√1 1 6
√3
√1 2
√1 1 6
√
3 0 −2√
6
Exercice 4: Résoudre les systèmes linéaires suivants d’inconnues(x,y)ou(x,y,z):
S1 :
mx+ny = mn
nx+my = n2 S2 :
x+y+ 2z = m 3x+ 2y−z = 1 x+ 2y−z = 1
S3 :
x−y+mz = 1 x+y−z = 0 x−y−z = −1
S4 :
x+y+mz = m x+my−z = 1 x+y−z = 1
Exercice 5: Déterminer une base orthonormale de vecteurs propres de la matriceAsuivante :
A=
2 2 −2 2 2 −2
−2 −2 6
Exercice 6: SoitC la conique d’équation2x2+ 3xy+y2 = 5montrer que cette équation peut se mettre sous la forme
(x y)A x
y
oùAest une matrice symétrique. Déterminer une matrice orthogonaleP telle quetP AP soit
diagonale. En déduire une base orthonormale du plan dans laquelle l’équation deC est réduite, c’est à dire de la forme
x2 a2 ±y2
b2 = 1 .
Exercice 7: Parmi les matrices suivantes lesquelles sont orthogonales :
A= −1 1 1 1
! B =
√3 2
1 1 2
√ 2
√1 2
!
C = 1
√6
√2 √
3 √
√ 3
2 −√ 3 0
√2 0 −√ 3
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