L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚8
Fonctions circulaires et (in)´ equations trigonom´ etriques
Exercice 114 : Sachant que x∈hπ 2, πi
et que sin(x) =1
5, donner, la valeur exacte de cos(x) et tan(x).
Exercice 115 : R´esoudre dansRles ´equations suivantes.
(E1) : cos(x) =−
√3
2 (E2) : sin(5x) =
√2 2 (E3) : cos
2x−π 2
= cosπ 4 −x
(E4) : cos(7x) =−sin(3x)
Exercice 116
1. R´esoudre dans ]−π, π], puis dansR, l’in´equation :
I1 : cos(x)>1 2. 2. R´esoudre dansi
−π 2,π
2
i, puis dansR, l’in´equation :
I2 : sin(2x)≤ −
√ 2 2 .
Exercice 117
1. R´esoudre dansRl’´equation cos2(x)−sin2(2x) = 0.
2. R´esoudre dans [0; 2π[ l’in´equation 2 cos2(x)−3 cos(x) + 1≥0.
3. R´esoudre dans ]−π, π] l’in´equation 4 cos2(x) + 8 sin(x)<7.
Exercice 118
1. Montrer que 2 est racine du polynˆomeP = 2X3−4X2−X+ 2.
2. R´esoudre dansRl’´equation :
2x3−4x2−x+ 2 = 0.
3. En d´eduire l’ensemble des solutions r´eelles de l’´equation :
2 sin3(x)−4 sin2(x)−sin(x) + 2 = 0.
F Exercice 119
1. (a) D´eterminer l’ensemble solutionS1 ⊂R de l’´equation cos(x) = 0 et l’ensemble solution S2 ⊂R de l’´equation cos(2x) = 0.
(b) Donner une expression de cos(2x) en fonction de tan(x) pourx∈R\ S1. (c) Donner une expression de sin(2x) en fonction de tan(x) pourx∈R\ S1.
(d) Donner une expression de tan(2x) en fonction de tan(x) pourx∈(R\ S1)∩(R\ S2).
2. D´eduire de ce qui pr´ec`ede la valeur de tanπ 12
.
1
Exercice 120
1. Soitx∈R. Exprimer cos2(x) en fonction de cos(2x).
2. Montrer que cosπ 8
= r1
2 +
√2
4 et sinπ 8
= r1
2−
√2 4 . 3. Montrer que cosπ
16
= s
1 2 +1
2 r1
2 +
√ 2 4 .
F Exercice 121 : Le but de cet exercice est de r´esoudre, dansR, l’´equation (E) : cos(x) =
√6 +√ 2
4 .
1. Calculer la valeur de sin2(x), puis celle de sin2(2x), lorsquexest solution de (E).
2. En d´eduire l’ensemble des solutions de (E).
Exercice 122 : R´esoudre dansRles ´equations suivantes.
(E1) : √
3 cos(x)−sin(x) =√
2 (E2) : cos(x) + sin(x) = 2√
2 (E3) : sin(x)−cos(x) =
√6 2
Exercice 123
1. Soient pet qdeux nombres r´eels. Montrer que : cos(p) + cos(q) = 2 cos
p+q 2
cos
p−q 2
et sin(p) + sin(q) = 2 sin p+q
2
cos p−q
2
.
Indication : on pourra utiliser les relations p= p+q
2 +p−q
2 etq=p+q
2 −p−q 2 . 2. R´esoudre dansRles ´equations suivantes.
(E1) cos(7x) + cos(3x) = cos(2x) (E2) : sin(x) + sin(5x) = sin(3x)
Exercice 124 1. Montrer que cos
16π 7
= cos 2π
7
.
2. En d´eduire lequel des deux nombres cos 16π
7
et cos 3π
8
est le plus grand.
Indication : on pourra commencer par comparer 2π 7 et 3π
8 . Exercice 125 : Soitf la fonction d´efinie surRpar :
f:R→R , x7→sin(3x).
SoitCf sa courbe repr´esentative dans un rep`ere (O;−→ i ,−→
j) du plan.
1. Montrer que la fonction f est impaire. Que peut-on en d´eduire pour la courbe Cf? 2. Calculerf(0), f(π),fπ
3
,fπ 6
,fπ 12
. 3. Montrer que :
∀x∈R f(x) =f
x+2π 3
. Que peut-on en d´eduire pour la fonctionf?
4. Montrer que la fonction f est strictement croissante surh 0,π
6 i
et strictement d´ecroissante sur hπ 6,π
3 i
. 5. Tracer la courbe repr´esentative def sur l’intervalleh
0,π 3 i
. En d´eduire la courbe repr´esentative def sur l’intervalle [−π, π].
2
