un anneau et C la partie de A d´efinie par : C ={x∈A/∀a∈A, xa=ax} 1

D´epartement de formation pr´eparatoire

Module Alg`ebre 1 AU :2017/2018

dur´ee : 2 heures

Corrig´e de l’´epreuve finale num´ero 1

Exercice 1 (6 pts). Soient E un ensemble non vide, A, B ∈ P(E) et f :E →F une application.

Les propositions suivantes sont elles vraies ou fausses :

1. f(A∩B) = f(A)∩f(B) fausse 2pts

2. P ∈R[X] avec degP impair ⇒P poss`ede au moins une racine r´eelle vraie 2pts 3. Card(A∪B) +Card(A∩B) =Card(A) +Card(B) vraie 2pts Exercice 2 (5 pts). Soit (A,+, .) un anneau et C la partie de A d´efinie par :

C ={x∈A/∀a∈A, xa=ax}

1. Montrer que : C est un sous groupe de (A,+)

´el´ement neutre

∀a∈A,0a=a0 = 0⇒0∈C 1pt

Stabilit´e

Soient x, y ∈C ⇒ ∀a∈A, xa=ax etya=ay

⇒xa+ya =ax+ay ⇒(x+y)a=a(x+y)⇒x+y∈C 1pt sym´etrique

Soit x∈C ⇒ ∀a ∈A, xa=ax ⇒ −xa =−ax⇒(−x)a=a(−x)⇒ −x∈C 1pt 2. En d´eduire que C est un sous anneau de (A,+, .)

´el´ement neutre

∀a∈A,1a=a1 =a⇒1∈C 1pt

Stabilit´e

Soient x, y ∈C ⇒ ∀a∈A, xa=ax etya=ay

⇒(xy)a =x(ya) =x(ay) = (xa)y = (ax)y=a(xy)⇒xy∈C 1pt

1

Exercice 3 (4 pts). Soient b ∈R etP ∈R[X] avec P(X) = X³+ (b−2)X²−(1 + 2b)X+ 2 1. V´erifier queP admet au moins une racine enti`ere α

On peut remarquer que P(2) = 2³+ (b−2)2² −(1 + 2b)2 + 2 = 0 1pt 2. Factoriser le polynome P dans R[X]

P(2) = 0⇒(X−2) divise P(X) 0.5pt

En utilisant la division euclidienne on obtient :

P(X) = (X−2)(X²+bX−1) 0.5pt

∆ =b²+ 4 >0⇒α₁ = −b+√ b²+ 4

2 et α₂ = −b−√ b²+ 4

2 0.5pt

P(X) = (X−2)(X−α₁)(X−α₂) 0.5pt

3. On d´efinit l’application :

f :R → R x 7→ P(x) En d´eduire que f n’est pas injective.

P(α₁) =P(α₂) = 0 etα₁ 6=α₂ donc f n’est pas injective 1pt

Exercice 4 (5 pts). Soit F(X) = 1

(X−1)³(X² + 3X+ 2)

1. Former la d´ecomposition en ´el´ements simples de la fractionF.

X²+ 3X+ 2 = (X+ 1)(X+ 2) 0.5pt

⇒F(X) = k₁

(X−1) + k₂

(X−1)² + k₃

(X−1)³ + k₄

(X+ 1) + k₅

(X+ 2) 1pt

Calcul de k₅

(X+2)F(X) = 1

(X−1)³(X+ 1) = (X+2)

k1

(X−1) + k2

(X−1)² + k3

(X−1)³ + k4

(X+ 1)

+k₅

X =−2⇒ k₅ = 1

27 0.5pt

Calcul de k4

(X+1)F(X) = 1

(X−1)³(X+ 2) = (X+1)

k₁

(X−1) + k₂

(X−1)² + k₃

(X−1)³ + k₅ (X+ 2)

+k₄

X =−1⇒ k₄ = −1

8 0.5pt

Calcul de k₃

(X−1)³F(X) = 1

(X²+ 3X+ 2) =k₁(X−1)²+k₂(X−1)+k₃+(X−1)³

k₄

(X+ 1) + k₅ (X+ 2)

X = 1⇒ k₃ = 1

6 0.5pt

Calcul de k₂

[(X−1)³F(X)]⁰ = −(2X+ 3)

(X²+ 3X+ 2)² = 2k1(X−1) +k2+

(X−1)³

k4

(X+ 1) + k5

(X+ 2) 0

X = 1⇒ k₂ = −5

36 0.5pt

2

Calcul de k₁

(X−1)³F(X)00

= −2(X²+ 3X+ 2)²+ 2(2X+ 3)²(X²+ 3X+ 2) (X²+ 3X+ 2)⁴

= −2(X²+ 3X+ 2) + 2(2X+ 3)² (X²+ 3X+ 2)³

= 2k1+

(X−1)³

k₄

(X+ 1) + k₅ (X+ 2)

00

X = 1⇒2k₁ = ³⁸₆3 ⇒ k₁ = 19

6³ 0.5pt

2. En d´eduire un couple (U, V)∈R[X]² tel que : (X−1)³U(X) + (X²+ 3X+ 2)V(X) = 1

F(X) = 1

(X−1)³(X²+ 3X+ 2) = k₁

(X−1)+ k₂

(X−1)² + k₃

(X−1)³ + k₄

(X+ 1) + k₅ (X+ 2)

= k₁(X−1)²(X²+ 3X+ 2) +k₂(X−1)(X²+ 3X+ 2) +k₃(X²+ 3X+ 2) (X−1)³(X²+ 3X+ 2)

+k₄(X−1)³(X+ 2) +k₅(X−1)³(X+ 1) (X−1)³(X²+ 3X+ 2)

Par identification, on obtient : h

k4(X+ 2) +k5(X+ 1) i

(X−1)³+ h

k1(X−1)²+k2(X−1) +k3

i

(X²+ 3X+ 2) = 1 1pt

3