E583. Les extrêmes se rapprochent
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Soit E un ensemble de 13 entiers positifs distincts. Pris deux à deux ils sont relativement premiers entre eux. La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus petite valeur possible d. Déterminer d et donner un exemple de l’ensemble E.
PROPOSITION Th Eveilleau
Meilleure solution trouvée avec une différence d=32.
Il existe d’ailleurs plusieurs ensembles possibles.
Voici un ensemble possible :
17 ; 19 ; 23 ; 25 ; 27 ; 29 ; 31 ; 32 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 49 Quelques explications :
Pour trouver une solution, on choisit des nombres premiers les plus rapprochés possibles.
Jusqu’à 100, ils ont deux à deux un écart de moins de 7, sauf 89 et 97.
Les écarts ensuite grandissent de plus en plus : les nombres premiers sont de plus en plus rares.
Je choisis d’abord des nombres premiers les plus petits possibles ayant un écart minimum.
Je choisis un maximum de nombres premiers jumeaux (distants de 2).
Comme on ne peut prendre qu’un seul nombre pair, je ne peux obtenir que deux nombres consécutifs.
L’écart entre les autres nombres sera au moins de 2.
J’intercalerai entre eux, des nombres dont les facteurs seront les plus petits nombres premiers non encore choisis : 2 ; 3 ; 5 ; 7.
En utilisant des puissances de ces nombres (et non pas des produits obtenus avec deux nombres premiers) je vais obtenir plus de possibilités pour intercaler entre les nombres premiers choisis, des nombres des nombres relativement premiers entre eux.
Exemples
. je choisis les 10 nombres premiers dont la différence est 32 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
Alors je peux intercaler entre 11 et 41 : 25 = 32 ; 33 = 27 ; 5² = 25.
11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 25 ; 27 ; 29 ; 31 ; 32 ; 37 ; 41 ; 43 d = 32
.On peut décaler en choisissant cette fois seulement 8 nombres premiers donnant d =30 : 13 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43
Alors on doit intercaler des nombres obtenus avec 25 = 32 ; 33 = 27 ; 5² = 25 et 7²=49 puis 11² = 121 Cela ne marcha pas d>32.
.On peut choisir 9 nombres premiers à partir de 13 MAIS d =34 : 13 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47
Cela ne marche pas d>32. .Autre possibilité :
.Choisir 9 nombres premiers donnant d =30 : 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47
Alors on doit intercaler 5 nombres obtenus avec 25 = 32 ; 33 = 27 ; 5² = 25 et 7²=49
17 ; 19 ; 23 ; 25 ; 27 ; 29 ; 31 ; 32 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 49 Cela donne d=32.
Nous n’avons plus d’autre possibilité : soit l’écart entre les nombres premiers choisis sera plus grand que 32, soit nous n’avons pas assez de nombres premiers plus petits dont les puissances ou les produits sont exploitables dans les limites d’un écart de 32.
Ainsi avec
. 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 Avec 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 et 17 , si on remet 17, on obtient le cas précédent, sinon on peut intercaler : 2*17= 34 ; 3*11 = 33 ; 5*7 = 35. Nous n’avons pas assez de couples possibles.
. 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 Avec 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19.
On peut intercaler : 2*19= 38 ; 3*17 = 51 ; 5*11= 55. Nous n’avons pas assez de couples possibles et on est déjà à d=32….
