D315 Une sphère dans un tétraèdre [**** à la main]
Solution
Soient A,B,C et D les sommets du tétraèdre. On suppose que la sphère S touche la face ABC au point I qui est à l’intersection des bissectrices, la face BCD en H qui est l’orthocentre et la face ACD en G qui est le point d’intersection des médianes.
Soient les angles u = IAB =IAC, v = IBC = IBA et w = ICA = ICB.
Les triangles IAC et GAC sont égaux car AC est un côté commun et les côtés AG et AI d’une part et CG et CI d’autre part sont tangents à S et sont donc égaux deux à deux. De la même manière, les triangles IBC et HBC sont égaux.
On en déduit que GAC = u, HBC = v et GCA = HCB = w
Comme u + v + w = 90° et que BH, CH et DH sont les hauteurs du triangle BCD, il en résulte
HBD = HCD = u, HDC = v et HDB = w.
Comme les triangles GCD et HCD sont égaux, on obtient GCD = u et GDC = v.
Soit P le pied de la médiane issue de D sur AC. Comme DPC = 180° - GCD - GCD-
GCA = 180° – u – v – w = 90°, DP est médiane et hauteur à la fois. Donc ADC est isocèle de sommet D et AD = DC et
GAC = GCA, ce qui entraîne u = w et la droite CH est la bissectrice de l’angle BCD.
D’où BC = CD.
De la même façon, on a AB = BC. Le triangle ACD est donc équilatéral et v = 30°. Il en est de même des angles u et w égaux eux aussi à 30°. Les triangles ACB et BCD sont alors équilatéraux, ce qui prouve que les six côtés du tétraèdre sont de même longueur et le tétraèdre ABCD est régulier.
