Problème : Le théorème de d’Alembert-Gauss 1. Rappeler l’énoncé du théorème de d’Alembert-Gauss
Dans ce problème, on se propose de le démontrer. Pour ce faire, on fixe P ∈ C[X]non constant de degrép. NotonsP =
p
P
k=0
akXk etP =n
|Pe(z)|/ z ∈Co . 2. Existence de α= infP.
(a) Montrer queP admet une borne inférieure que l’on noteraα.
(b) Supposons quez soit de module r >0, montrer l’inégalité
|Pe(z)|>|ap|rp−
p−1
X
k=0
|ak|rk.
(c) En déduire que lim
|z|→+∞
|Pe(z)|= +∞.
(d) En déduire qu’il existe M >0 tel que infP = infn
|Pe(z)|/ |z|6Mo .
3. Montrons queα est atteint.
(a) Montrer qu’il existe une suite complexe(un) telle que
∀n∈N, |un|6M et lim
n→+∞|Pe(un)|=α.
(b) En déduire qu’il existe une sous-suite de(un)convergente. On notera z0 sa limite.
(c) Montrer que|Pe(z0)|=α et conclure.
4. Montrons queα = 0.
Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose queα >0. On considère alors le polynôme Q= P(XP(z+z0)
0) .
(a) Montrer queinf n
|Q(z)|e / z∈C o
=|Q(0)|= 1.
(b) Montrer qu’il existe q∈ {1,· · · , p} etbq6= 0 tels que
Q=
p
X
k=q+1
bkXk −bqXq+ 1.
(c) On pose bq = ρe−iθ avec ρ > 0 et θ∈ R. Pourz = reiθq, avec r > 0, montrer qu’il existe r0 >0 tel que
∀r6r0, |Q(z)| −e 16−ρrq+
p
X
k=q+1
|bk|rk.
(d) En déduire que α= 0.
5. En déduire le théorème de d’Alembert-Gauss.
* * * FIN DU SUJET * * *
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