Montrer queRn− {a} a le type d’homotopie de la sph`ereSn−1

Universit´e Paris Diderot Topologie alg´ebrique – Ann´ee 2014-15 M1 math´ematiques

Feuille 11

Applications de l’homologie

1.a. Soitnun entier≥0. Montrer que la sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan deRⁿ⁺¹ induit une application de degr´e−1 surSⁿ.

1.b. Soitf une isom´etrie lin´eraire deRⁿ⁺¹. Montrer quef induit surSⁿ une application de degr´e det(f).

1.c. Retrouver le fait que le degr´e de l’application antipodale deSⁿ est (−1)ⁿ⁺¹. 2.a. Rappeler ce que sont les groupes d’homologie des sph`eres.

2.b. Soitnun entier≥0. Soita∈Rⁿ. Montrer queRⁿ− {a} a le type d’homotopie de la sph`ereS<sup>n−1</sup>. 2.c. Soitmun entier≥0 et distinct den. MontrerR<sup>n</sup> n’est pas hom´eomorphe `aR^m.

3. Soit n un entier ≥ 0. Posons H_n = Rⁿ⁻¹×[0,+∞[ (un “demi-espace”). Le “bord” ∂H_n de H_n est Rⁿ⁻¹× {0}. Soithun hom´eomorphismeH_n→ H_n.

3.a. Soita∈ H_n−∂H_n. Montrer queH_n−aa le type d’homotopie de la sph`ere Sⁿ⁻¹.

3.b. Soitx∈∂Hn. Montrer qu’on a des isomorphisme de groupes H_n−1(Hn−x,Z)→H_n−1(Hn−h(x),Z).

3.c. Montrer queHn− {x} est contractile.

3.d. En d´eduire queh(x)∈∂Hn, et donc queh(∂Hn)⊂∂Hn. 3.e. Montrer queHn n’est pas hom´eomorphe `aRⁿ.

4. Soitnun entier pair≥0. SoitGun groupe discret qui agit librement et continument sur la sph`ereSⁿ. 4.a. Soitg∈G. Montrer que le degr´e de l’hom´eomorphismex7→g.xest 1 ou−1.

4.b. Supposons queg n’est pas l’´el´ement neutre deG. Montrer quex7→g.x n’a pas de point fixe. Quel est le degr´e de cette application ?

4.c. En d´eduire qu’on a un homomorphisme de groupesφ: G→ {−1,1}, tel que φ(g) =−1 sig n’est pas l’´el´ement neutre deG.

4.d. En d´eduire queGposs`ede un ou deux ´el´ements. Le dernier cas peut-il se produire ?

4.e. Donner un exemple de groupe d’ordre 2015 agissant librement et continuement sur la sph`ere S^m, avec mentier impair.

5. Soit n un entier ≥ 0. Soient U un ouvert de Rⁿ et A une partie de Rⁿ. Soit f : A → U un hom´eomorphisme.

5.a. Donner un exemple de la situation suivante : X est un espace topologique,Y et U sont des parties de X hom´eomorphes,U est ouvert dansX, maisY ne l’est pas.

5.b. Montrer queRⁿ est hom´eomorphe `a la sph`ereSⁿ priv´ee d’un pointN, et que cela identifie les ouverts deRⁿ aux ouverts deSⁿ qui ne contiennent pasN.

5.c. Soitx∈A. Montrer qu’il existe une boule ferm´ee B de centref(x), de rayon>0 et contenue dansU. Notons∂B le bord deB.

5.d. Montrer quef⁻¹(∂B) est une partie deSⁿ hom´eomorphe `aSⁿ⁻¹. 5.e. Montrer queSⁿ−f⁻¹(∂B) a deux composantes connexes.

5.f. Montrer que ces composantes connexes sontf⁻¹(B−∂B) et Sⁿ−f⁻¹(B).

5.g. En d´eduire quex∈f⁻¹(B−∂B).

5.h. En d´eduire queAest un ouvert deSⁿet donc deRⁿ. (On a montr´e que toute partie deRⁿhom´eomorphe

`

a un ouvert deRⁿ est ouverte dansRⁿ. C’est leth´eor`eme de l’invariance du domaine.)

6. Soient n et m des entiers ≥ 0, avec m > n. Soit A une partie de Rⁿ. Soit φ : [0,1]^m → A un hom´eomorphisme hypoth´etique. NotonsU l’image de ]0,1[^m parφ.

6.a. Soitx∈]0,1[^m. Montrer qu’il existeV ⊂]0,1[^mcontenantxet telle queV est hom´eomorphe `a ]0,1[<sup>n</sup>. 6.b. Montrer queφ(V) est ouvert dansR<sup>n</sup> (voir le th´eor`eme de l’invariance du domaine).

6.c. En d´eduire queU est ouvert dansRⁿ.

6.d. Montrer qu’on a H_n(U, U−φ(x),Z)'H_n(Rⁿ,Rⁿ−φ(x),Z).

6.e. Montrer qu’on a H_n(]0,1[^m,]0,1[^m−{x},Z) = 0.

6.f. Conclure qu’aucune partie deRⁿ n’est hom´eomorphe `a [0,1]^m.