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(O ; i^→^→^→^→ , j^→^→^→^→ ) est un repère orthonormal du plan.

1.a. tracer la courbe représentative CCCC_gde la fonction g définie sur IR par g(x) = x² − x.

La construction de C_g ne pose pas de problème mais il faut donner un minimum d’informations…

C_g est une parabole, « tournée vers le haut » puisque le coefficient de x² est positif.

C_gcoupe l’axe (O ; i^→ ) en 0 et 1 (racines de x² − x) et a pour sommet le point de coordonnées (1/2 ;−1/4).

b. P est la fonction polynôme définie sur IR par P(x) = 2x³ + 3x² − 5.

Vérifier que pour tout réel x, P(x) = (x – 1)(2x² + 5x + 5). Il suffit de développer ce produit … et d’obtenir P(x).

en effet : (x − 1)(2x² + 5x + 5) = … = … = 2x³+ 3x² − 5 = P(x) En déduire le signe de P(x).

2x² + 5x + 5 a pour discriminant ∆ = −15 et donc ∀x∈IR, 2x² + 5x + 5 > 0 (car 2 > 0 …) donc P(x) est du signe de x − 1

c'est à dire : pour x < 1, P(x) <0 pour x = 1, P(x) = 0 pour x > 1, P(x) > 0

2. f est la fonction définie sur IR\{−−−−1}par f(x) = x³- x + 4

x + 1 , CCCC_f est sa courbe représentative.

a. Dresser le tableau de variation de f. Il faut calculer la dérivée de f et étudier son signe.

f étant une fonction rationnelle elle est dérivable dans son domaine de définition IR\{−1}.

f’(x) = (3x²-1)(x+1) - (x³- x + 4)

(x+1)² = 3x³+ 3x²- x - 1 - x³ + x - 4

(x+1)² = 2x³+ 3x²- 5 (x+1)² = P(x)

(x+1)² (x+1)² > 0 donc f’(x) a le signe de P(x) étudié au 1. b.

On en déduit le tableau de variation de f : Etude des limites de f :

Quand x → ±∞ f(x) se comporte comme x³/x c’est à dire x² d’où lim_x→_→_→+∞_→ f(x) = +∞∞∞∞ et lim_x→_→_→-∞_→ f(x) = +∞∞∞∞

Quand x → −1, x³− x + 4 → 4 et x+1 → 0 donc f(x) → ∞ à préciser suivant le signe de x+1.

lim_x→

→→

→-1- f(x) = −−−−∞∞∞ et lim∞ _x→_→_→_→-1+ f(x) = +∞∞∞∞ on en déduit que la droite d’équation x = −1 est asymptote à C_f . b. Trouver les réels a, b et c tels que pour tout réel x ≠ −1, f(x) = ax² + bx + c

x+1 ax² + bx + c

x+1 = ax³+ ax²+ bx²+ bx + c

x+1 = ax³+ (a+ b)x²+ bx + c

x+1

∀ x ≠ −1, ax³+ (a+ b)x²+ bx + c

x+1 = f(x) ⇔ ax³ + (a + b)x² + bx + c = x³ – x + 4

ces deux polynômes sont les mêmes pour tout x ≠ −1 si les coefficients des monômes de même exposant sont égaux.

par identification on obtient :



 

^{a = 1}_{a + b = 0}

b = -1 c = 4

d’où

 



^{a = 1}

b = -1 c = 4

et donc f(x) = x² − x + 4

x+1 = g(x) + 4 x+1

c. Montrer que lim_x→_→_→+∞_→ (f(x) – g(x)) = 0 et lim_x→_→_→-∞_→ (f(x) – g(x)) = 0 d’après b. f(x) − g(x) = 4

x+1 et quand x → ±∞, x+1 → ∞ et donc 4 x+1 → 0 donc lim

x→+∞ (f(x) - g(x)) = 0 ce qui indique que : en +∞, C_f se rapproche infiniment de C_g. et lim_x→-∞ (f(x) - g(x)) = 0 ce qui indique que : en −∞, C_f se rapproche infiniment de C_g.

d. Etudier la position de CCCC_f par rapport à CCCC_g.

La position de C_f par rapport à C_g est donnée par le signe de f(x) − g(x) c’est à dire de 4 x+1 or 4

x+1 a le signe de x+1 et donc : pour x < −1, C_f est « en dessous » de C_g. pour x > −1, C_f est « au dessus » de C_g.

x +∞ -1 1 +∞

f ’(x) − − 0 + f (x) +∞

-∞

+∞

2 +∞

(2)

1 1

S Cg

2

-1

e. Tracer la courbe CCCC_f sur le même graphique que CCCC_g. Les courbes C_f et C_gsont asymptotes en –∞ et +∞.