Montrer que fn ∈C0([0,1]

Exercice 1. Calculer

n→∞lim

n

X

k=1

k k² +n². On ´ecrit u_n = Pn

k=1 1

nf(n) o`u f(t) = <sub>1+t</sub><sup>t</sup>2. Comme f ∈ C<sup>0</sup>([0,1]), le th´eor`eme de la convergence des sommes de Riemann assure alors que

n→∞lim un= Z 1

0

f(t)dt= 1

2log(1 +t²) 1

0

= log 2 2 .

Exercice 2. Soit f_n(t) = _n2t²−nt+1ⁿ . Montrer que f_n ∈C⁰([0,1]. Etudiez, limn→∞f_n(t), limn→∞ kfnk∞, limn→∞

R1

0 fn(t)dt.

Comme le discriminant du d´enominateur est ´egal `a −3n<sup>2</sup>, la fonction f<sub>n</sub> est bien d´efinie continue sur [0,1]. Pour t ∈]0,1], f<sub>n</sub>(x) est ´equivalent `a _nt¹2 quand n → ∞, et donc limn→∞f_n(t) = 0. D’autre part f_n(0) = n → ∞, et donc limn→∞ k f_n k∞= ∞. Le changement de variable x=nt donne

In:=

Z 1

0

n t− ¹₂2

+³₄dt= 4 3

Z n

0

1 √2x

3 −^√1

3

2

+ 1 dx.

Le changement de variabley= ^√2x₃ −^√1₃ donne : I_n = 4

3

√3 2

Z ^2n−1√

3

−^√1

3

1

1 +y²dy = 2

√3

arctan2n−1

√3 −arctan

− 1

√3

n→∞−→

√2 3

π 2 +π

6

= 4π 3√

3.

Exercice 3. a. Montrer que pour tout t≥0, on a 0≤ln(1 +t)≤t et que pour tout t≥1, on a 0≤ln(1 +t)≤4t¹⁴.

On compare les fonctions en t = 0 (respectivement t = 1) et on compare les d´eriv´ees

1

1+t ≤1 pour t≥0 (respectivement _1+t¹ ≤ ¹

t³⁴ pour t≥1).

b. En d´eduire que la fonction ln 1 + _x¹2

est int´egrable sur ]0,∞[.

En utilisant la question pr´ec´edente, 0≤ln 1 + _x¹2

≤ _x¹2 assure l’int´egrabilit´e sur [1,∞[

et 0≤ln 1 + _x¹2

≤ ^√4_x assure l’int´egrabilit´e sur ]0,1].

c. A l’aide d’une int´egration par partie, calculer Z ∞

0

ln

1 + 1 x²

dx.

Pour 0 < a < b <∞ on ´ecrit Z b

a

ln

1 + 1 x²

dx =bln

1 + 1 b²

−aln

1 + 1 a²

+ 2

Z b

a

1 1 +x²dx.

1

2

En utilisant la premi`ere question 0≤ bln 1 + _b¹2

≤ ¹_b →0, b → ∞, et 0≤ aln 1 + _a¹2

≤ 4√

a →0,a→0. Comme R∞ 0

1

1+x²dx= ^π₂, on en conclut queR∞

0 ln 1 + _x¹2

dx=π.

Exercice 4. a. Montrer que l’int´egrale Z ∞

0

cosx

√x dx

est convergente.

La fonction f(x) := ^cos√_x^x est continue sur ]0,∞[. En z´ero elle est ´equivalente `ax⁻¹² qui est int´egrable sur ]0, π]. Donc f est int´egrable sur ]0, π]. Une int´egration par parties sur [π, b] donne :

Z b

π

f(x)dx= sinb b + 1

2 Z b

π

sinx x³² dx.

Comme

sinx x³²

≤ x⁻³² qui est int´egrable sur [π,∞[, on en d´eduit que ^sinx

x³² est int´egrable sur [π,∞[, et comme ^sin_b^b → 0 quand b → ∞, on conclut que l’int´egrale de f sur ]0,∞[ est convergente.

b. Montrer que la fonction ^cos√_x^x n’est pas int´egrable sur [1,∞[.

On ´ecrit pour tout entierN ≥2 : Z N π

0

cosx

√x

dx ≥

N−1

X

k=1

Z (k+1)π

kπ

cosx

√x

dx≥

N−1

X

k=1

Z π

0

cosx p(k+ 1)π

dx= 2

√π

N−1

X

k=1

√ 1

k+ 1 → ∞, N → ∞.

Exercice 5. a. Montrer que l’int´egrale Z ∞

0

1 +t² 1 +t⁴dt est convergente.

La fonction ^1+t_1+t²4 est continue sur [1,∞[ et ´equivalente `a t<sup>−2</sup> `a l’infini. Donc elle est int´egrable sur [1,∞[.

b. Calculer sa valeur `a l’aide du changement de variable x = t− ¹_t dont on justifiera l’emploi.

La fonctionϕ: t 7→x=t−¹_t est strictement croissante sur ]0,∞[ carϕ⁰(t) = 1+_t¹2 >0.

Comme lim_t→0ϕ(t) = −∞, et lim_t→∞ϕ(t) = ∞, le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires assure que ϕ est une bijection C¹ de ]0,∞[ sur ] − ∞,∞[. On ´ecrit dx = ^1+t_t2²dt et en

3

remarquant que _1+t^t24 = _x2¹+2, le th´eor`eme de changement de variable donne : Z ∞

0

1 +t² 1 +t⁴dt=

Z ∞

−∞

1

x²+ 2dx= 1

√2 Z ∞

−∞

1

y²+ 1dy= π

√2.