Vitesses de d´eformation

(1)

Vitesses de d´ eformation

(2)

Plan

1 Le champ de gradient des vitesses D´eriv´ees temporelles

Equation locale de conservation de la masse Le tenseur vitesse de d´eformation

Le tenseur vitesse de rotation Exemples : glissement, tourbillon

2 Bilan : vitesses de d´eformation du milieu continu

3 Puissance de d´eformation

Formulation variationnelle de la dynamique des milieux continus

Contraintes nominales, contraintes de Piola–Kirchhoff

4 Le problème de fermeture de la physique des milieux continus Décompte des équations

Formulation des lois de comportement

Changements de référentiel, changement de configuration de référence

(3)

Plan

(4)

Plan

(5)

Retour sur le champ des vitesses

• champ de vitesses

V(X,t) = ∂Φ

∂t(X,t)

• descriptions mat´erielle/spatiale (lagrangienne/eul´erienne) v(x,t) :=V(Φ⁻¹(x,t),t)

plus g´en´eralement

f(x,t) :=F(X,t), avec x = Φ(X,t)

• d´eriv´ee temporelle en suivant le mouvement F˙(X,t) := d

dtF(X,t) = ∂F

∂t(X,t)

= d

dtf(x,t) = ∂f

∂t(x,t) + ∂f

∂x.v(x,t) = ˙f(x,t)

Le champ de gradient des vitesses 5/84

(6)

Le champ de gradient des vitesses

• évolution instantanée d’un vecteur matériel transporté par le mouvement

dx =F_∼.dX

•

z}|{dx

• le tenseur gradient des vitesses

(7)

Le champ de gradient des vitesses

• évolution instantanée d’un vecteur matériel transporté par le mouvement

dx =F_∼.dX

•

z}|{dx =L_∼.dx, avec L_∼=F_∼˙.F_∼⁻¹

• le tenseur gradient des vitesses F˙

∼ = ∂²Φ

∂t∂X(X,t) = ∂²Φ

∂X∂t(X,t)

= GradV(X,t) = (gradv(x,t)).F_∼ L_∼(x,t) =gradv(x,t) =F_∼˙.F_∼⁻¹

(8)

Plan

(9)

Retour sur la conservation de la masse

• évolution instantanée d’un élément de volume dv =J dV, avec J= detF_∼

•

z}|{dv = J˙ J dv

•

z}|{dv =

•

z }| {

[dx₁,dx₂,dx₃]

• ´equation locale de la conservation de la masse

(10)

Retour sur la conservation de la masse

• évolution instantanée d’un élément de volume dv =J dV, avec J= detF_∼

•

z}|{dv = J˙ J dv

•

z}|{dv =

•

z }| {

[dx₁,dx₂,dx₃]

•

z}|{dv dv = J˙

J =traceL_∼=divv

• ´equation locale de la conservation de la masse

˙

ρ+ρdivv = 0

∂ρ

∂t +div(ρv) = 0

“´equation de continuit´e”

(11)

Plan

(12)

Tenseur vitesse de d´ eformations

• évolution instantanée du produit scalaire de deux éléments de fibres matérielles

•

z }| { dx₁.dx₂ =

(13)

Tenseur vitesse de d´ eformations

d’une part...

•

z }| {

dx₁.dx₂=dx₁.L_∼^T.dx₂+dx₁.L_∼.dx₂= 2dx₁.D_∼.dx₂ ... et d’autre part

•

z }| { dx₁.dx₂=

•

z }| {

dX₁.C_∼.dX₂=dX₁.C_∼˙.dX₂= 2dX₁.E_∼˙.dX₂ d’o`u ...

E_∼˙ = 1

2C_∼˙ =F_∼^T.D_∼.F_∼, D_∼ := 1

2(L_∼+L_∼^T) tenseur vitesse de d´eformation ou taux de d´eformation

• taux d’allongement relatif :

dx =kdxk m, m unitaire λ= ^kdx^k

kdXk

(14)

Tenseur vitesse de d´ eformations

d’une part...

•

z }| {

dx₁.dx₂=dx₁.L_∼^T.dx₂+dx₁.L_∼.dx₂= 2dx₁.D_∼.dx₂ ... et d’autre part

•

z }| { dx₁.dx₂=

•

z }| {

dX₁.C_∼.dX₂=dX₁.C_∼˙.dX₂= 2dX₁.E_∼˙.dX₂ d’o`u ...

E_∼˙ = 1

2C_∼˙ =F_∼^T.D_∼.F_∼, D_∼ := 1

2(L_∼+L_∼^T) tenseur vitesse de d´eformation ou taux de d´eformation

• taux d’allongement relatif :

dx =kdxk m, m unitaire ^λ_λ^˙ =

•

z }| { kdxk

kdxk =m.D_∼.m

(15)

Taux de glissement angulaire

Φ

X x

dX₁ dX₂ dx₁

dx₂

• angle de glissement : γ = Θ−θ

˙ γ =−θ˙

•

z }| { dx₁.dx₂=

•

z }| {

kdx₁k kdx₂k cosθ= 2dx₁.D_∼.dx₂ Si θ= ^π₂ `a l’instantt donn´e,

˙ γ =

(16)

Taux de glissement angulaire

Φ

X x

dX₁ dX₂ dx₁

dx₂

• angle de glissement : γ = Θ−θ

˙ γ =−θ˙

•

z }| { dx₁.dx₂=

•

z }| {

kdx₁k kdx₂k cosθ= 2dx₁.D_∼.dx₂ Si θ= ^π₂ `a l’instantt donn´e,

˙

γ = 2m₁.D_∼.m₂ o`u m₁ =dx₁/kdx₁k, m₂=dx₂/kdx₂k

• cas particulier, m₁=e₁, m₂ =e₂ =⇒γ˙ = 2D12

(17)

Directions orthogonales dans le mouvement

• Conséquence 1 : m₁,m₂ 2 éléments de fibres matérielles co¨ıncidant à l’instantt avec 2 directions principales orthogonales de D_∼ restent orthogonales à l’instantt

• Conséquence 2 : Les trièdres de directions matérielles deux à deux orthogonales et qui le restent à l’instant t sont les trièdres des directions matérielles qui co¨ıncident à l’instant t avec les directions principales du tenseur D_∼ des taux de déformation. Lorsque les valeurs propres deD_∼ sont distinctes, un tel trièdre est unique.

(18)

Plan

(19)

Le tenseur vitesse de rotation

• ´evolution d’une direction de fibre mat´erielle dx =kdxkm

˙ m =

• cas où m est parallèle à une direction principale deD_∼

• Cons´equence :

(20)

Le tenseur vitesse de rotation

• ´evolution d’une direction de fibre mat´eriellem =dx/kdxk

˙

m =L_∼.m −(m.D_∼.m)m

• cas où m est parallèle à une direction principale deD_∼ W_∼ :=L_∼−D_∼ = 1

2(L_∼−L_∼^T)

˙

m =W_∼.m =

×

W ∧m tenseur vitesse ou taux de rotation

• Conséquence : Le trièdre orthonormé des vecteurs unitaires portés par les directions matérielles qui co¨ıncident à l’instant t avec les directions principales de D_∼, évolue selon un

mouvement de solide rigide dont le taux de rotation `a l’instant t vaut W_∼.

• Attention : Le tri`edre des directions principales de D_∼ ne tournent pas `a la vitesseW_∼... (voir le cas du glissement simple)

(21)

D´ ecomposition du gradient des vitesses

• vitesse de déformation + vitesse de rotation L∼=D_∼ +W_∼ parties symétrique et antisymétrique

• d´ecomposition polaire

F_∼=R_∼.U_∼

L_∼=F_∼˙.F_∼⁻¹=R_∼˙.R_∼^T +R_∼.U_∼˙.U_∼⁻¹.R_∼^T attention, le dernier terme n’est pas nécessairement symétrique... En général,

W_∼ 6=R_∼˙.R_∼^T

• vecteur vitesse de rotation ∀y, W_∼.y =

×

W ∧y











×

W1=−W₂₃= ¹₂(^∂v_∂x³

2 −^∂v_∂x²

3)

×

W2=−W₃₁= ¹₂(^∂v_∂x¹

3 −^∂v_∂x³

1)

×

W3=−W₁₂= ¹₂(^∂v_∂x²

1 −^∂v_∂x¹

2) ,

×

W = 1 2rotv

(22)

D´ ecomposition du gradient des vitesses

• vitesse de déformation + vitesse de rotation L∼=D_∼ +W_∼ parties symétrique et antisymétrique

• d´ecomposition polaire

F_∼=R_∼.U_∼

L_∼=F_∼˙.F_∼⁻¹=R_∼˙.R_∼^T +R_∼.U_∼˙.U_∼⁻¹.R_∼^T attention, le dernier terme n’est pas nécessairement symétrique... En général,

W_∼ 6=R_∼˙.R_∼^T

• contexte infinit´esimal kH_∼ =Graduk 1⇐⇒F_∼=O(1_∼)

F_∼=1_∼+Gradu =⇒ε_∼= 1

2(H_∼ +H_∼^T), ω_∼ = 1

2(H_∼−H_∼^T) D_∼ ' 1

2(H_∼˙ +H_∼˙^T) =ε_∼˙, W_∼ ' 1

2(H_∼˙ −H_∼˙^T) =ω_∼˙

(23)

Plan

(24)

Mouvement de corps rigide

x =Q

∼(t).X +c(t) v(x,t) =W_∼(t).x +v₀(t) =

×

W(t)∧x +v₀(t) W_∼ =Q_∼˙.Q_∼^T



 v1

v2

v3



=



 v₁⁰ v₂⁰ v₃⁰



+





0 −r q

r 0 −p

−q p 0







 x1

x2

x3



=



 v₁⁰ v₂⁰ v₃⁰



+



 p q r



∧



 x1

x2

x3





(25)

Le glissement simple

[L_∼] =





0 γ˙ 0 0 0 0 0 0 0



 [D_∼] =





 0 γ˙

2 0

˙ γ

2 0 0

0 0 0







[W_∼] =







0 γ˙ 2 0

−γ˙

2 0 0

0 0 0







Remarquer que les directions principales deD_∼ ne tournent pas.

Pour autant,W_∼ n’est pas nul...

(26)

Le glissement simple

[W_∼] =







0 γ˙ 2 0

−γ˙

2 0 0

0 0 0







, [R_∼] =







√ 1

1+(γ/2)²

γ 2√

1+(γ/2)² 0

−γ 2

√

1+(γ/2)²

√ 1

1+(γ/2)² 0

0 0 1







θ˙_W =−γ˙

2, tanθ_R =−γ

2, θ˙_R =−γ˙ 2

1 1 +γ²/4

(27)

Le tourbillon ponctuel

(28)

Le tourbillon ponctuel

(29)

Le tourbillon ponctuel

(30)

Le tourbillon ponctuel

(31)

Le tourbillon ponctuel

(32)

Le tourbillon ponctuel

(33)

Le tourbillon ponctuel

(34)

Le tourbillon ponctuel

(35)

Le tourbillon ponctuel

(36)

Le tourbillon ponctuel

(37)

Le tourbillon ponctuel

(38)

Le tourbillon ponctuel

(39)

Le tourbillon ponctuel

• cin´ematique

v(r, θ,z,t) = Γ 2πre_θ

les lignes de courant sont des cercles de centre O

• gradient des vitesses L_∼=− Γ

2πr²(e_r ⊗e_θ+e_θ⊗e_r)

• la transformation est localement isochore traceD_∼ =divv = 0

• l’´ecoulement est irrotationnel W_∼ = 0

• circulation de v autour de O H

v.e_θrdθ= Γ

(40)

Le vorticim` etre

(41)

Le vorticim` etre

(42)

Le vorticim` etre

(43)

Le vorticim` etre

(44)

Le vorticim` etre

(45)

Le vorticim` etre

(46)

Le vorticim` etre

(47)

Le vorticim` etre

(48)

Le vorticim` etre

(49)

Le vorticim` etre

(50)

Le vorticim` etre

(51)

Le vorticim` etre

(52)

Le vorticim` etre (1)

• directions unitaires caract´erisant le croisillon m₁ et m₂

˙

m1 =L_∼.m₁−(m₁.D_∼.m₁)m₁

˙

m₂ =L_∼.m₂−(m₂.D_∼.m₂)m₂

• Evolution de l’angle entre un axe du croisillon et une direction fixe de l’espace a

−sinϕ₁ϕ˙₁=m˙ ₁.a =a.L_∼.m₁−(m₁.D_∼.m₁)m₁.a Le choix de a n’importe pas si l’on s’int´eresse `a ˙ϕ seulement.

Prenons

ϕ1 = (a =m₂,m₁) =−π

2 =⇒ϕ˙1 =m₂.L_∼.m₁ ϕ2 = (a =m₁,m₂) = π

2 =⇒ϕ˙2 =−m₁.L_∼.m₂

(53)

Le vorticim` etre (2)

• Lorsque l’assemblage est rigide (m₁.m₂ = 0 à chaque instant), sa vitesse de rotation sera la moyenne des vitesses instantanées précédentes :

˙

ϕ = ϕ˙₁+ ˙ϕ₂

2 =m₂.W_∼.m₁

= m₂.(

×

W∧m₁) =

×

W∧(m₁∧m₂) =

×

W .e_z

• La vitesse de rotation du croisillon rigide est exactement donn´ee par le taux de rotation du fluideW_∼. Le vorticim`etre permet de mesurer ce taux de rotation.

• Dans le cas du tourbillon simple,W_∼ = 0. Le vorticim`etre ne tourne pas!

(54)

Plan

(55)

Analogie D

_∼

←→ ε

_∼

vitesse de déformationD_∼ déformations infinitésimalesε_∼ (cas général) (contexte infinitésimal) opérateur

gradient D_∼ =¹₂(gradv + (gradv)^T) ε_∼=¹₂(Gradu + (Gradu)^T) sym´etris´e D_ij =¹₂(v_i,j+v_j,i) ε_ij =¹₂(u_i,j+u_j,i)

variation

de volume

•

z}|{dv

dv =divv =traceD_∼ dv−dV

dV 'Divu =trace_∼ε allongement

relatif

λ˙

λ =m.D_∼.m λ−1'M.ε_∼.M ' ^λ−1_λ

Bilan : vitesses de d´eformation du milieu continu 55/84

(56)

Analogie D

_∼

←→ ε

_∼

vitesse de déformationD_∼ déformations infinitésimalesε_∼ (cas général) (contexte infinitésimal) opérateur

gradient D_∼ = ¹₂(gradv + (gradv)^T) ε_∼=¹₂(Gradu +Gradu) sym´etris´e D_ij =¹₂(v_i,j+v_j,i) ε_ij =¹₂(u_i,j+u_j,i)

variation

de volume

•

z}|{dv

dv =divv =traceD_∼ dv−dV

dV 'Divu =traceε_∼ allongement

relatif

λ˙

λ =m.D_∼.m λ−1'M.ε_∼.M ' ^λ−1_λ

compatibilit´e Dik,jl+Djl,ik εik,jl+εjl,ik

= =

Dil,jk+Djk,il εil,jk +εjk,il

(57)

Autour des vitesses de d´ eformation et de rotation

L∼=F_∼˙.F_∼⁻¹=gradv tenseur gradient des vitesses D_∼:= 1

2(L_∼+_∼L^T) tenseur taux de d´eformation W_∼:= 1

2(L_∼−_∼L^T) tenseur taux de rotation E˙

∼= 1 2 C˙

∼=F_∼^T.D_∼.F_∼

•

z}|{

dx =_∼L.dx élément de fibre matérielle

•

z }| {

dx₁.dx₂= 2dx₁.D_∼.dx₂=dX₁.C_∼˙.dX₂

•

z}|{

dv = (traceL_∼)dv =J˙

Jdv ´el´ement de volume λ(m˙ )

λ(m)=m.D.m taux d’allongement relatif

(58)

Plan

(59)

Plan

(60)

Puissance de d´ eformation

Soitσ_∼(x,t) un champ de contraintes vérifiant les équations locales de la dynamique pour les efforts imposés (cas régulier)

• Puissance des efforts appliqués sur un domaine matérielD ⊂Ω_t P^c(v) +Pê(v) =

Z

∂D

t.v ds+ Z

D

ρf.v dv

Puissance de d´eformation 60/84

(61)

Puissance de d´ eformation

Soitσ_∼(x,t) un champ de contraintes vérifiant les équations locales de la dynamique pour les efforts imposés (cas régulier)

• Puissance des efforts appliqués sur un domaine matérielD ⊂Ω_t P^c(v) +Pê(v) =

Z

∂D

t.v ds+ Z

D

ρf.v dv

• Puissance du champ d’accélération Pâ(v) :=

Z

D

ρa.vdv

• Puissance des efforts int´erieurs Pⁱ(v) :=−

Z

D

σ_∼:D_∼dv, σ_∼:D_∼ ∼MPa.s⁻¹= Wm⁻³

• on a

P^c(v) +P^e(v) +Pⁱ(v) =P^a(v)

− Z

D

σ_∼:D_∼dv+ Z

∂D

t.v ds+ Z

D

ρf.vdv = Z

D

ρa.v dv

(62)

“Principe” des puissances virtuelles

• énoncé (cas régulier) : Le champ des contraintesσ_∼ et d’accélérationa dans un corps matériel soumis aux effortρf et t, vérifient les équations locales de la dynamique si et seulement si la puissance des efforts intérieurs, à distance et de contact équilibre la puissance du champ d’accélération dans tout mouvement virtuelv^? et sur tout sous–domaineD ⊂Ω_t :

Pⁱ(v^?) +P^c(v^?) +P^e(v^?) =P^a(v^?)

− Z

D

σ_∼ :D_∼^?dv+ Z

∂D

t.v^?ds+ Z

D

ρf.v^?dv = Z

D

ρa.v^?dv

• Dans ce cours, il s’agit d’un th´eor`eme mais on peut aussi partir d’un tel principe pour fonder la dynamique des milieux continus.

• Ce théorème est à la base des méthodes énergétiques de résolution, ainsi que des méthodes numériques qui s’en déduisent (Eléments Finis)

(63)

Plan

(64)

Le tenseur des contraintes nominales

Φ

N

n t T_S

• Repr´esentation lagrangienne des ´equations de la dynamique Z

D

ρadv = Z

∂D

σ_∼.nds+ Z

D

ρf dv

Z

D0

ρ0AdV = Z

∂D0

S∼.NdS+ Z

D0

ρ0FdV

• transport d’un ´el´ement de surface nds =J F_∼^−T.NdS

(65)

Le tenseur des contraintes nominales

Φ

N

n t T_S

• Repr´esentation lagrangienne des ´equations de la dynamique Z

D

ρadv = Z

∂D

σ_∼.nds+ Z

D

ρf dv

Z

D0

ρ0AdV = Z

∂D0

S∼.NdS+ Z

D0

ρ0FdV

• le tenseur des contraintes nominales

tds =T_SdS =S_∼.NdS, avec S_∼:=Jσ_∼.F_∼^−T tenseur des contraintes nominales, dit de Boussinesq.

(66)

Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• puissance des efforts int´erieurs Z

D

σ_∼ :D_∼dv = Z

D₀

Π_∼ :E_∼˙dV

(67)

Le tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• puissance des efforts int´erieurs Z

D

σ_∼ :D_∼dv = Z

D₀

Π_∼ :E_∼˙dV Π_∼ =JF_∼⁻¹.σ_∼.F_∼^−T =F_∼⁻¹.S_∼ tenseur des contraintes de Piola–Kirchhoff

• densit´e massique de puissance des efforts int´erieurs σ_∼:D_∼

ρ = Π_∼ :E_∼˙ ρ0

couples de contraintes et d´eformations conjugu´ees

• transport convectif du vecteur traction

T dS :=F_∼⁻¹.tds=F_∼⁻¹.T_SdS=Π_∼.NdS

(68)

Retour sur les transports convectifs

espace tangent

initial espace tangent

actuel

F F ^T F ¹ F^T

dx =F_∼.dX ds =JF_∼^−T.dS

TdS =F_∼⁻¹.tds

T_MdS = F_∼^T.tds

= C_∼.Π_∼.NdS tenseur des contraintes de Mandel

(69)

Plan

(70)

Plan

(71)

Position du probl` eme

• les lois universelles : lois de conservation chercher des champs (ρ,σ_∼,v) tels que

∂ρ

∂t +div(ρv) = 0 divσ_∼+ρf = ρ˙v i.e. 1+3=4 ´equations

nombre d’inconnues : 1 (ρ) + 3 (v_i) + 6 (σ_ij) = 10

il manque 6 ´equations...

Le probl`eme de fermeture de la physique des milieux continus 71/84

(72)

Position du probl` eme

∂ρ

• relations non universelles : laloi de comportement 6 relations σ_ij ←→v_i,L_ij,F_ij...

(73)

Position du probl` eme

∂ρ

• relations non universelles : laloi de comportement 6 relations σ_ij ←→v_i,L_ij,F_ij...

• il faut ajouter la conservation de l’´energie

1 ´equation / 4 inconnues : le champ de temp´eratureT(x,t) et le flux de chaleurq(x,t)

loi de comportement: q_i ←→T,gradT

(74)

Plan

(75)

Les grandes classes de comportement

∆l F

Elasticit´e F =k∆l

∆l F

Viscosit´e F =η∆˙l

∆l F

Plasticit´e F=F0signe(∆˙l) si ∆˙l6= 0

(76)

Forme de la loi de comportement

• un exemple : la viscoélasticité (modèle de Maxwell)

∆l F

∆˙l(t) = ∆˙l_piston(t) + ∆˙l_ressort(t) = F(t)

η +F˙(t) k F(t) =k

Z _t

−∞

exp(−k

η(t−s)) ∆˙l ds la réponse actuelle dépend del’histoirecomplète de déformation

• extension à un corps matériel 3D : lafonctionnelle–mémoire σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t,Y^∈Ω0

(Φ(Y,s))

(77)

Premi` eres simplifications

• principe dud´eterminisme σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t,Y^∈Ω0

(Φ(Y,s)) th´eorie non locale

• principe de l’action locale σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t,n>0

Φ(X,s), ∂ⁿΦ

∂Xⁿ(X,s)

• milieu mat´eriellement simple: th´eorie du premier gradient σ_∼(x,t) = F

0≤s≤t Φ(X,s),F_∼(X,s)

(78)

Plan

(79)

Changement de r´ ef´ erentiel d’espace

(80)

Changement de r´ ef´ erentiel d’espace

(81)

Changements de r´ ef´ erentiel

référentiel (E,E), point de l’espace x, un autre référentiel (E⁰,E⁰)

• changement de référentiel galiléen

x⁰=Q_∼₀.x +v₀t, t⁰ =t−t0

• changement de r´ef´erentiel euclidien x⁰ =Q

∼(t).x +c(t), t⁰=t−t₀ commodit´e : Q

∼(t0) =1_∼(X⁰ =X)

(82)

Changements de r´ ef´ erentiel

x⁰=Q_∼₀.x +v₀t, t⁰ =t−t0

∼(t0) =1_∼(X⁰ =X)

• Comment se transforment les grandeurs mécaniques lorsqu’on change de référentiel?

? une fibre mat´erielle

? le gradient de la transformation

? les tenseurs de Cauchy–Green

? le gradient des vitesses

(83)

Changements de r´ ef´ erentiel

x⁰=Q_∼₀.x +v₀t, t⁰ =t−t0

∼(t0) =1_∼(X⁰ =X)

• Comment se transforment les grandeurs mécaniques lorsqu’on change de référentiel?

? une fibre mat´erielle dx⁰ =Q

∼.dx

? le gradient de la transformation F_∼⁰ =Q

∼.F_∼

? les tenseurs de Cauchy–Green C_∼⁰=C_∼, B_∼⁰ =Q

∼.B_∼.Q

∼

T

? le gradient des vitesses L∼

0=Q

∼.L_∼.Q

∼

T+Q˙

∼.Q

∼

T, D_∼⁰=Q

∼.D_∼.Q

∼

T, W_∼⁰=Q

∼.W_∼.Q

∼

T+Q˙

∼.Q

∼

T

(84)

Changement de configuration de r´ ef´ erence

Ω0

Ωˆ0

Ωˇ0

P

Ω˘0

Pˇ

P˘

Ωt

F

Fˆ

Fˇ

F˘

P_∼ est une application linéaire quelconque (inversible mais non nécessairement orthogo- nale, on peut restreindre à detP_∼>0)

Fˆ_∼=F_∼.P_∼⁻¹

Gˆ = GradXˆT(Xˆ,t)

= G.P_∼⁻¹

= P_∼^−T.G